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圆周运动“不脱离”问题的多题一解

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邵贝

摘要：分析竖直平面内圆周运动“不脱离”问题的几种类型。注意区分小球所处的物理情境，找到“力学最高点”和“力学圆心等高点”，是解决此类问题的关键，真正做到“多题一解”。

关键词：多题一解；圆周运动；不脱离

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2018）10-0035-4

1 情形一：大小不等的两圆拼接

例1 如图1所示，竖直平面内有光滑圆轨道ABCDE，ABC为半径为R1的半圆，CDE为半径为R2的半圆轨道（R1大于R2）。要使质量为m的小球在圆轨道内侧运动不脱离，在最低点A的速度v0为多少？

解析（1）情况一，小球能做完整的圆周运动，到达最高点C，如图2所示。在此处，小球受重力和弹力，对于ABC半圆轨道而言：

在C处，要同时满足两个半圆轨道运动情形，而R1大于R2，所以在最高点C，速度v要大于等于v1（v>v1时，在最高点轨道对小球产生压力）。

从最低点A到最高点C用动能定理：

2 情形二：匀强电场和重力场中的圆周运动

2.1 匀强电场方向竖直向下

例2 如图4所示，竖直平面内有光滑圆轨道ABCD，半径为R，处在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E。有一个质量为m，带电量为+q的小球，想让小球在运动过程中不脱离圆轨道，小球在最低点速度应为多少？

2.2 匀强电场方向水平向右

例3 如图7所示，竖直平面内有光滑圆轨道ABCD，半径为R，处在水平向右的匀强电场中，电场强度为E。有一个质量为m，带电量为+q的小球，想让小球在运动过程中不脱离圆轨道，小球在最低点A速度应为多少？

从E到H点运动的过程中，mg'的径向分力背离圆心，小球挤压导轨，由导轨的支持力和径向分力提供向心力，小球做圆周运动。从H到F点运动的过程中，mg'的径向分力指向圆心，此时，小球要做圆周运动需要满足一定的条件。其中，在F处，mg'的径向分力最大，小球最容易脱离，要想小球不脱离轨道，则要满足F点的临界条件。此时的F点不是几何最高点，而是力学最高点，E为力学最低点。

3 情形三：匀强磁场和重力场中的圆周运动

例4 如图11所示，竖直平面内有光滑圆轨道ABCD，半径为R，处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度为B。有一个质量为m，带电量为+q的小球，想让小球在运动过程中不脱离圆轨道，小球在最低点速度应为多少？

解析在此过程中，洛伦兹力始终背离圆心，从A到B，重力的径向分力也背离圆心，挤压导轨，使小球顺利做圆周运动。从B到C，重力的径向分力指向圆心，在C处达到最大值，而在此处小球所需的向心力最小，因此，在此处最易脱离。

（1）情况一，如图12所示，在力学最高点C，重力、弹力和洛伦兹力共同提供向心力，即

4 小結

以上几种竖直面内圆周运动“不脱离”问题，解决的关键都在于找到力学最高点和力学圆心等高点，而并非几何最高和圆心等高点。所以，看似情境不同，但解决的方式是一致的，先受力分析，找到力学最高和圆心等高点，再列向心力表达式和动能定理，最后求得结果。所以，在今后的学习中，也要对各类题型多加总结，深入剖析，做到“多题一解”。

参考文献：

[1]曾文，周朝彪，桂朝觐.竖直平面内圆周运动的临界问题分析[J].考试周刊，2015（86）：130.

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