| 标题 | 教材分析：数学教学设计的基础 |
| 范文 | 【摘 要】 为了发挥数学知识的教学价值，实现数学教学目标，首当其冲的要求就是教师必须认识与研究所施教的数学知识的特点，这就是教材分析。首先，通过教材分析找到知识中的有利于学生发生认识的心理倾向性特点；其次，依据这些特点，通过学情分析，推测学生学习这个具体知识点时的心理活动过程；最后，将教材分析与学情分析的成果整合起来，预设具体的教学流程，这就是教学法分析. 【关键词】 教材分析；数学教学；教学设计 所谓“教材分析”望文生义就是对教学材料（即数学知识）的分析，指教师对在一段时间内（比如一课时、一单元时段、或一学期时段）将要传授的教学内容（数学知识）分解开来，认识它的每个部分或每个层次的要素及其关联过程的实质，在此基础上通过综合，获得对写进教科书中的数学知识的整体认识的思辨活动.由此，我们发现，教材分析的重要目标具有两个互相关联的方面：其一，确定具体单个知识点的特性及其内含，发生这一知识时需要学习者凭藉的独特认知方式；其二，确定知识点之间的互相联结组成的知识结构的关联方式及其这些关联方式需要的认识途径.由此为数学教学设计打下基础.1 数学知识中内含着有利于学习者发生知识的倾向性 一般来说，有效教学设计的产生，需要考虑互相关联的三个方面，其一，教材分析——发现知识的特点；其二，学情分析——发现学习者發生具体知识的心理特点及其差异性；其三，依据教材（知识）的特点（经由教材分析而得）与学生发生知识的心理特点——体现于学习者的认知方式（经由学情分析所得）通过综合设计手段将它们关联起来（本文称之为“教学法分析”）.教学设计的组成环节如图1所示[1].其中“教学法分析”是建立在前两项分析基础上的；在教材分析与学情分析的关系中，学情分析需要探究学习者发生知识时的心理环节，它基于教师对具体数学知识特点的准确把握，由此知，教材分析又是学情分析的基础，因此，教材分析在有效数学教学设计中起着最为基础性的作用. 图1 数学教学设计框架图 我们知道，写进义务教育课程中的数学知识都是在数学发展史上曾经构成过对人类智力的挑战，但是已经被人类的聪明才智彻底征服并解决了的（它已经不是数学家目前正在研究的问题，而是已成结论性的知识），因此，这种数学知识中就不仅内含了人类经由自己的认识而得到了的确定的成果体系，并且也内含着知识原创者认识知识时思维展开的鲜活的认知方式.但是，这两者都需要通过教科书的编制以及经由教师对教科书的解读，转化成教师在课堂上影响学习者的资源，经过教学设计的处理，以利于发挥这种教学资源的教育价值.因此，作为这种数学教学内容就具有两方面相互关联的特征： 其一，对于写入课程中的单个具体的数学知识点具有这些特点：（1）组成这个知识点的核心思想应该明确而具体（但是，实际上受到诸多方面的限制，教科书或教师教学用书都难于达到这一点——引者注，下同）；（2）知识原创者对这一知识点的核心思想已经形成了规范性表达（数学教材通过字斟句酌地描述与刻画能够做到这一点）；（3）数学知识的核心思想通过其规范性表达形成了启发性成分，容易被教师所体会与理解（启发性成分也是教科书难以明确地表达出来的，需要教师结合学科知识与教学经验的支持，加深对教科书中的知识背后的关于数学知识的认知——近乎于元认知）[2]；单个数学知识点的这种特点隐含着知识原创者对于具体知识点的特定认知方式，在数学教学中具有非常重要的价值. 其二，每一个具体的数学知识点又不可能独立存在，它既是前在的数学知识的必然产物，即是以学习者（事实上，存储在某种媒介中的作为外化的客观数学知识也可以依此类推）前在的数学知识为基础而发生的，又是产生后面新数学知识的基础，或者说每一个数学知识点都是处在生生不息、源远流长、环环紧扣的知识点（体现在学习者心理活动中）序列之间的某个必不可少的环节之中，而不可能孤立地存在，这形成了数学知识的结构性.正是如此的结构性使新数学知识总是孕育于旧有的知识之中成为可能；于是，个体发生数学知识就可以利用这种结构性，通过各种各样的线索，从学习者所面临的外在信息与已经存有的旧数学知识的结合中产生新知识（将外在信息数学结构化的过程，扩展了数学知识的范围）. 这种具体的数学知识的核心思想的独立性与知识点之间的结构性的共存性特征，注定了数学知识具有自身传播的内在动力.换句话说，对于渴望掌握数学知识的学习者而言，当数学知识与学习者的智力相结合时，数学知识在学习者的认知结构中便具有了自我繁衍与自我展开的能力（笔者在另一篇文章中称之为数学知识的“自展性”，需要教师发掘其“自展机制”，教材分析的过程主要体现就是教师悉心研究数学知识的“自展机制”的过程）.在学习者发生数学知识认识时，这些都不断地提示（乃至于规划）着主体的认识方式的展开的大致轨迹脉络，使人性能力的发挥获得载体，从而实现数学教育目标.如此分析，我们发现，数学知识具有利于学习者学习的心理倾向性.由此可知，有效的数学教学设计的产生一定不能背离利用数学知识的这种利于学习的倾向性，教师的首要任务就是因势利导，引导学生从已经存有的数学现实与外在新的学习材料的结合中产生新的数学知识. 因此，一般来说，数学教科书的编制、教师的教材分析都应该从有利于学生学习数学的自在倾向性出发（确实，一轮又一轮的数学课程改革、特别是我国数学教育的面向国际视野，产生的结果是教科书的编制经由许多学科专家与教育专家的思考是实践，它力图采用符合于学生理解数学知识的心理结构机制的方式表征数学知识，但现实中总是存在着不尽于人意的瑕疵），这样才能更好地发挥数学知识的教育价值：萌生数学思想，生成与再生数学观念，形成数学能力（特别是学习者自学数学的能力），并有利于从数学思想、观念、能力的发挥中析出具体的解决问题的数学方法[3].那么，现实的数学教科书编制是否尽可能地有利于这种教学设想的实现呢？2 教材分析力求发掘有利于学习者学习数学内容的心理倾向性 在课程专家与或数学教育家编制数学教科书时，由于受到许多方面的限制，很难从数学知识产生的心理过程中萌生数学知识的核心思想、它的规范性表达与启发性成分采用有效的方式和恰如其分的表达手段进行整合，从而写入数学教科书（当然，这无可厚非，教师在教学设计时的教材分析，还需要二次开发教材，他必须要依据有利于具体学生学习具体数学知识的心理特点理解教材，作出合适的教学设計.其实这就是通常耳熟能详的“用教材教，而不是教教材”的意蕴所在，这都是出于教材分析的结果）中，于是，数学知识本身所蕴藏的利于学生学习的优良特性无法自行全面地在教科书中展现出来，从而达到有利于发挥它的教学功能的目的. 对于教科书的编写者来说，第一要务是考虑数学教学内容的规范性表达（而不是考虑如何呈现教学材料才有利于学生萌生核心数学思想），也可以从某个侧面考虑教学内容的启发性成分，甚至对于某些知识还能非常好地体现学习者的认知心理与认知方式特点；但是，值得注意的是，从教科书编制的现实效果上看，教科书的编写者很难突出利用教科书展现教学内容的方式促进学生萌生数学知识所应内含的核心思想，尤其难以办到的是，通过对知识核心思想的外化手段，得到核心思想的规范性表达的心理活动过程，促进学习者通过这一过程取得启发性成分的要素. 当然，这对教科书的编写者提出了非常高的要求，事实上，教科书的编者也能意识到这一要求，但是，现实中的数学教科书的编制受到了许多方面的限制（如对数学知识发生过程中某些“直觉”成分的心理机制与过程难以成功地揣摩；文字量的限制导致了偏于知识的逻辑结构性表达；学习者学习数学知识的个性心理差异难以评估从而得以体现；等等），于是，教科书的编写者就希望使用这一教科书的教师在针对具体学生的心理特征的教材分析时，通过对教材二次开发实现教科书的编制者难以实现的目标. 例如，在北京师范大学出版社2013年依据2011年修订后的义务教育数学课程标准编写的数学教科书（七年级·下册）第二章第2节的“探索直线平行的条件”[4]这段教学材料中，教科书编写者采用了通过“同位角”、“内错角”与“同旁内角”之间的关系，利用设计生活问题情境的方式，构建了判定两直线平行的三项具体条件.教科书中作出了规范性的表达：“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.”另外依据“内错角相等”或“同旁内角互补”的关系进行平行线判定的表达也是如此. 教科书编写者的如此表述，严格地说起来，它抓住了平行线判定的三个具体条件的外在特点，通过生活情境的设计，将这些特点在教科书中突出出来，有利于学生在学习时加深认识.但是，问题是这些都是外在描述性的特点，基本上没有涉及到产生平行线判定条件的依据的心理过程.如此，学习者运用这些知识解决问题时，由于没有通过知识的核心思想的外发性思考而形成规范性表达，就不可能从心理上吸收真正的启发性成分的教益，对这一特定知识学习者需要采用的特定认知方式的形成与发挥作用帮助甚微，那就只能采用类比的心理机制来判断外在信息是否符合平行线的判定，因而，要达到熟练运用知识的目的，就必然会采用变式教学的大运动量的训练手段来突破难点.于是，这样的教学结果与义务教育理念格格不入. 我们在多次观摩实际数学教学后，发现不少教师就是采用如此的变式训练（几乎是穷尽各种各样的图形）的方法来发展学生驾驭新信息的手段的.教学过程没有找到在这种问题情境之中产生的规范性表达所依据的那种不变的数学知识核心思想，从而造成了极大的教学损失.如果教师能够深入到知识核心思想的层次，问题的解决就要容易得多，对学生的帮助也大得多，真正可以达到随着数学知识的发生而萌生启发性成分，通过如此的启发性成分将数学知识的核心思想迁移到处理外在问题信息中去，使学习者的数学思想、数学观念、数学能力、数学方法、数学技能等都可以得到整体的进展，从而提升了学习者的数学素质，而且课堂教学效率与效果也要好得多. 因此，数学教师在分析这段教学内容时，就要力透纸背，从编者的意图、为体现这种意图而设计的情境、编者在教科书中关于这几个关联的平行线判定的知识点的规范性表达中，窥视出这三种判定两直线平行方法的依据，更为重要的是要从这一整体中发掘体现这三种不同判定两直线平行的具有公共基础的核心思想.只有获得了决定数学知识公共基础的核心思想，在这种核心思想外化成它的规范性表达过程中，教师通过自己的教学设计，必然要设法获得体现核心思想的载体（情境设计），启发性成分就会自觉地揭示出来，学习者吸收了这种启发性成分的营养，在运用这些判定解决外在问题信息时，思路的产生、方法的获得都水到渠成，不再像外部训练性发生知识那样，耗尽学习者的心力还不容易产生好的、容易迁移的结果. 设计有效数学教学的基础与前提就是要首先获得体现数学知识的核心思想.那么，怎样方能从教科书的字斟句酌的规范性表达中析出数学知识的核心思想呢？这没有一个固定的模式，它随着数学知识的性质不同、教师对数学知识的理解不同、教师的教学经验不同、教师体认学生发生数学知识的心理活动环节不同、教师理解数学教育目标的心理认知的不同等而不同，因此，它极具灵活性的一面，需要就具体知识、具体学生而具体对待.正如写文章一样，对于同一个素材，可以从不同的侧面入手，但其价值可能产生高低层次的不同，教育人的效果就可能大相径庭.3 教材分析奠基教学设计的有效性示例 从上述的分析中，我们发现，教材分析的有效环节与途径就在于：其一，从教科书的关于数学知识点的规范性表达中析出数学知识内蕴的核心思想；其二，找到能够支持数学知识核心思想外化为可以表达的数学知识的情境承载物；其三，引导学习者将数学知识核心思想再次转化为规范性的数学表达；其四，学习者借助于核心思想的表达过程吸收数学知识中隐含的原创者的认识方式的启发性成分的营养.我们仍然以“探索直线平行的条件”为例，展示教材分析的有效环节. 教师第一步从直线平行所要的条件（“同位角相等”，“内错角相等”与“同旁内角互补”三个条件各自形成的判定）的教科书上规范性表达中，析出决定这三个结论的具有共性基础的要素，这就是“探索直线平行的条件”的这一类知识点的核心思想.我们业已知道，这是非常重要的一步，是决定着数学教学设计成败的最为关键性的基础. 事实上，教师如果仔细揣摩教科书的规范性表达的文字语言，发现在这三个判定两直线平行的方法之中都有相同的一句话“两条直线被第三条直线所截”，这意味着什么？如果教师具有更加宽阔的视野，在严格的平面几何教程或者专著（例如《几何原本》）的论述中，对这句话中的“两条直线”命名为“被截线”，而将其中的“第三条直线”命名为“截线”发问（这样的命名难道是无意识地、随便的，没有什么价值吗？），从对这些问题的思考中，我们发现，平行线的三种判定方法就在于在这三条直线的关系中，区分出哪两条直线是“被截线”与哪一条直线是“截线”这种数学知识核心思想，至于何为“同位角”、“内错角”还是“同旁内角”都是为了判定两条“被截线”是否平行而对几对角的命名而已，那已经是十分简单的事了.于是，这个问题便变成了在“三线十二角”中，确定不同顶点的两个角之间固定关系，就在于判断何为“被截线”与何为“截线”的问题了.那么，在教师的教学设计中，如何帮助学习者区分“被截线”与“截线”呢？这其实可以归结为下面例1的问题.图2分别是怎样的一对角（“同位角”、“内错角”或“同旁内角”）？ 决定这道题本质的数学知识核心思想就是对“被截线”与“截线”概念的理解，它的迂腐的规范性表达就是“两条被截线被一条截线所截”，探究区分“被截线”与“截线”的标志的过程就将隐含的数学知识核心思想显性化，从中可以获得知识发生的启发性成分，这种启发性成分决定应用如此的数学知识的广度、深度，也是学生理解平行线三项判定的内在心理基础，而不必采用那种“事倍功半”的、通过穷尽各色各样的特殊图形的办法解决新问题.这样问题就归结为找到一种简约（而不简单）的方法来区别“三线”之中的一条“截线”与两条“被截线”的标志了.下面的是笔者的一节公开课课堂教学关键环节的实录： 师：（前在知识：通过问题情境设计，学生建立起了“被截线”与“截线”概念）如何解决这个问题？ 生1：图2中，弄清楚组成这两个角的三条直线中哪一条是“截线”，哪两条直线是“被截线”…… 师：一个很好的想法.如何将图2中這三对角各自的“截线”与“被截线”区分开来？图3 生2：取最简单的图形，如图3，对而言，直线c是“截线”，直线a，b是“被截线”，显然， 生4：我们可以获得如下规律（分类的一种标准）：在“三线十二角”中，要讨论的不同顶点的两个角公共边是“截线”，单独作为两角中某一个角的边的两条直线就是“被截线”. 师：大家运用这一规律解决问题. 这个教材分析的例子，从教科书的字里行间的规范性表达析出知识的核心思想，再经由核心思想转化为学习者自己的规范性表达，从中生成了启发性成分，深层次地理解知识、在理解的基础上运用数学知识、由此可以生成深度数学经验.事实上，深度数学学习经验不同于简单地接受外在他人的经验，而是形成了学生对自我的开放：感知的扩展、意识的觉醒、智慧的生成.学生借助于这种自我开放，超越已经形成的过去，并用新的方法，依据新的观念，来接触世界、认识自己、营造未来[5].教科书的编写的缺陷在于就知识而论知识，它只是关注了数学知识外显的表象，而没有发掘决定知识的深层次结构的本质——核心思想，从而不能鼓励学习者吸取从核心思想转化为规范性表达过程中的启发性成分的营养.4 简要结语 数学教学不是就数学知识而论数学知识，而是通过教学设计促使学生萌生数学思想的过程，在将学生萌生的数学思想转化为规范性的表达、形成数学知识的过程中，体悟数学知识核心思想的启发性成分，从而生成深度数学经验，实现数学资源的教育价值.就数学教学设计而言，教师从教科书中的表达中析出数学知识的核心思想起着关键性的作用，因而是最为重要的第一环节，而教材分析是析出数学知识核心思想的基础，因此，我们可以说，提高数学教师教材分析水平在提高数学教学设计的有效性中起着至关重要的作用，具有首当其冲的地位，对此，我们要思之再思，慎之又慎.参考文献 [1]张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J].数学教育学报，2014，23（3）：1-5. [2]郑毓信.数学教育哲学[M].城都：四川教育出版社，2001：123. [3]张昆，李伯春.关于数学课程目标体系设置的思考[J].新课程教学，2013（3）：9-12. [4]马复主编.义务教育教科书·数学·七年级下[M].2.北京：北京师范大学出版社，2013：44-49. [5]张昆.整合数学教学设计的取向——基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究[J].中国教育学刊，2011（6）：52-55.作者简介 张昆（1965—），男，安徽合肥人，中学高级教师.已在《中学数学杂志》，《课程教材教法》等杂志发表论文数百篇，其中，17篇被人大复印报刊资料全文收录.主要研究方向为数学教学论，数学课程论与数学史. |
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