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截面法求解二重积分中的体积问题

范文

曹汉林

摘要：本文通过列举一些二重积分中的体积问题的例子，和如何使用截面法来计算这些问题。通过使用不同的方法来求解，为积分问题的计算提供了一些技巧，拓宽了解题思路。

关键词：二重积分;体积;截面法

计算二重积分中的体积问题时，最常用的还是两种方法，一种是用直角坐标系，另一种是用极坐标系。利用直角坐标系时，通常转化为累次积分求解。利用极坐标系时，极坐标下的二重积分转化为二次积分来计算，关键是给出r，θ的上下限。但是在一些求体积的问题中，无论是用上面的哪种方法，可能都会有一点麻烦，但是针对这样一些特殊问题，截面法却能更简便求解，使二重积分问题大大简化。

例1 求曲面z2=? x2 4 + y2 9 和2z=? x2 4 + y2 9 所围成的立体V的体积。

解：立体V在xoy平面上的投影区域D为 x2 4 + y2 9 ≤4，立体的顶面为 z=??? x2 4 + y2 9? ，底面为z= 1 2?? x2 4 + y2 9? ，令 x=2rcosθ

y=3rsinθ ， 0SymbolcB@rSymbolcB@2

0SymbolcB@θSymbolcB@2π ，得（x，y）（r，θ） = 2cosθ-2rsinθ

3sinθ 3rcosθ? =6r，则体积

V =D?? x2 4 + y2 9?? 1 2 - 1 2?? x2 4 + y2 9?? dxdy =6∫2π0dθ∫20 r- 1 2 r2 rdr=8π

截面法：当两个曲面相交时，z2=2z，推出z=2，在0≤z≤2时，曲面2z=? x2 4 + y2 9 在z2=? x2 4 + y2 9 上方。用平行于平面xoy的平面去截这两个曲面，则每个截面都是椭圆面，由此可知立体V的截面面积为2?? 2z ×3?? 2z ×π -2z×3zπ=12zπ-6z2π，因此立体V的截面面积是关于z的一个函数，且z的取值范围为 0，2 。所以体积V=∫2012zπ-6z2π= 8π。

例2 求曲面z=x2+y2与x2+y2+z2=2以及xoy平面所围成的立体体积。

解：立体V1在xoy平面上的投影区域分为两部分，分别是D1：x2+y2SymbolcB@1与D2：1SymbolcB@x2+y2SymbolcB@2，令 x=rcosθ

y=rsinθ ， 0SymbolcB@rSymbolcB@2

0SymbolcB@θSymbolcB@2π ，得（x，y）（r，θ） = cosθ-rsinθ

sinθ?? rcosθ =r

则V1 =D1x2+y2dxdy+D2?? 2-x2-y2 dxdy =∫2π0dθ∫10r2rdr+∫2π0dθ∫?? 2 1r?? 2-r2 dr = 1 2 π+ 2 3 π= 7 6 π。

截面法：當两个曲面相交时，z=2-z2，推出z=1.用平行于平面xoy的平面去截这两个曲面，则每个截面都是圆面，由此可知立体V1的截面面积为（2-z2-2）π，且 z的取值范围为 0，1 。所以体积V1=∫10（2-z2-2）πdz =? 7 6 π。

例3 求椭球体 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2SymbolcB@1的体积。

解：由对称性，椭球体的体积V2是第一卦限部分体积的8倍，这一部分是以z=c?? 1- x2 a2 - y2 b2? 为曲顶，D={（x，y）|0≤y≤b?? 1- x2 a2? ，0≤x≤a}为底，所以V2= 8Dc?? 1- x2 a2 - y2 b2? dxdy，应用广义极坐标变换，由于z= c?? 1-r2 ，因此

V2 =8∫ π 2 0dθ∫10 c?? 1-r2 abrdr

=8abc∫ π 2 0dθ∫10?? 1-r2 rdr = 4 3 πabc。

截面法：用平行于平面xoy的平面去截该椭圆体，得到的是一个椭圆面，面积为πab（1- z2 c2 ），且z的取值范围为 -c，c 。所以V2=∫c-cπab（1- z2 c2 ）dz= 4 3 πabc。

从上面三个例子可以看出，截面法明显感觉到更简便一些。使用截面法时，先用平行于平面xoy（视情况而定平行面）的平面去截该立体，然后会得到关于自变量z的一个截面面积函数，在确定z的取值范围，之后就可以用定积分来求解。但是若要计算z=x2+y2和z=x+y所围成的立体体积，如果使用截面法求解，则会很难得到关于z的一个截面面积函数。这也就说明了不是所有的二重积分中的体积问题都可用截面法，该方法虽然有时简便有效，但有局限性，并不是万能的。能否用截面法求二重积分中的体积问题与该立体的几何形状和积分区域有关。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版下册）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]毛羽辉.数学分析（第四版）学习指导书[M].北京：高等教育出版社，2012.

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