《等价无穷小量代换及泰勒公式在极限运算中的应用》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

标题

等价无穷小量代换及泰勒公式在极限运算中的应用

范文

李珊栗巧玲余旭洪

【摘要】本文提出了等价无穷小量代换的一个重要结论以及等价无穷小与泰勒公式的关系.

【关键词】等价无穷小量;泰勒公式;极限

【基金项目】国家自然科学基金（11601331，11601332），上海高校青年教师培训资助计划.

高等数学的研究对象是变量，研究方法是无穷小分析法，也就是极限方法，掌握好极限概念与极限运算是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯.求解极限的方法有很多，但选择适当的方法直接关系到运算过程的简便程度和运算结果的正确性.利用等价代换求解极限是指将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而简化运算[1-3]，但是遇到分式中的加减项的时候不能随便套用等价无穷小.

例1 ??求 lim x→0 ?tanx-sinx sin3x .

错误解法 ?当x→0时，tanx～x，sinx～x，

∴原式=lim x→0 ?x-x x3 =0.

正确解法 ?当x→0时，tanx～x，sinx～x，1-cosx～ 1 2 x2，

∴原式=lim x→0 ?tanx（1-cosx） x3 =lim x→0 ??1 2 x3 x3 = 1 2 .

分析 ?错误在于认为当x→0时，tanx～x，sinx～x，则有tanx-sinx～x-x=0，即错误地认为无穷小量的代换可以任意地应用到极限运算中，并忽视了在等价无穷小代换中，分子、分母必须是相同无穷小量的同阶形式，也就是说如果按照错误的解法进行无穷小替换之后，分子是关于x的一阶无穷小，而分母是关于x的三阶无穷小，则分子与分母的比值应该为∞，这与无穷小等价替换的定理二[1]相矛盾，定理二指出：设α～α? ～，β～β? ～，且lim β? ～? α? ～? 存在，则lim β α =lim β? ～? α? ～? .即利用等价无穷小做代换，就必须满足替换后的极限必须是存在的.

这个题目应用泰勒公式的计算方法为：

原式=lim x→0 ??x+ x3 3 +o（x3） - x- x3 6 +o（x3）? x3

=lim x→0 ??x3 2 +o（x3） x3 = 1 2 .

也就是说和差不能代换的原因是tanx-sinx= x3 2 +o（x3）.

根据上例，我们得到一个有用的定理.

定理 ?α，β，α? ～，β? ～为同一变化过程中的无穷小量，且α，β为同阶无穷小，又α～α ?～，β～β? ～ .

（1）当lim β α ≠-1时，则 α+β γ ～ α? ～ +β? ～? γ ;

（2）当lim β α ≠1时，则 α-β γ ～ α? ～ -β? ～? γ .

证明 ?由已知lim β α =a，lim β′ β =1，则当a≠-1时，

有lim ?α? ～ +β? ～? γ?? α+β γ? =lim 1+ β? ～? α? 1+ β α? = lim 1+ β? ～? β · β α?? lim 1+ β α?? = 1+a 1+a =1，

即当lim β α ≠-1时，则 α+β γ ～ α? ～ +β? ～? γ .同理可证（2）.

由该定理我们可以看出上述例子的错误在于，首先，lim -sinx tanx =-1不满足该定理的条件，所以不能随意利用等价无穷小量代换;其次，该定理的应用和分母γ没有必然的联系.

例2 ??求 lim x→0 ?ex-1+arcsin3x 4x .

解 ?当x→0时，ex-1～x，arcsin3x～3x，

且lim x→0 ?arcsin3x ex-1 =lim x→0 ?3x x =3≠-1，

所以，当x→0时，ex-1+arcsin3x～x+3x=4x.

由定理2易知：原式=lim x→0 ?4x 4x =1.

通过定理2，很大程度上给极限运算中的代数和带来了方便.

例3 ??求 lim x→0 ?tanx-sinx arctanx .

错误解法 ?当x→0时，tanx～x，sinx～x，

∴原式=lim x→0 ?x-x x =0.

正确解法 ?当x→0时，tanx～x，1-cosx～ 1 2 x2，

∴原式=lim x→0 ?tanx（1-cosx） x =lim x→0 ??1 2 x3 x =0，

或者，原式=lim x→0 ??x+ x3 3 +o（x3） - x- x3 6 +o（x3）? x =lim x→0 ??x3 2 +o（x3） x =0.

例3是一个经典的反例，是很多学生在求解極限时会出现的错误，认为答案是正确的，步骤就没有问题，其实却弄巧成拙.

总之，在一般情况下，无穷小量的等价代换并不完全适合于极限的加减运算，此时可以结合泰勒公式进行计算.而在教学过程中，部分学生想当然地进行无穷小量的代换，以至于不可避免地会出现这样那样的错误.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

随便看

科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。