| 标题 | 浅谈解析几何二轮复习的一些想法和建议 |
| 范文 | 孔涛 [摘 要] 解析几何教学是中学数学的重点和难点，如何在高三解析几何复习教学中提高复习的针对性、有效性、高效性，成为教师复习教学的重要工作. [关键词] 解析几何；二轮复习；高三；数学；复习；教学 二轮复习教学是高考前的重要复习，是在一轮基础上进行的更有针对性的、专题性质的教学复习. 对于高三复习教学而言，一轮复习是系统的、横向的对各种知识进行梳理，比较全面地对每一章节的每一细微知识点都进行了复习. 与一轮复习不同的是，二轮复习更有针对性、专题性，它能将高考中的热点问题进行有效的纵向挖深，有效地将各类问题有机整合，成为复习教学必不可少的复习途径. 解析几何是中学数学教学的难点和重点，从新知教学开始，学生对于解析几何的恐惧一直延续到高三复习教学. 经过大量资料研究，造成解析几何难学的主要原因是：第一，运算量大是学生对其恐惧的首要原因；第二，几何条件如何转化成代数语言不能较好地掌握；第三，当变量居多时，无法正确选择合理变量进而转化成函数问题求解；第四，解析几何大部分的问题最终都是转化成函数求值域的问题，函数最值求解模型能力达不到要求. 从这几方面来看，解析几何问题最终造成了学生学习的困难，因此在二轮复习教学时，要研究高考中的热点问题结合上述造成困难的原因，提高复习教学的有效性和高效性. [?] 基于高考真题所反映的信息 每年的高考真题，都是大学教授和中学特级教师命题的结晶. 很多高考真题，具备很高的研究价值，这里面既有考纲中对基本知识考查的诉求，还有在教材基本概念、基本知识等层面上进行的提炼和深加工.笔者建议，教师和学生至少要做一做去年的高考真题，读懂这些真题背后所考查的知识点，有助于二轮复习教学的针对性. 问题1：设F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若=5，则点A的坐标是________. 分析：本题初看似乎与常规问题的解决有着极为不同的角度，但是细细品味，我们就不难发现高考真题想反映的是设而不求思想，但是这个设而不求需要利用椭圆最基本的性质——对称性给予呈现. 利用对称性这样最基本的性质去考查学生，成为高考问题贴近教材的朴实体现. [?] 类题同练 我们知道，从解析几何教学初始到高三复习教学，运算能力一直是解析几何教学急需解决的重要问题. 学生在运算中，往往对于直线和椭圆、直线和双曲线、直线和抛物线的各种不同联立方程极容易算错，笔者的建议是在二轮复习教学中，采用类题同练的方式，加强计算的针对性，从而减少学生在不同曲线背景下的运算错误率. 问题2：已知抛物线C：y2=4x，以M（1，2）为直角顶点作该抛物线的内接三角形MAB. 求证：直线AB过定点. 分析：设直线AB的方程为x=my+b，利用垂直关系及韦达定理，将M点看作两直线交点，利用轨迹思想，设直线MA的方程为y-2=k（x-1），联立抛物线方程，用-取代k，可得直线MB与抛物线联立的方程，进而求得定点（5，-2）. 类题1：把M点换成坐标原点，抛物线方程：y2=2px（p>0），则OA⊥OB时，直线AB过定点（2p，0）. （教材中的基本知识） 类题2：若kMA·kMB=r（常数），则直线AB必过定点. 类题3：若kMA+kMB=0，则直线AB的斜率为定值. 如图2，以AB为直径的动圆满足交点M在圆内，可以编制类题： 类题4：若将点M设为抛物线上任意一点，则直线AB必过定点. 类题5：若将点M设为圆上任意一点，则直线AB必过定点. 类题6：将抛物线换成椭圆，直线AB也必过定点 [?] 同题多变 二轮复习要注意问题的多变性，有些问题就是不断地在改变条件或者结论，要注重这样同一类型问题的多变，在二轮教学中进行这样的教学设计特别有助于教学的高效性. 问题3：椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P为其上动点，当∠F2PF2为钝角时，求点P横坐标的范围. 变式1：椭圆+=1的焦点为F1，F2，是否存在点P，使得∠F1PF2为直角？（≤e<1即可） 变式2：椭圆+=1的焦点为F1，F2，在椭圆上满足PF1⊥PF2的点P的个数有______个. （2个） 变式3：椭圆+=1，若θ表示焦周角∠F1PF2，求证：S△F1PF2=b2tan. 变式4：点A1，A2是椭圆+=1长轴的两端点，点P是椭圆上动点，则kPA1·kPA2=______. - 变式5：双曲线-=1上存在一点P满足∠FPF为直角的充要条件是离心率满足e≥. 变式6：双曲线-=1，若θ表示焦周角∠FPF，求证：S△F1PF2=b2cot. 变式7：点A1，A2是双曲线-=1长轴的两端点，点P是双曲线上的动点，则kPA1·kPA2=____. 同题多变使得教学的宽度大大地拉长了，针对同一问题演变出的很多近似的条件或结论都有了一定的了解，这种同题多变的二轮复习方式也给予教师在教学中有所启示. [?] 条件转化的合理性 学生之所以认为解析几何问题较难，是对如何转化题中的条件还具备不确定性. 很多学生从解析几何学习的第一天就没弄明白，解析几何是用什么样的方法解决什么样的问题！二轮复习中，教师需要引导学生加强这一思想的渗透：用代数运算的方式解决几何曲线问题，用合理的代数方式转化条件中的几何表述，注重积累的基础上，提高条件转化的合理性. 问题4：已知抛物线C：y2=-2px（p>0）上横坐标为-3的一点，与其焦点的距离为4. （1）求p的值； （2）设动直线y=x+b（b>3）与抛物线C相交于A，B两点，问：在直线l：y=2上是否存在与b的取值无关的定点M，使得∠AMB被直线l平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 分析：第（1）问显然利用抛物线的定义求解；对于第（2）问，学生最大的疑问是如何用代数的语言描述“∠AMB被直线l平分”，很多学生脑海中没有正确形成问题解决的代数思路：利用kAM=-kBM将几何条件转化成合理的代数语言. [?] 加强函数最值模型的处理 解析几何问题大都在求解变量范围，这势必与函数最值休戚相关. 中学数学说到底，还是变量问题的研究，这就和中学数学的核心章节——函数密不可分. 可以这么说，求解函数最值模型的熟练程度，是区分优秀学生与否的一个标志. 二轮复习中，教师需要精挑细选典型函数模型为本的解析几何问题，在教学中更有侧重地加以引导，从系统的角度审视，有助于优秀学生更上一层楼. 问题5：如图3，点F是抛物线x2=2py的焦点. （1）求抛物线的方程； （2）若点P为圆O上一动点，直线l是圆O在点P处的切线，直线l与抛物线相交于A，B两点（A，B在y轴的两侧），求四边形OAFB的面积的最小值. 本题利用动点坐标设置了问题的求解，在求解过程中，使用动点纵坐标建立函数模型，运用整体思想的介入形成了二次函数模型，进而求解. 值得注意的是，解析几何中的大部分问题最终涉及的函数还是一些基本初等函数，如二次函数模型、对勾函数模型等，不过转化过程往往需要整体思想介入才能显现出来，二轮复习教学要加以引导. 总之，二轮解析几何复习是提高该知识高度的一个时间点，从多年教学经验来看，上述经验结合编制校本学情的资料，以微型专题的形式介入，对于学生后续时间段内进一步提高解析几何有重要的作用. 笔者反对二轮复习阶段，无目的、无针对性的训练，不研究、不落实的训练是浪费时间，降低效率，因此以笔者浅薄之见提出一些二轮复习的想法，不成熟之处还请读者批评指正. |
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