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标题 基于SPH方法的开口沉箱水动力数值研究
范文 姜峰 唐晓成 史国家 张悦 范国玺



摘要：部分开口沉箱因其能有效降低波浪力和反射系数被广泛的应用到港口工程领域，基于修正后的光滑粒子流体动力学（SPH）算法建立了二维数值波浪水槽与开口沉箱数值模型，并与现有的线性规则波理论进行对比，验证了SPH数值方法的正确性，同时还对开孔沉箱消浪室内部流体流入流出的复杂运动过程性、总水平力比与其相关因素的关系进行了深入分析，并将数值结果与物理模型实验进行对比，结果表明，数值结果与实验拟合的线性关系相一致；当消浪室相对宽度B/L为0.11时，开孔沉箱总水平力减小趋势很明显。最后，采用了最小二乘法拟合出开孔沉箱总水平力与其相关因素的非线性回归关系。本研究将为类似工况下开口式沉箱的设计和优化提供一个新的参考依据。
关键词：波浪力；SPH；开孔沉箱；水动力；线性关系；规则波；光滑函数
中图分类号：TV139.26 文献标志码：A 文章编号：1672-1683（2014）06-0078-06
开孔沉箱式防波堤利用自身消浪室内外波动的相位差和消浪室内水体的紊动，能够有效消耗波能，减少波浪与港口结构物间的反射，降低反射系数（可从实体沉箱的1.0降低到0.3～0.8左右），也可以减少作用在沉箱结构上的波浪力（一般可减小至不开孔时的70%～90%左右），加上其施工简单，造价相对较低，因而成为低反射防波堤的典型型式。
自从Jarlan[1]提出开孔式沉箱防波堤的概念以后，陆续出现大量的相关研究成果：Goda等[2]提出了最实用的研究直墙压力分布规律的公式；Takahashi[3]对该公式进行修正，并应用到开口直墙结构中，提出了开孔板前后两面及消浪室后墙压力的分布都是基于三种峰值形式组合的理论；Hendrik Bergmann等人[4]分别对单层和双层前墙开孔板进行了实验分析，得出当相对宽度比为0.25时单层开孔板的总水平力比降低最显著的结论；Kyung等人[5]提出了基于微波幅理论研究不规则波与开孔沉箱相互作用的新型数学模型，并实验分析了波浪反射与消浪室宽度、波高和周期的关系；陈雪峰等人[6]通过大量实验，得出了反射系数和总水平力与相对宽度、相对波高等因素的近似经验关系；EI-Hafid等人[7]将影响系数χ项引入到Takahashi公式中，分别用2D物理模型实验和Dieppe 实测数据等方式对新公式进行了验证；陈雪峰等人[8]采用VOF方法研究了反射系数和总水平力；刘勇等人[9]基于线性势能理论，提出了以匹配特征函数和有限元法为基础的半解析方法，研究了不规则波作用在开口式沉箱上的总水平力和垂直力；姜俊杰等人[10]通过2D规则波波压力试验，提出了有顶板开孔沉箱所受波浪力的计算方法。
但是，由于波浪与开口式沉箱结构相互作用过程中涉及到波浪破碎、湍流等多种复杂的水动力现象，特别是消浪室内流体运动的复杂特性对开孔沉箱水平力的影响，因此要准确描述该过程，仅有实验分析和理论研究是不够的，还必需建立一个考虑多尺度结构和多物理效应的流固耦合数值模型。而光滑粒子流体动力学（SPH）[11]方法为这一工作提供了新的途径。
与传统的VOF数值方法相比，SPH是一种纯拉格朗日性质的无网格粒子自适应的方法，主要用于处理大变形、跟踪运动界面或自由表面，以及获取变量的时间历程等问题，非常适合处理波浪运动的非线性问题。
本文建立了基于光滑粒子流体动力学方法（SPH）的二维流固耦合数学模型，通过黎曼解和CSPM修正后，模拟开孔式沉箱的水动力条件。基本思路为：首先，将实体沉箱波压力计算结果与线性规则波理论进行对比，验证SPH方法的解决波浪与沉箱水动力问题的准确性；其次，分析不同消浪室宽度下消浪室内外水粒子的运动特性，得出消浪室内外波压力的分布规律，探讨总水平力与消浪室相对宽度、相对波高和相对水深的关系。
1 数值计算模型
1.1 水动力控制方程
本文采用Navier-Stokes方程组来描述流体运动的质量守恒和动量守恒方程，质量守恒方程为
式中：ρ为水的密度；u为速度矢量。
通过SPH方法的基本方程可将质量守恒方程离散为SPH粒子形式，即
式中：mj为粒子j的质量；uij为粒子i和j之间的相对速度矢量；Wij为粒子j对粒子i产生影响的光滑函数，与光滑长度h紧密相关Wij=W（Rij，h），Rij=|xi-xj|h。
由SPH原理得到粒子密度的求和法计算公式
描述无黏性流体运动的动量守恒方程可以表示为
式中：p为压力；F为体积力，通常为重力加速度。
可以得到SPH形式的描述流体运动的动量方程如下式：
式中：ij=hijuijxij|xij|2+2；Cij=12（Ci+Cj）；ρij=12（ρi+ρj）；hij=12（hi+hj）；uij=ui-uj；xij=xi-xj；u和x为粒子的速度和位置坐标；αΠ和βΠ为常数。对于自由表面流动问题，通常取αΠ=0.01，βΠ=0；ij=0.1hij；C为声速。最终SPH形式的动量方程为
式中：P*ij=piρjcj+pjρici+ρiciρjcj（uRj-uRi）ρjcj+ρici，；URij=uRjρjcj+uRiρici+（pj-pi）ρjcj+ρici；ρi、pi、ci、ρj、pj、cj分别为相互作用的两粒子的密度、压力、声速；uRi、uRj为两粒子速度ui、uj在其连线方向的投影值。
本文中的沉箱的边界采用虚粒子法，根据牛顿第三定律原理，可得出水粒子与沉箱粒子相互作用时，进行力和能量的传递，进而可以得出沉箱粒子受力。
数值波浪水槽造波板及如何消除波浪的二次反射相关理论内容参见高睿等人[16]所述。
2 数值计算域和水动力验证
本文采用图1所示2D数值计算域和开孔沉箱模型，坐标原点设置在静水面与开孔板相交处。波浪水槽尺寸为6 m×1.5 m，水槽右边界设置开口式沉箱，沉箱高h=1.0 m，沉箱宽度B1=0.45 m，开孔率ε=0.4（ε=S开孔沉箱开孔面积/S消浪室迎水面面积）。数值计算参数见表1，取值点分布见图2。流体计算域采用SPH方法模拟，粒子初始间距为0.01 m，约32 245个。
为了消除反射影响，在右端设置人工黏性消波层，用来吸收入射波。数值水槽周期T=1.4 s，波高H=0.12 s，共计算10 s。以距离造波板1 m的静水位位置作为观察点，观察其波压强历时规律，见图3。
从图3可知，粒子间距为0.02 m时，波周期发生明显不稳定的现象，且波谷位置出现毛刺；粒子间距为0.01 m时，初始波压强较粒子间距0.005 m偏大，但0.5 s后，两者基本一致。考虑到计算效率和成本，本文计算时采用粒子间距为0.01 m进行数值模拟。
为了检验SPH方法模拟波浪与沉箱相互作用时，沉箱结构压强计算的正确性，取开口率ε=0时极限情况的实体沉箱，将水槽粒子静水压强沿水深分布与水力学理论进行对比。计算中，实体沉箱宽度B1=0.45 m，波高H=0.10 m，波浪周期T分别为1 s和1.2 s。静水压强沿水深的分布见图4，同时，图5中给出了T为1.0 s、H为0.08 m，10 s时水粒子运动的形态，水粒子分布较均匀，初始情况下粒子压强值大小也比较准确。
同时，本文提取了实体沉箱动水压强沿水深分布的计算值，并与李玉成等人[17]所述基于线性波理论直墙上的波动压强沿水深分布的解析解进行对比；水粒子作用下实体沉箱波动压强沿水深的分布见图6，纵坐标自下至上为水底至静水位无量纲化后的z值，横坐标为无量纲化后的波动压强P。
由图6可知，在长波作用下，实体沉箱的波动压强分布较为均匀，而在短波的作用下，实体沉箱的波动压强分布随着水深的增加减小的趋势更为明显。SPH方法的波压强的计算值与线性波理论值是一致的，因此采用SPH方法数值模拟波浪与防波堤的相互作用是可行的。
SPH方法最大的优势是能够解决大变形问题，以及模拟波浪的非线性特性。图7给出了周期T为1.0 s，波高H为0.12 m，消浪室宽度B分别为0.3 m时，水粒子运动10 s时，实体和开孔沉箱消浪室内外水粒子压力分布和速度矢量。图7（a）中，水粒子在实体沉箱半水深位置形成漩涡流动；图7（b）中，消浪室内水粒子向下运动剧烈，反射波与入射波的叠加比较明显，在开孔沉箱前形成驻波。可见，SPH方法可以比较形象直观地模拟波浪与开孔沉箱相互作用这一复杂的水动力过程。
3 消浪室宽度对波压力分布的影响
作用在开孔沉箱上的波压力，沿着波浪传播的方向可分成三个部分：开孔板外侧；开孔板内侧；消浪室后墙。为了方便与现有理论进行对比，在此所讨论的波压力是特定位置的点，开孔板外侧取1、2、6点，开孔板内侧取7、8点，消浪室后墙取10、11点。通过取值计算，分别得出消浪室宽度B分别为0.15 m、0.2 m和0.3 m时，波浪周期T为1 s、波高H为0.08 m时波压力分布（图8）。为了便于比较，图8中还给出了实体沉箱波压力分布，以及开孔沉箱外侧压力分布规范解。
从图8可以看出：实体沉箱波压力分布是呈梯形分布的，在静水位位置的波压力最大；消浪室宽度为0.15 m时，开孔板外侧波压力值与实体沉箱波压力值基本相等；消浪室宽度为0.2 m时，波压力值有明显的减小；消浪室宽度增加到0.3 m时，开孔板外侧波压力值最小。由规范可知，零压力点应位于静水位上1.275倍波高位置，即0.102 m处。本文计算得到波压力零点为0.04 m。
上述分析依据的是有限的取值点，下面对能够与水粒子接触所有沉箱边界进行分析。从实体沉箱及开孔沉箱波压力分布图（图9）可以看出以下现象。
（1）实体沉箱波压力最大值较静水位偏下，并且分布形式大致呈梯形，但不完全是线性的。
（2）消浪室后墙波压力分布规律大致与实体沉箱一致，且消浪室宽度越大，波压力值越小。
（3）1号板外侧波压力值随水深减小而逐渐变大，基本呈线性分布，且消浪室宽度越大，非线性越明显。
（4）与板外侧相比，1号板内侧波压力分布，波压力随水深减小增加的更为明显。
（5）与板内侧相比，开孔沉箱2号板内外侧波压力分布的非线性更强。
4 总水平力影响因素的研究
4.1 开孔沉箱总水平力与影响因素关系的实验对比
根据刘勇等人[9]研究，开孔率对开口式沉箱垂直力影响较大，对水平力影响较小（约为4%）。因此，本文忽略开孔率对水平力的影响，仅采用开口率ε=0.4时进行分析。开孔沉箱模型设计为前墙开孔，开孔幅度为水下0.3 m至顶。规则波周期T分别取1.0 s、1.2 s、1.4 s；波高H分别取0.08 m、0.1 m、0.12 m；消浪室宽度B取0.15 m、0.2 m、0.3 m。为了便于比较，还模拟了前墙为实体的沉箱受力情况，其波要素与前墙开孔时相同。每种工况组合数值模拟计算三次，取其平均值进行分析。为了便于与已有试验进行对比，沉箱固定点水平压力取值点为图2中的第2点，波长的近似计算采用Katsardi[18]提出的经验结论，分别用Fk和Fs表示开孔沉箱和实体沉箱所受到的单位长度总水平力，以Fk/Fs为纵坐标作为分析开孔沉箱总水平力指标，反映开孔沉箱对总水平力的影响。对Fk和Fs进行无量纲化处理，无量纲因子为容重γ、波高H、水深d和沉箱Y方向宽度b。分析结果见图10。
图10（a）是H和B不变，而改变波长L的情况，图10（b）是B变化，而L和H不变的情况。很明显，两种情况下，相对宽度（B/L）与单个点总水平力Fk/Fs之间的关系近似呈线性关系。图10（c）显示，只改变H而B和L保持不变时，相对波高（H/L）与总水平力之间也是近似呈线性关系；图10（d）显示，B和H不变而改变L时，相对水深（d/L）与总水平力比之间同样仍近似呈线性关系。
陈雪峰等人[6]针对开孔沉箱进行了大量实验，研究认为B/L对水平力比的影响最大，H/L的影响次之，d/L的影响最小。陈雪峰等人[8]提出的开孔式沉箱总水平力比的实验公式为
图11给出基于SPH方法得到的数值解析解与上述实验公式解的对比结果，可以看出，SPH方法对开孔沉箱水平力的计算与实验公式的结果基本吻合，大多数点在y=x（1±10%）的包络线内。可见，在类似本文数值域和波浪要素的条件下，SPH数学方法的计算结果可以作为分析开孔沉箱所受总水平力大小的参考依据。
4.2 开孔沉箱总水平力相位差和非线性研究
在实验中，仅根据有限点取值用来分析开孔沉箱总水平力的研究是不精确的，因此本文考虑了能与水粒子接触所有的沉箱边界，来研究的波浪力与相应影响因素的关系。一般情况下，沉箱总水平力F总由F前、F内、F后三个部分组成，图12给出了作用力方向和前述工况下总水平力的历时曲线，
由图12可知，F总的峰值总是出现在F前和F后最大值之间，即F总总是出现在波峰进入消浪室后，接触到消浪室后墙之前；F前和F后的相位差随着消浪室宽度的减小而减小。很明显，随着消浪室宽度的减小，四个力是趋于同相位的。此结论与刘勇[9]的实验结论一致。
通过进一步分析相对宽度B/L、相对波高H/L和相对水深d/L对总水平力的影响，以Fk/Fs作为分析指标，计算工况与5.1节相同，分别得出对应的四种结果（图13）。
由图13（a）可知，当B/L较小时，总水平力有小幅的增加；而B/L达到0.11左右时，总水平力有减小的趋势，即B/L对总水平力比的影响非线性，这一点在物理模型实验尚未发现。图13（b）反映同样规律。图13（c）中波高H变化时，相对波高H/L对开孔沉箱总水平的影响也是非线性的，但是当波高比较大、波高H为0.12 m时，H/L对总水平力比的影响却是呈现线性变化。图13（d）显示，相对水深d/L对总水平力是非线性的。
由于开孔消浪结构的消浪机制比较复杂，其尺度的选择与波浪力的计算只能依赖于理论分析、数值计算和实验研究相结合的办法来确定。从已发表的文献来看，理论分析和数值计算可以得出反射系数，而波浪力的分析至今较多是试验结果。对于开孔沉箱波浪力的计算，日本港湾研究所高桥（1996）推荐采用修正后的扩展合田公式，其中给出了静水位和墙底的压力值，认为静水面上压力零点位置为0.7H，三点间波压力呈线性分布，并且认为波压力与相对水深d/L呈二次关系。
本文假定总水平力与相对水深d/L呈二次关系，与相对波高H/L呈一次关系，采用最小二乘法拟合，将数值结果进行逼近，来描述各因素与总水平力比Fk/Fs的关系。拟合简化关系式为
拟合的相关系数R=0.921，符合拟合方程的相关性要求。与试验研究相比，式（13）给出了不同于式（12）形式的结果，说明总水平比与其相关影响因素之间的关系可能是非线性的。因此，以波压力特征点进行总水平力研究是不精确的，同时此结论也为类似条件下计算开孔沉箱总水平力的给出了一个新的参考。
5 结论
（1）SPH方法能够较真实地模拟复杂的流固耦合作用过程，特别是消浪室内部粒子的相互碰撞以及波浪的回流过程。经过对比，数值计算得出的波压力的结果与现有的理论结果比较吻合，因此，基于SPH方程的数学模型可以被用来进行波浪与开孔沉箱研究工作。
（2）在相同波浪要素条件下，消浪室后墙的波压力随消浪室相对宽度的增加而减小。在静水位以上，波压力分布基本是线性分布的，而在静水位以下，波压力的分布出现非线性现象。随着消浪室宽度的增加，总水平力与其组分之间存在着同相位到明显相位差的转变，总水平力峰值介于消浪室前墙和后墙峰值之间，并且消浪室前墙和后墙的总水平力增大的趋势相比消浪室内侧明显。说明总水平力并不是随着消浪室宽度的增加一直会减小。当消浪室相对宽度B/L为0.11时，开孔沉箱总水平力出现减小趋势。
（3）假定总水平力与相对水深d/L呈二次关系，与相对波高H/L呈一次关系，可以得出总水平力与其相关影响因素的非线性关系式，为开孔沉箱受力分析和工程设计提供了一个新的参考依据。
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