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标题 例谈估算法在解题中的应用
范文

    程光宇+柏银花

    

    《数学课程标准》指出:“加强估算,鼓励算法多样化.”估算在人们的日常生活、生产劳动和科学实验中有着较为广泛的应用,估算能力是计算能力不可缺少的组成部分.所谓估算,实质上是一种快速的近似计算,它的基本特点是对数值做适当的扩大或缩小,从而对运算结果确定一个范围,或做出一个估计.

    一、解方程或判定根的个数

    例1方程x3+lgx=18的根x≈.(结果精确到0.1)

    分析这是一道典型的近似计算题,利用数形结合可能不够精确,令f(x)=x3+lgx-18,易知x>0时,f(x)为增函数,由于f(2.5)<0,-f(2.7)>0,所以,方程f(x)=0的根x∈(2.5,2.7),故x≈2.6.

    例2求方程lgx-sinx=0根的个数.

    分析此题利用数形结合的方法,但需要注意的是绘制出lgx,sinx图像的变化情况.因为|sinx|≤1,所以lgx与sinx的图像只有在[-1,1]之间的部分才可能有交点.则lgx<1lgx

    二、三角函数中的估算

    例32sin40°+12sin40°-1x=2+3,则x等于().

    A.tan5°B.tan15°C.tan25°D.tan75°

    分析x=(2+3)2sin40°-12sin40°+1.

    ∵sin40°∈(sin30°,sin45°)=12,22,

    故把sin40°≈0.6代入上式有x≈0.34.

    又tan15°=2-3≈0.27,tan30°=33≈0.58,故选C.

    例4若tanx=2aba2-b2,其中a>b>0,且0°

    A.baB.a2-b22aC.2aba2+b2D.a2+b22a

    分析取a=0时tanx=0,x=0°,故sinx=0,由此可知,当a从无穷大趋于零时,答案应趋于零,故A、B、D错,选C.

    针对计算型的选择题,可巧妙地应用估算法,从而快速选出答案,避免烦琐的计算.

    三、立体几何中的估算

    例5在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=32,EF与平面的距离为2,则该多面体的体积为().

    A.92B.5C.6D.152

    分析对于求体积的问题,我们目前只会计算特殊立体图形的体积,本问题中多面体既不是我们熟悉的棱柱又不是我们熟悉的棱锥,如何化解矛盾呢?

    不妨从特殊情况入手,将EF长度看作0,那么图中多面体变成我们所熟悉的四棱锥,因此,体积V=13×32×2=6,显然原问题中多面体体积应大于6,故选D.

    四、解析几何中的估算

    例6过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF,QF长分别为p,q,则1p+1q等于().

    A.2aB.12aC.4aD.14a

    分析本题是有关不变性的问题,常规解法是探求p,q,a的关系.过程烦琐,且计算较复杂,若能充分认识到变与不变的辩证关系,利用运动和变化的观点,借助于极限思想,即取PQ极限位置,可使问题变得简单易行.将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到y轴重合,此时Q,O重合,点P运动到无穷远处,所以不能称它是抛物线的弦,但它是弦的一种极限情形,因为QF=q=OF=14a,而PF=p→+∞,所以1p+1q→4a,故选C.

    五、不等式中的估算法

    不等式中常用的放缩法即是一种估算的结论,通过估算对原式进行放缩以达到解题的目的.

    例7求证1+12+13+14+…+1n<2n(n∈N+).

    分析利用分数性质,可以适当增项、减项,运用放缩法证明,但需要注意放缩要适度,否则不能同向传递.

    证明∵1n=22n<2n+n-1=2(n-n-1),

    ∴12<2(2-1),

    13<2(3-2),

    …

    1n-1<2(n-1-n-2),

    1n<2(n-n-1);

    以上各式相加,

    得1+12+13+14+…+1n<2n,所以不等式成立.

    教師在教学中不仅要注重估算方法的理解、学生间不同估法的交流,更要把估算置于解决问题的大背景下,让学生分析问题,选择合适的策略解决问题.在问题解决过程中,自觉地把计算和实际问题情境联系起来.理解为什么要估算,什么时候要用到估算,将估算作为解题的一个组成部分.

    

    

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更新时间:2025/2/6 1:01:54