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用数学核心素养构建灵韵课堂

范文

居加颖

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力.高中数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.数学核心素养具体该如何实践，需要慢慢探索，形成灵韵的数学课堂模式.下面笔者将以一节课为例，进行探究.

学生对图形的敏感性比较强，本节课就从图形出发，让学生在图形中找出最值和极值的区别，培养直观想象能力.

问题1 观察下图，你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的极大值和极小值吗？

学生1：极大值为x2，x5.

学生2：不对，x2，x5是极大值点，极大值是f（x2），f（x5）.

教师：那你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值吗？

学生4：是f（b）.

教师：你是怎么判断出来的？

学生4：看图就可以，x=b时，是最高点.

教师：最小值呢？

学生5：f（x1）.

学生6：f（x4）.

教师：既然你们有了不同意见，那怎样才能确定最小值呢？

学生：我们用尺子量一下两个函数值，然后比较一下，得到f（x4）更小一些.

学生通过图形得到了找出最值和极值的区别的过程中，培养了直观想象能力.在判断最值的过程中，对数据进行分析，培养学生数据分析能力.

问题2 回顾一下刚才确定最大值和最小值的过程，你们可以得到最值的概念吗？

学生7：最值是在整个定义域内寻找最大、最小的函数值.

教师：对，那是从图像上得到的，你们可以把文字语言转换成数学符号来表示吗？

学生7：比如，最大值：在定义域内，若f（x）

学生8：这个定义不对，应该是在定义域内，若f（x）≤f（x0）.

教师：你为什么加了一个等号？

学生8：极值中x是x0附近的点，最值中x是定义域中所有的点，所以最值里的f（x）就包括f（x0）.

教師：很好.那这个最大值的定义，没有交代x，x0的情况，你们觉得应该怎么交代x，x0？

学生9：在定义域内存在x0，对所有的x，都有f（x）≤f（x0）.

教师：很好，那么，最大值的定义就是：在定义域内存在x0，对所有的x，都有f（x）≤f（x0），则f（x0）为定义域上的最大值.同理，可以得到最小值的定义.

前面通过对图形的探究，进一步得到最值的概念，培养数学抽象能力.

问题3 如果是开区间（a，b），最值情况如何？

学生10：最小值不变，最大值取不到，没有最大值.

问题4 下面请同学们分小组交流，探讨最值和极值的区别和联系.

待讨论结束，学生们各自分享探讨结果.

学生11：极值是在x0附近的点比较函数值的大小，而最值是在整个定义域内比较.那么，极值是一个局部的概念，而最值是整体性的概念.

学生12：定义域内，可以有多个极大值、极小值，而只能至多有一个最大值或最小值.

学生13：极值可能是最值，最值不一定是极值.这个图上，f（x4）是极小值，也是最小值，而f（b）是最大值，却不是极大值.

学生14：极值只能在区间的中间取得，而最值可能是在端点处取得.比如，f（b）这个最大值就是端点值.

学生15：ymax>ymin，而极大值和极小值没有必然的大小关系.

学生16：最大值不一定大于最小值，也可能相等啊！常数函数最大值和最小值是相等的.

教师：很好，同学们把极值和最值的区别和联系都找到了.那你们会不会求最值？

学生17：根据图像，比较极值和端点值大小，得到最值.

学生深入探讨，研究极值和最值的区别和联系的过程，体现了数学抽象和逻辑推理能力.在学生的激烈讨论中，得出了极值和最值的区别、联系，还进一步整合了求最值的方法.

例1 求函数f（x）=x2-4x+3在区间[-1，4]上的最大值和最小值.

学生18：这是二次函数，直接通过二次函数的图像，即可找到最值.

学生19：这个可以求导，找到极小值，就是最小值，最大值要比较两个端点值.

通过学生19的方法，规范学生通过数的方法求最值的标准过程.而这个问题，比较简单的方法就是学生18的方法，以形助数，充分体现了数形结合的作用.

例2 求函数f（x）=x3-x2-x+1在区间[-1，2]上的最大值和最小值.

教师：这个函数，你们会不会画图？

学生23：不会了，但可以通过数来解决.利用导数来研究这个函数.

问题5 你能尝试画出这个函数的图像吗？

学生24：不太会，我只能把几个点找到.那怎么才能连起来呢？

学生25：刚才步骤中有表格啊，可以看到在每两个点之间的单调性，那就可以连起来了.

教师：很好，我们不仅得到了最值，还得到了这个三次函数的图像，也就是依数导形，体现了我们数学中的一个重要的思想方法——数形结合.

本节课可以在引入略做调整.把例1、例2先给学生做，做到例2的时候，学生会遇到困难，这个最值怎么求呢？在困惑中，教师再引导学生探讨极值、最值两者之间的关系.课堂效果会更好，能够激起思维的火花.

本节课在培养学生的直观想象、数据分析、数学抽象、数学运算、逻辑推理的数学核心素养的过程中，形成了和谐、活跃、高效的灵韵数学课堂.

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