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标题 一类非线性矩阵方程的迭代求解
范文

    张帆

    摘 要:讨论了求解方程组X-A*Y■A=QY-B*Y■A=QHermit正定解的迭代方法。

    关键词:非线性矩阵方程组;Hermit正定解;迭代;收敛

    0 引言

    本文主要研究非线性矩阵方程组X-A*Y■A=QY-B*Y■A=Q (1)

    其中A,B为正规矩阵,Q为 Hermite正定阵.讨论求解方程组Hermite正定解迭代的收敛性。

    考虑如下迭代X0=1,Y0=1。X■=A*Y■A+QY■=B*Y■B+Q (2)

    定理:若A,B,Q满足引理(1)中所有条件,且Q>1,||A||2(||Q||+||A||2)m-1<1/m那么方程组(1)

    存在Hermite正定解(X,Y),且满足

    X28

    Y28

    max(||X-X28||,||X28-X||)

    max(||Y-Y28||,||Y28-Y||)

    其中q=nm||A||2||B||2(||Q||+||A||2)m-1(||Q||+||B||2)n-1其中X■,Y■,s=0,1,2…由迭代(2)产生。

    证明: 对于X1,Y1,有

    X1,=Q+A*A>X0,Y1=Q+B*B>Y0

    所以,X1-m<,X0-m,Y1-n<,X0-n

    那么,B*X1-mB    因此,X0=1

    即X0

    由X0

    X2=Q+A*Y1-nA

    X2=Q+A*Y1-nA>Q+A*Y1-nA=X2

    即X2

    同理有Y2

    那么有X2

    继而有X4

    综上可知X0

    假设对所有k满足X0

    由假设可知

    X2k+2=Q+A*Y-n2K+1A

    X2k+4=Q+A*Y-n2K+2A>Q+A*Y-n2K+1A=X2k+2

    Y2k+2=Q+B*X-n2K+1B

    Y2k+4=Q+B*X-n2K+2B>Q+B*X-n2K+1B=Y2k+2

    即X2k+2

    同理可证X2k+4

    综上,有

    X0

    Y0

    至此,序列X■,X■,Y■,Y■单调且有下界。下证序列X■,X■有共同极限。

    ||X2s+1-X2s||=||A*Y-n2sA-A*Y2s-nA||

    =||A*Y-n2sYn2s-1Y-n2s-1-Y-n2sYn2sY-n2s-1A||

    ≤||A||2||Y-n2s(Yn2s-1Yn2s)Y-n2s-1||

    ≤||A||2||Y-n2s||||(Yn2s-1Yn2s)||Y-n2s-1||

    =||A||2||Y-n2s||||(Yn2s-1||||Y■-Y■■Y■■-1Y■■||

    <||A||2||Y-n2s-1-Y2s||■Y■■-Y■■i-1

    

    参考文献:

    [1]AsmaaM.Al-Dubiban.IterativeAlgorithmforSolvingaSystemofNonlinearMatrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics,2012,2012:1-15.

    [2]高东杰.矩阵方程 的 正定解[J].信息系统工程,2010(11):134-135.

    [3]高东杰,张玉海.矩阵方程 的 正定解[J].计算数学,2007,29(1):73-80.

    

    

    

    

    

    

    

    

    摘 要:讨论了求解方程组X-A*Y■A=QY-B*Y■A=QHermit正定解的迭代方法。

    关键词:非线性矩阵方程组;Hermit正定解;迭代;收敛

    0 引言

    本文主要研究非线性矩阵方程组X-A*Y■A=QY-B*Y■A=Q (1)

    其中A,B为正规矩阵,Q为 Hermite正定阵.讨论求解方程组Hermite正定解迭代的收敛性。

    考虑如下迭代X0=1,Y0=1。X■=A*Y■A+QY■=B*Y■B+Q (2)

    定理:若A,B,Q满足引理(1)中所有条件,且Q>1,||A||2(||Q||+||A||2)m-1<1/m那么方程组(1)

    存在Hermite正定解(X,Y),且满足

    X28

    Y28

    max(||X-X28||,||X28-X||)

    max(||Y-Y28||,||Y28-Y||)

    其中q=nm||A||2||B||2(||Q||+||A||2)m-1(||Q||+||B||2)n-1其中X■,Y■,s=0,1,2…由迭代(2)产生。

    证明: 对于X1,Y1,有

    X1,=Q+A*A>X0,Y1=Q+B*B>Y0

    所以,X1-m<,X0-m,Y1-n<,X0-n

    那么,B*X1-mB    因此,X0=1

    即X0

    由X0

    X2=Q+A*Y1-nA

    X2=Q+A*Y1-nA>Q+A*Y1-nA=X2

    即X2

    同理有Y2

    那么有X2

    继而有X4

    综上可知X0

    假设对所有k满足X0

    由假设可知

    X2k+2=Q+A*Y-n2K+1A

    X2k+4=Q+A*Y-n2K+2A>Q+A*Y-n2K+1A=X2k+2

    Y2k+2=Q+B*X-n2K+1B

    Y2k+4=Q+B*X-n2K+2B>Q+B*X-n2K+1B=Y2k+2

    即X2k+2

    同理可证X2k+4

    综上,有

    X0

    Y0

    至此,序列X■,X■,Y■,Y■单调且有下界。下证序列X■,X■有共同极限。

    ||X2s+1-X2s||=||A*Y-n2sA-A*Y2s-nA||

    =||A*Y-n2sYn2s-1Y-n2s-1-Y-n2sYn2sY-n2s-1A||

    ≤||A||2||Y-n2s(Yn2s-1Yn2s)Y-n2s-1||

    ≤||A||2||Y-n2s||||(Yn2s-1Yn2s)||Y-n2s-1||

    =||A||2||Y-n2s||||(Yn2s-1||||Y■-Y■■Y■■-1Y■■||

    <||A||2||Y-n2s-1-Y2s||■Y■■-Y■■i-1

    

    参考文献:

    [1]AsmaaM.Al-Dubiban.IterativeAlgorithmforSolvingaSystemofNonlinearMatrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics,2012,2012:1-15.

    [2]高东杰.矩阵方程 的 正定解[J].信息系统工程,2010(11):134-135.

    [3]高东杰,张玉海.矩阵方程 的 正定解[J].计算数学,2007,29(1):73-80.

    

    

    

    

    

    

    

    

    摘 要:讨论了求解方程组X-A*Y■A=QY-B*Y■A=QHermit正定解的迭代方法。

    关键词:非线性矩阵方程组;Hermit正定解;迭代;收敛

    0 引言

    本文主要研究非线性矩阵方程组X-A*Y■A=QY-B*Y■A=Q (1)

    其中A,B为正规矩阵,Q为 Hermite正定阵.讨论求解方程组Hermite正定解迭代的收敛性。

    考虑如下迭代X0=1,Y0=1。X■=A*Y■A+QY■=B*Y■B+Q (2)

    定理:若A,B,Q满足引理(1)中所有条件,且Q>1,||A||2(||Q||+||A||2)m-1<1/m那么方程组(1)

    存在Hermite正定解(X,Y),且满足

    X28

    Y28

    max(||X-X28||,||X28-X||)

    max(||Y-Y28||,||Y28-Y||)

    其中q=nm||A||2||B||2(||Q||+||A||2)m-1(||Q||+||B||2)n-1其中X■,Y■,s=0,1,2…由迭代(2)产生。

    证明: 对于X1,Y1,有

    X1,=Q+A*A>X0,Y1=Q+B*B>Y0

    所以,X1-m<,X0-m,Y1-n<,X0-n

    那么,B*X1-mB    因此,X0=1

    即X0

    由X0

    X2=Q+A*Y1-nA

    X2=Q+A*Y1-nA>Q+A*Y1-nA=X2

    即X2

    同理有Y2

    那么有X2

    继而有X4

    综上可知X0

    假设对所有k满足X0

    由假设可知

    X2k+2=Q+A*Y-n2K+1A

    X2k+4=Q+A*Y-n2K+2A>Q+A*Y-n2K+1A=X2k+2

    Y2k+2=Q+B*X-n2K+1B

    Y2k+4=Q+B*X-n2K+2B>Q+B*X-n2K+1B=Y2k+2

    即X2k+2

    同理可证X2k+4

    综上,有

    X0

    Y0

    至此,序列X■,X■,Y■,Y■单调且有下界。下证序列X■,X■有共同极限。

    ||X2s+1-X2s||=||A*Y-n2sA-A*Y2s-nA||

    =||A*Y-n2sYn2s-1Y-n2s-1-Y-n2sYn2sY-n2s-1A||

    ≤||A||2||Y-n2s(Yn2s-1Yn2s)Y-n2s-1||

    ≤||A||2||Y-n2s||||(Yn2s-1Yn2s)||Y-n2s-1||

    =||A||2||Y-n2s||||(Yn2s-1||||Y■-Y■■Y■■-1Y■■||

    <||A||2||Y-n2s-1-Y2s||■Y■■-Y■■i-1

    

    参考文献:

    [1]AsmaaM.Al-Dubiban.IterativeAlgorithmforSolvingaSystemofNonlinearMatrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics,2012,2012:1-15.

    [2]高东杰.矩阵方程 的 正定解[J].信息系统工程,2010(11):134-135.

    [3]高东杰,张玉海.矩阵方程 的 正定解[J].计算数学,2007,29(1):73-80.

    

    

    

    

    

    

    

    

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更新时间:2025/3/21 17:47:08