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标题 函数基本性质在数列不等式证明中应用
范文

    席天琦

    

    

    

    【摘要】本文运用函数区间单调性、凸凹性等基本性质,提出了构造数列不等式特征函数,对比分析函数的图像构成的几何图形面积,解析数列不等式的方法;推导得出了等差数列不等式和交错数列不等式的一般形式.

    【关键词】数列不等式;凸凹性;区间单调性;区间面积

    一、引言

    本文构造数列不等式特征函数,分析特征函数区间单调性、凸凹性,对比分析函数的图像构成的几何图形面积,证明数列不等式.

    二、定理与证明

    如图1所示,设D点横坐标为x1,E点横坐标为x2,则|DE|=x2-x1.

    设曲线AC与AD,DE,EC围城区域的面积为S.

    则SADEF<S<SADEC.

    如曲线方程为y=f(x),则S=∫x 2x1f(x)dx,

    SADEC=SADEB-S△ABC=f(x1)·(x1-x2)-1/2(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)],

    即∫x 2x1f(x)dx<f(x1)·(x1-x2)-1/2(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)],

    曲线y=f(x)在A点的切线方程为

    y=f′(x1)·(x-x1)+f(x1),

    則|EF|=f′(x1)·(x2-x1)+f(x1),

    |BF|=-f′(x1)·(x2-x1),

    可得∫x 2x1f(x)dx>f(x1)·(x2-x1)+1/2(x2-x1)2·f′(x1),

    即f(x1)·(x2-x1)+12(x2-x1)2·f′(x1)<∫x 2x1f(x)dx<f(x1)·(x1-x2)-1/2(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)].

    定理一指数数列不等式

    1/2+1/p-1-1/(p-1)·(n+1)p-1<1+1/2p+1/3p+1/4p+…+1/np<2/p-11-1/(n+1)p-1(n≥2,n∈N,p≥2).

    证明构造特征函数y=1/xp,x≥1;

    因为y′=-p/xp+1<0,y″=p·(p+1)xp+2>0,

    所以,当x≥1时,y=1xp单调递减,图像下凹;

    ∫n+111xpdx<1+1/2p+1/3p+1/4p+…+1/np×1-1/np×1-1/2×1×11/p-12/p+12/p-13/p+13/p+…+1/(n-1)p-1/np+1/np-1/(n+1)p=∑ni-11ip-1np-1/2×1-1/(n+1)p,

    ∫n+111xpdx=-1p-1×x-p+1n+11

    =-1p-1×1(n+1)p-1-1

    =1p-11-1(n+1)p-1.

    代入上式整理可得

    12+1p-1-1(p-1)·(n+1)p-1<1+12p+13p+14p+…+1np.

    任一点(x=k,y=k-p),

    y′|x=k=-p·x-p-1=-p·k-p-1,

    曲线y=1xp,在点(k,k-p)处切线方程为

    y=-p·k-p-1·(x-k)+k-p,

    可得|EF|x=n+1=k-p-p·k-p-1,

    |BF|x=k+1=p·k-p-1,

    SADEF=1kp×1-12×1×p·k-p-1=k-p-12p·k-p-1,

    SADEC=∫k+1k1xpdx,

    SADEF<SADEC,

    1+12p+13p+14p+…+1np×1-12×1×∑nk=1p·n-p-1<1p-11-1(n+1)p-1,

    ∑nk=11kp<1p-11-1(n+1)p-1+12P∑nk=1k-p-1<1p-11-1(n+1)p-1+12∑nk=11kp-12∑pk=11kp(p-1),

    整理得∑nk=11kp<2p-11-1(n+1)p-1.

    指数数列不等式的一般形式为

    12+1p-1-1(p-1)·(n+1)p-1<1+12p+13p+14p+…+1np<2p-11-1(n+1)p-1.(1)

    定理二等差数列不等式

    1d(1-P)×[(a+nd)1-p-a1-p]+12×d×1ap<∑i=n-1i=01(a+id)p<2d(1-P)×[(a+nd)1-p-a1-p],a>0,d>0,n≥2,n∈N,p≥2.

    证明构造特征函数y=1(a+dx)p,x≥0;

    因为y′=-d·p(a+dx)p+1<0,y″=d2·p·(p+1)(a+dx)p+2>0,

    所以,当x≥0时,y=1(a+dx)p单调递减,图像下凹;

    ∫n01(a+xd)pdx<a+1(a+d)p+1(a+2d)p+1(a+3d)p+…+1[a+(n-1)d]p+1(a+nd)p×1-1(a+nd)p×1-12×d×1ap-1(a+d)p+…-1(a+nd)p,(2)

    ∫n01(a+xd)pdx=1d(1-P)(a+xd)1-pn0=1d(1-P)×[(a+nd)1-p-a1-p].(3)

    将(2)(3)合并整理可得

    1d(1-P)×[(a+nd)1-p-a1-p]+12×d×1ap<∑k=n-1k=01(a+kd)p.

    任一点(x=k,y=(a+k·d)-p),y′|x=k=-p·d·(a+xd)-p-1=-p·d·(a+k·d)-p-1,

    曲线y=1xp,在点(k,(a+kd)-p)处切线方程为

    y=-p·d·(a+kd)-p-1·(x-k)+(a+kd)-p,

    可得|BF|x=n+1=p·d·(a+kd)-p-1,

    SADEF=(a+kd)-p-12p·d·(a+kd)-p-1,

    SADEC=∫k+1k1(a+xd)pdx,

    SADEF<SADEC,

    ∑n-1k=01(a+kd)p×1-12×1×∑n-1k=0pd(a+kd)-p-1<1d(1-P)×[(a+nd)1-p-a1-p],

    ∑n-1k=01(a+kd)p<2d(1-P)×[(a+nd)1-p-a1-p].

    等差数列不等式的一般形式为

    1d(1-P)×[(a+nd)1-p-a1-p]+12×d×1ap<∑i=n-1i=01(a+id)p<2d(1-P)×[(a+nd)1-p-a1-p].(4)

    定理三交错数列不等式

    12+1p-11-12p-1-1p-11(n+1)p-1+12np<2∑nk=1(-1)k-1k-p<1-2-p+12(p-1)+21-1(n+1)p-42-p-1(n+2)p,n≥2,n∈N,p≥2.

    证明构造特征函数y=1xp,x≥1;

    M=1-12p+13p-14p+…+(-1)n+11np,

    M1=1+12p+13p+14p+…+1np,

    M2=12p+14p+…+1(2k)p,

    则M=M1-2M2,

    M2=12p+14p+…+1(2k)p=(2)-p×1+12p+13p+…+1kp.

    又因为对于任取(2k+1~2k+4)区间存在

    S1=2×1(2k+1)p-12×2×1(2k+1)p-1(2k+3)p-∫2k+32k+11xpdx,

    S2=2×1(2k+2)p-12×2×1(2k+2)p-1(2k+4)p-∫2k+42k+21xpdx,

    S1-S2=2×1(2k+1)p-1(2k+2)p-1(2k+1)p-1(2k+3)p-1(2k+2)p+1(2k+4)p-∫2k+32k+11xpdx+∫2k+42k+21xpdx,

    图2交错数列面积对比示意图

    S1-S2=2×1(2k+1)p-1(2k+2)p-1(2k+1)p-1(2k+3)p-1(2k+2)p+1(2k+4)p+11-p[(2k+4)-p+1-(2k+3)-p+1-(2k+2)-p+1+(2k+1)-p+1]=1(2k+1)p-1(2k+2)p+1(2k+3)p-1(2k+4)p+11-p1(2k+4)p-1-1(2k+3)p-1+1(2k+2)p-1-1(2k+1)p-1.

    当p≥2时,显然S1-S2>0.

    又因为M1=SACGE-S1,M2=SBDHF-S2,

    M1-M2=SACGE-SBDHF-(S1-S2)<SACGE-SBDHF,

    ∫n+111xpdx-2·2-p∫k+111xpdx<1+12p+13p+14p+…+1np×1-12×1×11p-12p+12p-13p+13p+…+1(n-1)p-1np-21-p1+12p+13p+14p+…+1kp×1-12×1×11p-12p+12p-13p+13p+…+1(k-1)p-1kp=∑ni-11ip-12×1-1np-21-p∑ki-11ip-12×1-1kp,

    1p-11-1(n+1)p-1-21-p1p-11-1(k+1)p-1<∑ni-11ip-21-p∑ki-11ip-12×1-1np+21-p·12×1-1kp,

    1p-11-1(n+1)p-1-21-p·1p-11-1(k+1)p-1+12-12(2k)p-12p+1(2k)p<∑ni-11ip-21-p∑ki-11ip=M,

    12+1p-11-12p-1-1p-11(n+1)p-1-1(n+2)p-1+12np<1-12p+13p-14p+…+(-1)n+11np.

    任一点(2k+1,(2k+1)-p),y′|2k+1=-p·x-p-1=-p·(2k+1)-p-1,

    曲线y=1xp,在点(2k+1,(2k+1)-p)处切线方程为

    y=-p(2k+1)-p-1·(x-2k-1)+(2k+1)-p,

    可得|EF|x=2k+3=-2p(2k+1)-p-1+(2k+1)-p,

    |BF|x=k+1=2p(2k+1)-p-1.

    图3交错数列面积对比示意图

    S=1(2k+1)p×2-12×2×2p(2k+1)-p-1=2(2k+1)-p-2p(2k+1)-p-1,

    SACGFE=∫2k+32k+11xpdx=1P-11(2k+1)p-1-1(2k+3)p-1,

    SADEF<SADEC,

    2∑nk=1k-p-2-p+2∑n 2k=1k-p-∑nk=12pk-p-1+2-p+1∑n2k=12pk-p-1<∫n11xpdx-2·2-p∫n 211xpdx=1p-1(1-n1-p)-2-p+1p-11-n21-p,

    整理得2∑nk=1(-1)kk-p<1-2-p+1p-1+∑nk=12pk-p-1-2-p+1∑n2k=12pk-p-1,

    ∑nk=1(-1)kk-p<1-2-p+12(p-1)+21-1(n+1)p-42-p-1(n+2)p.

    交错数列不等式的一般形式为

    12+1p-11-12p-1-1p-11(n+1)p-1+12np<2∑nk=1(-1)k-1k-p<1-2-p+12(p-1)+21-1(n+1)p-42-p-1(n+2)p.(5)

    三、结语

    构造特征函数,利用特征函数的区间单调性和凹凸性,通过函数图形构成的几何图形面积对比,构建并证明了指数数列不等式、等差数列不等式和交错数列不等式的一般形式.

    【参考文献】

    [1]匡继昌.常用不等式[M].长沙:湖南教育出版社,1993.

    [2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1981.

    [3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002.

    [4]王磊.调和级数的应用[J].林区学报,2014(9):87-88.

    [5]李动本.构造函数证明一类不等式[J].濮阳教育学院学报,2000(4):55.

    [6]张建波.M阶等差数列的前N项和[J].濮陽教育学院学报,2007(9):220-221.

    [7]聂辉华.等幂和不等式[J].湖南大学邵阳分校学报,1991(1):8.

    [8]孙燮华.Eluer公式的推广及其精确化[J].数学通报,1983(1):22-25.

    [9]关于Eluer公式的推广及其精确化[J].甘肃教育学院学报(自然科学版),1992(2):24-27.

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更新时间:2025/3/14 18:23:40