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借用三角换元妙解竞赛试题

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方志平

三角换元是一种用三角函数代替问题中的字母，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的一种代换方法.合理的三角换元，不仅能化繁为简，化难为易，而且能启迪学生思维，拓宽视野，激发学生学习热情.本文精选部分高中数学竞赛试题为例，供读者参考.

1 妙解有关整式问题

例1 （2017年全国高中数学联赛河南省预赛试题）实数x，y满足4x2—5xy+4y2=5，若S=X2+y2，___________.

评注条件X2+y2=S让我们联想到圆的参数方程，利用三角换元，反解出S，结合正弦函数的有界性，求得p，q.其思想方法可谓匠心独运，令人赞叹！

例2 （2016年全国高中数学联赛河南省预赛试题）若实数x，y满足X2-2xy+5y2=4，则X2+y2的取值范围是_________.

解由X2-2xy+5y2=4，

评注由本题条件X2—2xy+5y2=4，容易想到等式左边配方（x-y）2+（2y）2=4，该式启发我们类比圆的参数方程，借用三角换元，将代数问题转化为三角问题，再用三角运算问题迎刃而解.特别要注意，例l与例2因题目条件中结构式不同，而采用的处理方法有别.

2 妙解有关根式问题

例3 （2013年全国高中数学联赛辽宁省预赛试题）已知实数x，y满足17（X2+y2）-30xy-16=o，则

评注根据题设条件，经过恰当配方出现平方和为常数的关系式，于是想到三角换元.特别要注意的是4x-2y巧妙变形为3（x-y）+（x+y），为整体代入换元创造了有利条件.其构思巧妙，方法新颖，独辟蹊径.

例4 （2012年全国高中数学联赛山西省预赛试

评注本题为一道含有两个根式且求无理函数的值域问题，直接进行代数变形相当困难.如果本题单纯求最大值，则可考虑用柯西不等式求解.经观察、分析式子的结构特征，令x=2+sin2 a（0≤a≤实乃新奇，构思精巧，意境高远.

例6 （2012年全国高中数学联赛江西省预赛试

解函数定义域是[-l，1]，由于原函数是奇函数因求函数y的最大值，不妨设0

评注本题条件中函数式的结构特征，我们不难想到三角换元，但巧用函数的奇偶性及导数的手段来求最大值，是很有创意的，且让人耳目一新.

3 妙解有关绝对值问题

例7 （2012年全国高中数学联赛湖南省预赛试

评注本题进行了两次换元，我们不难发现，借用三角换元的关键在于通过对题中条件或结构的有规律的“模式识别”，充分利用题目中的有效信息，积极思考，巧用化归与转化思想，构建合适合理的解题方法. 例8 （2017年全国高中数学联赛河北省预赛试题）已知x，y∈R，2x2+3y2≤12，则|x+2y|的最大值为________.

评注本题除了借用三角换元求解以外，题目结构特征也容易让我们油然而生地想到用柯西不等式然流畅，丰富了学生的解题思想.

4 妙解有关解几问题

例9 （2012年全国高中数学联赛山西省预賽试

对称轴分别交于点A，B，则线段AB长度的最小值是____.

解设切点为P（5cosθ，3 sinθ），

则椭圆在点P处的切线方程为：

故线段AB长度的最小值是8.

评注借用椭圆的参数方程，设切点P（5cosθ，3 sinθ），从而得出椭圆的切线方程，弦长|AB|即可用三角函数表示，再巧用柯西不等式，问题的瓶颈得了实质性的突破！

综上，一些数学竞赛试题看似新奇，构思精巧，意境深远，通过联想、类比、变形，便可发现这些考题植根于三角函数，巧妙运用三角换元，将问题进行有效的转化和化归，不仅降低了解题难度，而且提高了解题效率，从而达到事半功倍的效果.

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