一类非线性矩阵方程组性质的研究

    张帆

    摘 ?要：讨论了方程组X-A Y A=QY-B X B=QHermit正定解的性质及存在条件.

    关键词：非线性矩阵方程组;Hermit正定解

    0 ?引言

    本文主要研究非线性矩阵方程组X-A Y A=QY-B X B=Q （1）

    其中A，B为非奇异矩阵，Q为 Hermite正定阵.讨论方程组的 Hermite正定解的最大最小特征值与系数矩阵的特征值之间的关系，给出解的存在范围，并得到方程组存在Hermite正定解的充要条件。

    1 ?主要结果

    定理1 若λ- ，λ+分别为方程组 （1）Hermite正定解X的最小特征值和最大特征值，？-， ？+分别为方程组（1）Hermite正定解Y的最小特征值和最大特征值，θ-， θ+分别为Q的最小特征值和最大特征值，η，ξ分别为 A， B的特征值.那么，

    证明：假设v为矩阵A对应于特征值？浊的特征向量，且||v||=1，？棕为矩阵B对应于特征值？孜的特征向量，且||？棕||=1。

    定理2 若方程组（1）存在Hermite正定解 ，那么Q

    证明：因为（X，Y）是方程组的Hermite正定解，所以A Y A>0，B X B>0

    所以X>Q，Y>Q。

    由Y>Q可知A Y A

    那么X=Q+A Y A

    因此 Q

    同理可证 Q

    定理3 方程组（1）存在Hermite正定解当且仅当矩阵A，B满足A=P*P N，B=R*R M。其中P，R为非奇异矩阵且满足R*R-N*N=Q，P*P-M*M=Q此时方程组的解为（R*R，P*P）。

    证明：若方程组（1）存在正定解（X，Y），令X=R*R，Y=P*P，其中R，P为非奇异矩阵。那么方程组可写为

    R R-A P P A=QP P-B R R B=Q ? R R-A P P P P A=QP P-B R R R R B=Q

    令N=（P*P）-n/2A，M=（R*R）-mB，则有A=P*P N，B=R*R M

    若A，B满足A=（P*P）n/2N，B=（R*R）m/2M，且R*R-N*N=Q，P*P-M*M=Q

    令X=R*R，Y=P*P。那么X，Y正定且为Hermite阵。此时

    X-A Y A=R R-A P P A

    =R R-A P P P P A

    =R R-N N

    =Q

    Y-B X B=P P-B R R B

    =P P-B R R R R B

    =P P-M M

    =Q

    由此，方程组（1）的Hermite正定解可记为（R*R，P*P）。

    参考文献：

    [1]AsmaaM.Al-Dubiban.IterativeAlgorithmforSolvingaSystemofNonlinearMatrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics，2012， 2012：1-15.

    [2]高东杰.矩阵方程X=Q+A*X A0

    [3]高东杰，张玉海.矩阵方程X-A*X A=Qq>0 的Hermite正定解[J].计算数学，2007，29（1）：73-80.