浅谈“形”与“数”在数与代数中的应用

    郭颖

    

    

    

    【摘要】国内外现状：数形结合作为小学数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想就得到了突飞猛进的发展。

    【关键词】数形结合 实体化教学

    【基金项目】课题名称：运用数形结合思想提高小学生数学素养的实践研究，课题编号：JCJYC17040334

    【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）22-0095-02

    我校结合皮亚杰儿童认知心理学和蒙台梭利教学法，借助卢氏直观思维模型和实体化教学模式，完成了小学阶段的数与代数的教学，概念分类和概念认知的学习途径与方法的探索，形成了关于数学教学的学习目标集、概念实体攻略、三段式教学方法。

    区域现状：近几年一直在推行以“概念为本，实物配对”的实体化教学，基本理念就是“一切认知来源于感觉，12岁以下的儿童手中没有实物，就无法进行思考”。现今我们的教学，把课堂的主动权还给了学生。让学生在自由、安全的学习环境中，借助实物，通过动手操作、展示、分享等形式充分体验，主动发现问题，探究问题，进而解决问题，实现了数学的生活化。而数形结合思想在数学实体化教学中进行了很好的验证。

    [正文]：数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。实践研究适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。

    一、概念厘定

    （一）“数”与“形”

    “数”和“形”是数学中两个最基本的概念，“数”，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；而“形”原来主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物。但是现在的“形”，不單单指几何图形，范指具体形象运演。即：通过形式运演、具体实际操作，形成抽象思维能力。所以可以帮助学生理解的实物、视频等都能看作“形”。数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生指出，“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

    （二）实体化教学

    “概念为本，实物配对”的实体化教学，指的是使人身心一体化的教育。皮亚杰认为：12岁之前的儿童处于要依靠具体的实物，使用感觉和体验学习的过程。孙瑞雪认为：12岁的儿童手中没有实物无法形成认知。

    “把儿童从感觉训练引向概念”就是智力教育；认知形成有这样一个基本的过程：感觉---知觉---概念。离开了感觉，由成人“教”出来的东西，只是知识，而非智力；离开了感觉，就会导致感知觉分离。感觉是感觉、认识是认识、做法是做法，无法完成整个认知过程，到达智力层面。

    实体化教学分为两部分：实体化概念和概念实体化。实体化概念即：经由充分的体验过程，形成的概念。概念实体化即：将概念与生活对接。

    二、“形”与“数”在数与代数中的实施案例

    （一）“形”+“数”的概念，让概念更加具体

    人教版三年级上册《吨的认识》这一课。由于“吨”这个概念学生不会有感受，所以我们在教学本课时，让每个学生从家里带了不同种类但是质量都是5千克的物品，如：大米、面粉、糖、盐等。整个三年级的学生全部集中在操场上，先在各班通过拿、掂感受5千克、10千克。然后集中20个人的物品放在一个大袋子里，学生通过拖、抱感受100千克。最后集齐十个100千克的大袋子，放在一起，让孩子通过直观感受1吨的重量。通过上面学生的实体化活动，回到班里，学生分享刚才活动的感受。有的学生说：“5千克、10千克的时候我能轻松地抱动，但是100千克我就只能拖着它走，1000千克看着那么多，我怎么都抱不动，而且我们小组的人一起上也抱不动”。有的学生说“原来不知道1吨有这么多，这么重”。学生充分分享后，老师适时地出现“吨和千克”的关系和进率。通过实物操作，也就是“形”，最后帮助学生抽象出“数”，即“1吨=1000千克”，学生经历了感觉——知觉——认知，最后形成智力。

    （二）“形”+“数”的计算，让算理更加清晰

    人教版五年级上册《解方程》例1的变式（因为没有质量是3克和9克的砝码，所以变动原例题“x+3=9”）x+5=15。学生在之前已经学习了等式的性质，本节课给每个小组配备一个天平、一盒砝码和一小包盐。告诉学生一个5克的砝码加上这包盐是15克，求这包盐的质量。让学生自主列出方程，小组合作利用等式的性质，用天平来称出这包盐的质量。

    生1：我们组在天平的左边放上5克的砝码和盐，右边我们尝试了几次，发现用1个10克、1个5克的砝码正好能使天平平衡，然后在天平的左右两边同时去掉1个5克的砝码，天平仍然平衡，所以这包盐重10克。

    生2：我觉得用天平太麻烦，我把操作天平的过程画了图，即：

    这样简单，而且也很直观。

    生3：我把操作天平的过程写了下来，就是解这个方程的过程，即：

    x+5=15

    解：x+5-5=15-5

    x=10

    学生一步步从操作天平（具象）——画出过程图（半具象）——解方程（抽象），借助天平（形）——解方程（数），充分理解了解方程的算理，为后面解复杂方程打下牢固的基础。

    （三）“形”+“解决问题”，让思路更加直观

    人教版小学数学一年级上册，第六单元例6《中间有几人》，“小丽排第10，小宇排第15。小丽和小宇之间有几人？”对于一年级的学生来说，这样的问题不容易解决，因为它既不是已知整体求部分，也不是已知部分求整体，而且还包含着序数的含义。所以需要运用数形结合的思想，让孩子们自己站队演示，把抽象的数学问题实体化。通过自己的切实体验感知“第10个人到第15个人之间”不含第10个人和第15个人，运用点数法便可以轻松地解决。在此活动之后，让学生尝试用半具象半抽象的图形表示出来。

    在此基础上最终达到直接运用数数的方法解决此问题。

    （四）以形助数巧理解

    人教版小学数学四年级上册第四单元例3“积的变化规律”后面的“做一做”中有一道习题，“已知一块长方形绿地的面积是200平方米，宽8米。如果这块绿地的长不变，宽增加到24米。扩大后的绿地面积是多少？”由于已经学过长方形的面积计算方法，因此学生习慣先算出绿地的长，再用长和增加后的宽求出扩大后绿地的面积。在此发问：“宽从8米增加到24米，还可以如何表达宽的变化？”促使学生发现宽乘了3。再引导学生运用“积的变化规律”思考：长（一个因数）不变，宽（另一个因数）乘3，长方形的面积（积）会发生什么变化。学生不难发现，长方形的面积也会乘3。从而运用积的变化规律巧算长方形的面积，巧妙地用“数”解“形”。以这道题为教学资源，让学生通过拼摆或画图的方法，从几何的角度自主探索：长方形的长不变，宽乘3，面积为什么也乘3。

    通过讨论、分享让学生感受a×b中，a不变，b×3，积会变成3个（a×b），即3（a×b）。经历了对“形”的研究过程，学生对“数”的理解会更进一步。

    数学知识的形成过程，感觉非常重要。在教学中，如果不让儿童通过身体的各个部位与感官来实体化地体验，就无法使他们产生感受、情绪、意境、精神，而只能形成一些死记硬背的东西，成为装载知识的容器。而数形结合的方法恰好就在把抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式。借助数形结合，为实体化教学提供了很好的教学方法和解决方案。这也是实体化教学和数形结合思想方法异曲同工的地方。教学中，借助实物（形），再现生活情景，引导学生回归生活实践，激发学生自觉应用所学知识解决生活中的相关问题，学会理性思考，用数学方法理解和解释实际问题，促进知识的“内化”，有效地提高课堂教学质量，提高学生的数学素养。

    参考文献：

    [1]张亮.数形结合法的几个应用[J].井冈山师范学院学报，2003.

    [2]袁桂珍.数形结合思想方法及其运用[J].广西教育，2004，（15）：11.

    [3]刘焕芬.巧用数形结合思想解题[J].数学通报，2005，（01）：67-69.

    [4]王玉燕.例谈“数”﹢“形”解题[J].中学数学研究（江西师大），2008，（5）：11-14.

    [5]郭启涛.数形结合的几种基本途径[J].数学教学研究，2003，（10）：21-21.