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函数基本性质在数列不等式证明中应用

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席天琦

【摘要】本文运用函数区间单调性、凸凹性等基本性质，提出了构造数列不等式特征函数，对比分析函数的图像构成的几何图形面积，解析数列不等式的方法;推导得出了等差数列不等式和交错数列不等式的一般形式.

【关键词】数列不等式;凸凹性;区间单调性;区间面积

一、引言

本文构造数列不等式特征函数，分析特征函数区间单调性、凸凹性，对比分析函数的图像构成的几何图形面积，证明数列不等式.

二、定理与证明

如图1所示，设D点横坐标为x1，E点横坐标为x2，则|DE|=x2-x1.

设曲线AC与AD，DE，EC围城区域的面积为S.

则SADEF<S<SADEC.

如曲线方程为y=f（x），则S=∫x 2x1f（x）dx，

SADEC=SADEB-S△ABC=f（x1）·（x1-x2）-1/2（x1-x2）·[f（x1）-f（x2）]，

即∫x 2x1f（x）dx<f（x1）·（x1-x2）-1/2（x1-x2）·[f（x1）-f（x2）]，

曲线y=f（x）在A点的切线方程为

y=f′（x1）·（x-x1）+f（x1），

則|EF|=f′（x1）·（x2-x1）+f（x1），

|BF|=-f′（x1）·（x2-x1），

可得∫x 2x1f（x）dx>f（x1）·（x2-x1）+1/2（x2-x1）2·f′（x1），

即f（x1）·（x2-x1）+12（x2-x1）2·f′（x1）<∫x 2x1f（x）dx<f（x1）·（x1-x2）-1/2（x1-x2）·[f（x1）-f（x2）].

定理一指数数列不等式

1/2+1/p-1-1/（p-1）·（n+1）p-1<1+1/2p+1/3p+1/4p+…+1/np<2/p-11-1/（n+1）p-1（n≥2，n∈N，p≥2）.

证明构造特征函数y=1/xp，x≥1;

因为y′=-p/xp+1<0，y″=p·（p+1）xp+2>0，

所以，当x≥1时，y=1xp单调递减，图像下凹;

∫n+111xpdx<1+1/2p+1/3p+1/4p+…+1/np×1-1/np×1-1/2×1×11/p-12/p+12/p-13/p+13/p+…+1/（n-1）p-1/np+1/np-1/（n+1）p=∑ni-11ip-1np-1/2×1-1/（n+1）p，

∫n+111xpdx=-1p-1×x-p+1n+11

=-1p-1×1（n+1）p-1-1

=1p-11-1（n+1）p-1.

代入上式整理可得

12+1p-1-1（p-1）·（n+1）p-1<1+12p+13p+14p+…+1np.

任一点（x=k，y=k-p），

y′|x=k=-p·x-p-1=-p·k-p-1，

曲线y=1xp，在点（k，k-p）处切线方程为

y=-p·k-p-1·（x-k）+k-p，

可得|EF|x=n+1=k-p-p·k-p-1，

|BF|x=k+1=p·k-p-1，

SADEF=1kp×1-12×1×p·k-p-1=k-p-12p·k-p-1，

SADEC=∫k+1k1xpdx，

SADEF<SADEC，

1+12p+13p+14p+…+1np×1-12×1×∑nk=1p·n-p-1<1p-11-1（n+1）p-1，

∑nk=11kp<1p-11-1（n+1）p-1+12P∑nk=1k-p-1<1p-11-1（n+1）p-1+12∑nk=11kp-12∑pk=11kp（p-1），

整理得∑nk=11kp<2p-11-1（n+1）p-1.

指数数列不等式的一般形式为

12+1p-1-1（p-1）·（n+1）p-1<1+12p+13p+14p+…+1np<2p-11-1（n+1）p-1.（1）

定理二等差数列不等式

1d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p]+12×d×1ap<∑i=n-1i=01（a+id）p<2d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p]，a>0，d>0，n≥2，n∈N，p≥2.

证明构造特征函数y=1（a+dx）p，x≥0;

因为y′=-d·p（a+dx）p+1<0，y″=d2·p·（p+1）（a+dx）p+2>0，

所以，当x≥0时，y=1（a+dx）p单调递减，图像下凹;

∫n01（a+xd）pdx<a+1（a+d）p+1（a+2d）p+1（a+3d）p+…+1[a+（n-1）d]p+1（a+nd）p×1-1（a+nd）p×1-12×d×1ap-1（a+d）p+…-1（a+nd）p，（2）

∫n01（a+xd）pdx=1d（1-P）（a+xd）1-pn0=1d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p].（3）

将（2）（3）合并整理可得

1d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p]+12×d×1ap<∑k=n-1k=01（a+kd）p.

任一点（x=k，y=（a+k·d）-p），y′|x=k=-p·d·（a+xd）-p-1=-p·d·（a+k·d）-p-1，

曲线y=1xp，在点（k，（a+kd）-p）处切线方程为

y=-p·d·（a+kd）-p-1·（x-k）+（a+kd）-p，

可得|BF|x=n+1=p·d·（a+kd）-p-1，

SADEF=（a+kd）-p-12p·d·（a+kd）-p-1，

SADEC=∫k+1k1（a+xd）pdx，

SADEF<SADEC，

∑n-1k=01（a+kd）p×1-12×1×∑n-1k=0pd（a+kd）-p-1<1d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p]，

∑n-1k=01（a+kd）p<2d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p].

等差数列不等式的一般形式为

1d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p]+12×d×1ap<∑i=n-1i=01（a+id）p<2d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p].（4）

定理三交错数列不等式

12+1p-11-12p-1-1p-11（n+1）p-1+12np<2∑nk=1（-1）k-1k-p<1-2-p+12（p-1）+21-1（n+1）p-42-p-1（n+2）p，n≥2，n∈N，p≥2.

证明构造特征函数y=1xp，x≥1;

M=1-12p+13p-14p+…+（-1）n+11np，

M1=1+12p+13p+14p+…+1np，

M2=12p+14p+…+1（2k）p，

则M=M1-2M2，

M2=12p+14p+…+1（2k）p=（2）-p×1+12p+13p+…+1kp.

又因为对于任取（2k+1～2k+4）区间存在

S1=2×1（2k+1）p-12×2×1（2k+1）p-1（2k+3）p-∫2k+32k+11xpdx，

S2=2×1（2k+2）p-12×2×1（2k+2）p-1（2k+4）p-∫2k+42k+21xpdx，

S1-S2=2×1（2k+1）p-1（2k+2）p-1（2k+1）p-1（2k+3）p-1（2k+2）p+1（2k+4）p-∫2k+32k+11xpdx+∫2k+42k+21xpdx，

图2交错数列面积对比示意图

S1-S2=2×1（2k+1）p-1（2k+2）p-1（2k+1）p-1（2k+3）p-1（2k+2）p+1（2k+4）p+11-p[（2k+4）-p+1-（2k+3）-p+1-（2k+2）-p+1+（2k+1）-p+1]=1（2k+1）p-1（2k+2）p+1（2k+3）p-1（2k+4）p+11-p1（2k+4）p-1-1（2k+3）p-1+1（2k+2）p-1-1（2k+1）p-1.

当p≥2时，显然S1-S2>0.

又因为M1=SACGE-S1，M2=SBDHF-S2，

M1-M2=SACGE-SBDHF-（S1-S2）<SACGE-SBDHF，

∫n+111xpdx-2·2-p∫k+111xpdx<1+12p+13p+14p+…+1np×1-12×1×11p-12p+12p-13p+13p+…+1（n-1）p-1np-21-p1+12p+13p+14p+…+1kp×1-12×1×11p-12p+12p-13p+13p+…+1（k-1）p-1kp=∑ni-11ip-12×1-1np-21-p∑ki-11ip-12×1-1kp，

1p-11-1（n+1）p-1-21-p1p-11-1（k+1）p-1<∑ni-11ip-21-p∑ki-11ip-12×1-1np+21-p·12×1-1kp，

1p-11-1（n+1）p-1-21-p·1p-11-1（k+1）p-1+12-12（2k）p-12p+1（2k）p<∑ni-11ip-21-p∑ki-11ip=M，

12+1p-11-12p-1-1p-11（n+1）p-1-1（n+2）p-1+12np<1-12p+13p-14p+…+（-1）n+11np.

任一点（2k+1，（2k+1）-p），y′|2k+1=-p·x-p-1=-p·（2k+1）-p-1，

曲线y=1xp，在点（2k+1，（2k+1）-p）处切线方程为

y=-p（2k+1）-p-1·（x-2k-1）+（2k+1）-p，

可得|EF|x=2k+3=-2p（2k+1）-p-1+（2k+1）-p，

|BF|x=k+1=2p（2k+1）-p-1.

图3交错数列面积对比示意图

S=1（2k+1）p×2-12×2×2p（2k+1）-p-1=2（2k+1）-p-2p（2k+1）-p-1，

SACGFE=∫2k+32k+11xpdx=1P-11（2k+1）p-1-1（2k+3）p-1，

SADEF<SADEC，

2∑nk=1k-p-2-p+2∑n 2k=1k-p-∑nk=12pk-p-1+2-p+1∑n2k=12pk-p-1<∫n11xpdx-2·2-p∫n 211xpdx=1p-1（1-n1-p）-2-p+1p-11-n21-p，

整理得2∑nk=1（-1）kk-p<1-2-p+1p-1+∑nk=12pk-p-1-2-p+1∑n2k=12pk-p-1，

∑nk=1（-1）kk-p<1-2-p+12（p-1）+21-1（n+1）p-42-p-1（n+2）p.

交错数列不等式的一般形式为

12+1p-11-12p-1-1p-11（n+1）p-1+12np<2∑nk=1（-1）k-1k-p<1-2-p+12（p-1）+21-1（n+1）p-42-p-1（n+2）p.（5）

三、结语

构造特征函数，利用特征函数的区间单调性和凹凸性，通过函数图形构成的几何图形面积对比，构建并证明了指数数列不等式、等差数列不等式和交错数列不等式的一般形式.

【参考文献】

[1]匡继昌.常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1993.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1981.

[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]王磊.调和级数的应用[J].林区学报，2014（9）：87-88.

[5]李动本.构造函数证明一类不等式[J].濮阳教育学院学报，2000（4）：55.

[6]张建波.M阶等差数列的前N项和[J].濮陽教育学院学报，2007（9）：220-221.

[7]聂辉华.等幂和不等式[J].湖南大学邵阳分校学报，1991（1）：8.

[8]孙燮华.Eluer公式的推广及其精确化[J].数学通报，1983（1）：22-25.

[9]关于Eluer公式的推广及其精确化[J].甘肃教育学院学报（自然科学版），1992（2）：24-27.

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