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标题 三次函数的图像与性质在高考中的应用
范文 徐守军
我们借助几何画板软件,较为深入地研究三次函数的图象与性质,并利用图象与性质解决07年高考数学卷中出现的一部分试题.
一、三次函数的图象与性质
利用求导的方法,可以求得三次函数的导数f′(x)=3ax2+2bx+c是二次函数,由于原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数a与△的符号起决定性作用.下面我们就来研究三次函数与x轴的交点问题.
1、当a>0时,f′(x)=3ax2+2bx+c,
△=4b2-12ac=4(b2-3ac).
(1)若△>0,方程f′(x)=0有两个不相等的实数根,记作x1,x2,且x1f(x2).
性质1:①f(x1)?f(x2)>0时,函数ゝ(x)的图象与x轴有且仅有一个公共点;
②f(x1)?f(x2)=0时,函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个公共点;
③f(x1)?f(x2)<0时,即f(x1)>0,ゝ(x2)<0时,函数f(x)的图象与x轴有三个公共点.
(2)若△≤0,则f′(x)≥0在R上恒成立,函数f(x)在R上单调递增,无极值,图象与x轴有且仅有一个公共点.
2、当a<0时,f′(x)=3ax2+2bx+c,
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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更新时间:2025/3/10 17:53:17