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何处得一“念”， “图”中觅源头

范文

方重友　徐勇

数学问题的解决往往在一念之间，这“一念”一旦点破，问题迎刃而解，这是数学解题学习的一个极为特殊之处，根本问题是这“一念”是由别人点破还是自己攻破，别人点破则毫无价值，自己攻破对解题学习才有积极意义，在高考考场上，就是一个人在战斗，高考题（特别是压轴题）的求解更需要“迅速回答从何处下手、向何方前进”，这“一念”必须是自己得，何处得这“一念”，可从核心知识导图中觅得，核心知识导图，是借助思维导图来对题目中涉及的核心知识进行加工、整合、链接的一种解题组织策略，帮助设计解题思维流程的工具.

高考后，考生对试卷的第13题的谈论较多，因为第1题到第12题相对容易，而第13题感觉一下子提高了难度，且不正确的人也大有人在，笔者在高考后与考生交流一下对此题的看法，考生基本能在仔细审题后意识到：目标是求最值，需先找出a与c的关系等式，再使用基本不等式求解.

1追问不成功解法，缺失细思极恐

因AC平分∠ABC，则∠ABD= ∠CBD= 600，用余弦定理分别表示出AC，AD，CD，因为AC=AD+CD，所以√a- +c2- +ac：√a2 +l-a+√C2 +l-c，但有三个根号，能算（平方后整理后再平方），但不想算，也不敢算，害怕费时过长而造成“隐性失分”，所以“策略性”放弃，

用余弦定理得到关于a，c的关系式√a2+c2+ ac=√a2 +l-a+√C2 +1-c，想法很好，但接下来的化简确实挺难、要求很高，有想法卻解不出，着实可惜，笔者与考生展开简短的对话，一探考生备考的不足与缺失，

问1：题中的角平分线除了你得到的将角一分为二，还能得到什么，课本上有关于角平分线的典型题目吗？

答：角平分线还能得到点D到边BA与BC的距离相等，不记得课本上的关于角平分线的题，

剖析对角平分线的认识还停留在初中平面几何的水平，不清楚课本中在讲完正弦定理后的关于角平分线的典型例题，即角平分线的性质定理，

问2：你觉得解决此题会用到面积公式吗？或者会使用向量吗？

答：又没让求面积，肯定不会用面积公式，题中也没涉及到向量，基本不会朝向量去想，

剖析学生眼中只有正弦、余弦定理，不能把面积公式与正弦、余弦定理等地位看待，当然更谈不上面积法的使用，课本中正弦、余弦定理的证明都用了向量工具，三角与向量关系密切，学生对向量的工具性的意识比较淡薄，

问3：还记得正弦、余弦定理的证明过程吗？

答：坦率地说，真的记不得，其实只要知道正弦、余弦定理并会用就可以了，高考又不会考定理证明，

剖析只知定理内容，不知不问定理的推导过程，知其然，不知其所以然，功利且目光短浅，对定理的推导过程中涉及的思想方法视而不见，对不熟悉或稍难点的题目便显得无从下手，同时，对高

考认识不足，定理证明在高考中真的考过，陕西高考卷就曾考过余弦定理的证明，

简言之，考生至少有三个缺失，一是缺少可持续地解题能力;二是缺乏系统的知识结构;三是缺少优选与发散的意识，若对题中涉及到的知识没有一个系统的知识图谱，便谈不上思路的发散与方法的优选，接下来，若解题时只有一种思路，在途中遇到困难，便不可能具有可持续地的解题能力.

2绘制核心知识导图，念头自然可觅

本题是解三角形与不等式融合的一道题，题中目标是求最值，通法要先找出以与c的关系等式，再使用基本不等式求解，本题的重点及难点就在寻找以a与c的关系等式，有了关系等式，使用基本不等式应该不是难事，我们可以对解三角形这块内容绘制核心知识导图（如图1）.

以上解法主要利用角平分线定理，主要落点在点D分线段AC为两个部分，但角一分为二，角的具体值却没有运用到位，若用到角的具体值，不难联想到三角函数定义，即在直角坐标系中运用，于

张角定理把平面几何和三角函数紧密相连，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式，用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正余弦定理、几何知识，可以大大简化解题步骤，问题可以简捷获解.

3“图”聚课本核心知识，复习事半功倍

要熟练地掌握数学和科学知识，就要创造一些概念组块，这是通过意义将分散的信息碎片组合起来的过程，把要处理的信息构成组块，可以使大脑更高效地运转，知识的碎片化、单一线性的，没有呈现出结构化、立体化，合理地运用思维组块，苏联教育家乌申斯基指出：“智慧不是别的，而是组织得良好的知识体系，”解题研究的一代宗师波利亚说过：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本，”

在高三复习迎考中，不能单一地使用题海战术，片面地进行大量的模拟题训练，课本是高考复习之本，教师要带着学生对课本进行有效整合，核心知识导图是复习利器之一，绘制如图1的核心知识导图，可聚集定理、重要结论、例题（习题）、证明方法、数学思想等，学生就如一个熟练工人将有关工具有条理地排列在工具箱（核心知识导图）里，可以有效合理长期保管起来，在处理有关问题时可以做到游刃有余、左右逢源，复习便能跳出题海而事半功倍。

参考文献

[1]涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论[Ml.上海：华东师范大学出版社， 2006：121

[2]王弟成.“学生学习的需要”是数学课堂教学形式选择的基本要求[J].数学通报，2016（1）：22

[3]沈文选，张垚，冷岗松.奥林匹克数学中的几何问题[M].长沙：湖南师范大学出版社，2009：67

[4]普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）[M].南京：江苏教育出版社，2014

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