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标题 HPM与数学德育
范文 岳增成


【摘 要】德育理应成为数学教育的重要维度。然而目前教师在数学教学中实施德育还面临很多困境。基于此，从HPM的视角出发，对具有本土特色的数学史教育价值中的德育元素进行了梳理，并提出了将数学史融入小学数学教学实施德育的三个原则：目标导向、史料的显性呈现与隐性使用、信息技术支持。
【关键词】德育；数学史；教育价值；实施原则
一、引言
鉴于“德”在学生成长中的重要作用，德育一直是我国教育的传统。近年来，随着“立德树人”教育根本任务的提出，德育受到了更为广泛的关注。数学作为基础教育的重要学科之一，理应在德育方面扮演重要的角色。然而，由于数学学科演绎为主的属性，使得很多数学教师认为，数学在德育方面发挥的作用有限，除了理性精神，数学教学很难体现出多元的德育价值。那么，数学教学是否真的很难在德育方面发挥作用？本文将从HPM（History and Pedagogy of Mathematics，数学史与数学教育）的视角出发，来探索数学教学与德育的关系。特别地，本文将从数学史与德育的关系出发，探索数学史教育价值中的德育元素，并借助已开发的HPM课例来说明小学数学教学中进行德育应遵循的原则。
二、 数学史教育价值中的德育元素
数学史的教育价值一直是HPM研究的重要课题，早在1972年HPM国际研究小组成立之前，就有很多数学家、数学史家对此进行了论述。比如美国數学史家琼斯（P.S. Jones，1912-2002）认为数学史能激发学生的学习兴趣，并让他们欣赏和热爱数学；数学概念漫长而曲折的历史，能让学生获得心理安慰，学生不会因自己的不理解而担忧；数学史能够澄清数学的意义，解释数学的本质，加深学生对数学的理解[1]。HPM国际研究小组成立后，对数学史教育价值的论述更为系统，Tzanakis与Arciva从数学学习、数学和数学活动的本质、教师的背景知识、数学情感、作为文化活动的数学五个方面梳理了数学史的教育价值[2]，Gulikers、Blom在总结前人的基础上，建立了数学史教育价值的三维框架：概念视角、文化视角、动机视角，并从学生、教师两个方面对每一个维度进行了说明[3]。从中不难发现大量德育元素的存在。
考虑到教育文化的差异性，比如国外HPM学者强调数学课堂中原始文献的使用，这在中国的小学数学教学中是行不通的，除了小学生的认知水平、语言水平较弱外，这样的做法无益于教学目标的达成，因此，本文从具有本土特色的数学史教育价值出发，来阐明数学史教育价值中的德育元素。具有中国特色的数学史教育价值是基于已开发的多个HPM课例，建立在与四基、四能、数学核心素养、情感与信念紧密的关系之上，结合国外数学史教育价值方面的文献构建出来的，包括知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效[4][5]。需要说明的是，数学史教育价值中已有德育之效一维，下述前五种价值中的德育元素都可归类于此，但出于为教学实践提供参考的目的，本文对每一种价值中的德育元素进行了讨论，且为了避免重复，仅在德育之效中讨论前述五种价值未涉及的德育元素。
（一）知识之谐
数学是什么？很少有小学生会去思考这个问题，当然也不需要他们去思考这个问题。但这一数学观的认识论问题又无时无刻不在影响着小学生的数学学习。因此，教师应该引导小学生形成理想的数学观。什么是理想的数学观？柏拉图主义的数学观，即数学是由永恒准确的事实构成的稳定体系，工具主义数学观，即数学是安排有序的工具集合，不是理想的数学观，教师应引导小学生认识到数学是源于并指向某些人类需要的数学知识的进化体。该如何引导？数学史为我们提供了一条近路。因为数学史告诉我们，数学并不是一开始发现时的样子，它经历了从不完善到相对完善的过程。因此，借鉴、重构历史的数学教学，将使知识的发生、发展相对自然，符合学生的认知基础，易于为学生所理解，同时学生在经历知识发生、发展的过程中，感受到了数学知识进化的本质特征，有利于学生理想数学观的形成。此外，学生在知识的发生、发展过程中，感受到了知识学习的必要性，激发了自身的学习动机。
（二）探究之乐
数学活动的本质是什么？使学生获得这一问题的正确答案将有助于他们的数学学习。历史告诉我们数学是人做出来的，数学家也会犯错误。因此，利用数学史设计探究活动供学生深度参与将是发展学生数学活动观的重要一步，比如从历史上看，对角的认识有质（形状和特征）、量（大小）、关系（两边的关系）三个方面，为了帮助二年级的学生从量的角度认识角，教师设计了鸟妈妈喂食三个鸟宝宝，谁嘴巴张开得大，先喂谁的探究任务，学生在“做数学”的过程中，合作探寻问题的答案。在诸如此类的探究活动中，学生将积累丰富的数学活动经验，同时通过努力解决问题会有成功的体验，当然，探究不会一帆风顺，当学生遭遇挫折时，如果让他们知道数学家面对相同的问题时，也遭遇了挫折，将会极大提升他们数学学习的自信心，培养他们的应挫能力，进一步激发他们克服困难的勇气。
（三）方法之美
历史上很多问题的解答、很多命题的证明会有多种多样的方法，而课堂中学生想出的方法相对有限。当学生探究出了一个问题的多种解法，比如学生合作探究出了计算“67÷5”的多种方法，一个一个地减，将67拆分成60和7，再分别除以5，将67拆分成50和17，再分别除以5，竖式除法等，一个命题的多种证明方法，比如证明自己画出的两条直线平行时，学生想出了“垂直于同一直线的两直线平行”“如果两条直线间的距离相等，那么这两条直线平行”，让他们穿越时空，与古人对话，比如康熙皇帝编制的《御制数理精蕴》中的除法计算方法，比如墨家著作《墨经》中的“平，同高也”，将会拓宽他们的视野，使他们感受到古人的伟大，同时当他们发现自己的方法与古代伟人的方法相似时，或自己的方法比古人的方法更精妙时，自信心得到提升。这些都将激励他们开拓进取，思考出更加精妙的方法。
（四）能力之助
能力与德育属于不同的范畴。能力之助是指数学史有利于培养学生的数学核心素养以及阅读、写作等方面的能力，这样的解释很难让人联想到能力与德育的关系。事实上，能力与德育并不是完全分离的，比如合作能力与表达能力，以数学史为参照设计的探究活动有利于这两种能力的培养，同时此类探究小组合作的要求，需要学生相互尊重、相互配合、学会倾听，这些都属于德育的范畴。因此在能力之助中也有德育的元素，但这些并不是数学史本身所蕴含的德育元素，而是融入数学史的探究活动带来的。
（五）文化之魅
数学是不同时代、不同民族、不同地域的人基于不同的目的创造出来并不断完善起来的。因此，将数学史融入数学教学，比如阿基米德、刘徽求解圆面积的方法等内容，不仅会使学生认识到数学发展的特征、数学文化的多样性，意识到数学是全人类共有的成果，同时还可以让学生认识到某些地区某个年代独特的数学魅力。同时，数学的发展与社会、其他学科甚至是数学内部分支的发展密切相关，将数学史融入教学，比如中国古代的土地测量与面积计算，将学生“带回”知识产生的特殊时代背景下，让他们认识到数学与社会生产、社会背景的紧密联系。
（六）德育之效
数学是理性的代名词，但数学史特别是历史上数学人物的奇闻逸事，比如在“大数的认识”中，借用语文片段中阿基米德带领民众抵御外侵的故事，引入阿基米德数沙砾数量的故事，进而引出大数，将数学赋予人的元素，恢复了数学背后的人文精神，使数学更有趣味性，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的自信心；数学家刻苦钻研、不怕牺牲的精神，比如笛卡尔观察苍蝇发现数对的故事，阿基米德因沉湎于数学研究而被杀害的故事，将会激励学生刻苦学习，相信真理，勇于奉献。此外，数学史还将有助于学生历史感、民族认同、民族自信等的培养，比如让学生知悉了古埃及人利用加倍和减半的方法进行乘除法运算是人类的一大进步，引导他们莫从现代人的视角来看待这种方法，将使学生走进古人心灵，比如让学生知道中国2000多年前就开始使用负数，而西方直到20世纪才接受负数，有助于学生民族自信的培育。
三、将数学史融入小学数学教学实施德育的原则
（一）教学目标导向原则
数学史的六种教育价值告诉我们，将数学史融入数学教学的目的是为了教学目标的达成，而不是教数学史。因此，教学目标导向原则，是将数学史融入数学教学进行德育的第一步。所谓的目标导向，是指数学史的融入是为了切实实现多维的教学目标，而不仅仅停留在激发学生学习兴趣、培养民族自信等德育价值层面。在“小数的初步认识”教学中，让学生掌握小数的数位顺序表，认识一位小数、两位小数，并能够进行正确的读写是必须达成的知识目标，除此之外，教师还设置了感受小数产生的必要性；通过小数符号的探究，初步了解小数符号的本质、特点以及各民族对小数符号发展做出的贡献；了解小数的起源与发展，增强民族自豪感等过程性目标与德育目标。基于此，教师借鉴历史上小数产生的动因之一——复名数的换算，让学生认识到小数产生的必要性，通过探究活动理解十分位、百分位，通过小数符号的创造与小数历史及符号的微视频介绍，让学生了解小数的起源与发展，知道中国古代数学家对小数理论的发展做出的卓越贡献，体会到自己也能像数学家一样创造符号，在学习兴趣浓厚的同时，自信心也随着增强。
（二）史料的显性呈现与隐性使用相结合
正如上面所言，数学史融入数学教学不是为了教数学史。那么，在保证其他目标达成的前提下，应该怎样融入数学史，以便更有效地进行德育？如何融入数学史已经有了答案，即附加式，展示有关数学家的图片，讲授相关数学家的故事等，去掉之后对教学内容没有太大的影响；复制式，直接采用历史上的数学问题、解法等；顺应式，根据历史材料，编制数学问题，或对历史上的数学思想方法进行适当改变；重构式，借鉴或重构知识发生、发展的历史[6]。但如何更有效地进行德育？鉴于德育需要引导和渗透的特点，在运用数学史料时，要将史料的显性呈现与隐性使用结合起来。就附加式、复制式而言，它们本身就是数学史料的显性使用，但将“顯性”运用到什么程度将对德育价值的实现至关重要。比如，就“三角形的面积公式”教学而言，当学生探究出了利用“出入相补法”推导三角形面积的公式时，教师只呈现刘徽的生平、成就，告诉学生刘徽很早就运用这种方法推导出了三角形的面积公式，不会对学生的德育有很大的影响，但如果学生思考出“出入相补法”后，教师呈现刘徽是如何推导三角形面积公式的，并设问“你们觉得刘徽的方法怎样？”“你们的方法和刘徽的方法比较如何？”“你们对此有什么样的感受？”学生会更有感触，如果此时再用学生能够理解的语言附加地介绍中国古代数学重要基础“出入相补法”及一些简单的应用，对学生德育的影响将会更大。顺应式是数学史料的隐性使用，如果不加说明，对学生而言，改编后的题目和其他题目没有区别，而如果对题目、思想原型或者出处稍加介绍，比如改编后的“鸡兔同笼”问题，当告诉学生这是中国古代最知名的数学问题之一，世界各地都有相似的题目时，学生就会穿越时空，与古代不同社会的人解决共同的问题。重构式的使用，既可做到显性呈现，又可做到隐性使用，比如上述“小数的初步认识”中的引入环节，用姚明2米2分米6厘米的身高换算就重构了历史，因为复名数的换算是小数产生的重要动因之一，此外这一情境的安排让学生感受到小数产生的必要性，感受到知识的发生、发展过程，这是隐性使用的体现。当然也可在小数概念产生后，附加地介绍小数的历史，做到隐性使用与显性呈现的结合。
（三）信息技术支持的原则
相较于其他内容的讲解，因教师对数学史内容相对陌生，数学史的使用被赋予了较多的教育价值，其讲解难度更大。因此，利用数学史进行德育时，教师应注重信息技术的支持，比如微视频、计算机软件动态演示功能的使用。数学史微视频能将教师课前准备好的与教学内容高度相关的数学史料，用图、文、声、像等形式形象地展示出来，吸引学生的目光，让学生沉浸其中，且避免了教师冗长的讲授，以及因不熟悉引发的错误，提高了教学的效率。比如，学生在学完平行四边形、三角形、梯形的面积后，教师播放“出入相补法”的微视频，微视频脚本涉及了刘徽的生平介绍，主要事迹特别是《九章算术》的内容梗概与历史地位，中国古代“出入相补”思想、应用、价值，最后以“任何直线型组合图形都可通过割补，组合成已学过的图形，求出其面积”结束。计算机软件的动态演示功能能将数学史内容的静态呈现转变为动态演示，比如学生基本掌握了两位数被一位数除后，教师利用PPT展示了历史上整数除法运算的多种方法，其中的一种方法来自《御制数理精蕴》，教师先呈现了改编为数学语言的方法，如图1左图（未标记出商、除数、被除数），让学生猜测、解释这个算式，然后呈现未标记出的名称，并将其动态转化为右图。
四、结语
数学德育是一个至关重要但未被深入研究的课题。本文从HPM视角出发，探索了具有中国特色的数学史教育价值中的德育元素，不难发现，这些教育价值中蕴含了丰富的德育元素，数学史融入小学数学教学的确是实施数学德育的一条近路。但利用数学史来实施德育不是一件容易的事情，因为学生需要投入大量的精力与考试评价相关的知识掌握、能力发展，而德育不是考试评价的方向。因此在将数学史融入小学数学教学进行德育时，应合理设置知识、能力、德育目标，并以此为导向进行教学，切莫为了德育而忽略知识、能力目标的达成，为了知识、能力目标的达成而忽视德育的实施；在保证知识、能力目标达成的前提下，显性呈现、隐性使用数学史，使德育价值最大化；同时，适时地借助微视频、计算机软件的动态演示功能提高效率。
总之，在利用数学史实施德育时，应该强调效果和效率：知识、能力、德育目标都要实现；在有限的时间内，通过合理设计使得德育价值最大化。此外，鉴于德育范畴较广，内涵较难界定的现实，不妨利用行动研究、扎根研究的方法，从教学一线做起，来逐步形成、完善德育理论。
参考文献：
[1]Jones，P.S. The history of mathematics as a teaching tool[J].Mathmetics teacher，1957，50（1）： 59-64.
[2]Fauvel， J.& Van Maanen， J. History in Mathematics Education[M]. Dordrecht： Kluwer Academic Publisher， 2000：200-204.
[3]Gulikers， I. & Blom， K. ‘A history angle： A survey of recent literature on the use and value of history in geometrical education[J]. Educational studies in Mathematics， 2001， 47（2）：223-258.
[4][6]汪曉勤.HPM与小学数学教学[J].小学数学教师，2017，（7-8）：77-82.
[5]Wang， X.， Qi， C. & Wang， K. A categorization model for educational values of the history of mathematics： An empirical study[J]. Science & Education， 2017， 26（7）： 1029-1052.
（华东师范大学数学科学学院 200241）
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更新时间：2024/12/22 13:38:23