加强抽象推理模型教学落实数学教学核心目标
李树臣?ね趸酆?
【摘要】数学思想是指人们在从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式.加强数学基本思想教学是数学教学的核心目标.数学思想包含很多，但是基本思想主要是抽象、推理和模型.抽象是获取数学概念的重要手段，通过概念教学培养抽象思想；推理思想的培养应贯穿在数学教学的全过程中；培养学生利用数学知识解决有关问题的过程对于形成建模思想具有重要的意义.
【关键词】基本思想；抽象；推理；模型
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》在课程的“总目标”中提出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[1].数学基本思想是构成核心素养的重要内容.数学核心素养问题在本质上反映了数学教学的根本目标问题.
重视数学思想教学是教师们长期以来“奉行”的主要原则之一，但究竟哪些是数学的基本思想却一直把握不准，存在争议.笔者在本文首先谈谈对数学基本思想的一些新认识，然后提出加强基本思想教学的宏观途径.1正确认识数学基本思想
数学思想是指人们从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式[2].《课标（2011年版）》提出“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想……”[1].
這里在“思想”前面加上了“基本”二字，目的有二：一方面是强调基本思想的重要性；另一方面是控制数量（基本思想不要太多了）.“数学思想”有许多，并且是具有层次性的，而“基本数学思想”则是其中具有本质性特征和基本重要性的一些思想，处于较高的层次，其他的数学思想都可以由这些“数学的基本思想”演变出来，派生出来，发展出来[3].
要搞清楚究竟哪些是数学基本思想，首先需要建立判断数学基本思想的原则.对此，史宁中教授提出了两个原则[4]：
第一个原则：数学产生和发展所必须依赖的那些思想.
第二个原则：学习数学的人应当具有的基本思维特征.
根据这两个原则，可以把基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型.针对具体的教学内容，我们不可能把三者截然分开，在这三个核心要素中抽象是基础，进行推理和建立模型的过程一刻也不能离开抽象，三者之间相互交融在一起，常常是“你中有我，我中有你”.
1.抽象
所谓抽象，就是从许多事物的表象中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程.数学抽象主要包括两个方面的内容：数量与数量关系，图形与图形关系.数学的抽象不仅仅要抽象出数学所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系.与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质.
抽象是数学得以产生和发展的思维基础，数学抽象经历了两个阶段[4]：
第一阶段的抽象是基于现实的.通过对现实世界中的数量与数量关系、图形与图形关系的抽象，得到了数学的基本概念、运算法则和基本原理.这种抽象是从感性具体上升到理性具体的思维过程.
第二阶段的抽象是基于逻辑的.通过这个阶段的抽象，合理解释第一次抽象得到的数学概念以及概念之间的关系.这个阶段抽象的特点是符号化、形式化和公理化，这是从理性具体上升到理性一般的思维过程.
案例1一元一次方程的建立过程.
一元一次方程是在学生学习了方程的基础上建立起来的一个代数概念.在这之前学生已经知道“含有未知数的等式就是方程”.为了引导学生经历一元一次方程的建立过程，我们可以引导学生观察下列方程（这四个方程都是根据具体问题情境得到的）的特点：
3x+1=64；4+3（x-1）=64；3y+5=2；2a-3=5a.
学生通过观察、交流，抽象、概括出上述四个方程的两个本质特点：
（1）只有一个未知数；（2）未知数的次数是1.
这就是一元一次方程的本质特点，至此，给出一元一次方程的定义.一元一次方程的概念是建立在抽象基础上的.抽象是形成数学概念的重要逻辑手段.
2.推理
《课标（2011年版）》指出“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.”[1]数学推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程[4].从数学思想的角度看，数学研究对象的确立依赖数学抽象，而数学内部自身的发展则依赖数学推理.
数学推理是一种有逻辑的推理，这种逻辑推理包括归纳推理和演绎推理.
（1）归纳推理：命题的适用范围由小到大的推理，是一种由特殊到一般的推理.归纳推理包括不完全归纳法、类比法、数据分析等，数学的结论都是通过归纳推理得到的，得到的“数学手段”是“猜”而不是“证”.因此，由归纳推理得到的结果不一定都正确.
案例2积的乘方法则的发现过程.
①通过给定问题情境，让学生计算下面的结果：
（2a）2=2a×2a=（2×2）×（a×a）=4a2.
②在此基础上，让学生计算：（2a）3=？（2a）4=？
③一般地，设m是正整数，（ab）m=（ab）·（ab）·…·（ab）m个（ab）=（a·a·…·a）m个a（b·b·…·b）m个b=ambm.
即（ab）m=ambm.
在对一些具体算式进行观察、比较的基础上，通过归纳推理，得到（ab）m=ambm.这是从对个别事实的研究中，得到一般性结论的过程.
（2）演绎推理：命题的适用范围由大到小的推理，是一种由一般到特殊的推理.演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法等.通过演绎推理得到的结论都是正确的.
【摘要】数学思想是指人们在从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式.加强数学基本思想教学是数学教学的核心目标.数学思想包含很多，但是基本思想主要是抽象、推理和模型.抽象是获取数学概念的重要手段，通过概念教学培养抽象思想；推理思想的培养应贯穿在数学教学的全过程中；培养学生利用数学知识解决有关问题的过程对于形成建模思想具有重要的意义.
【关键词】基本思想；抽象；推理；模型
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》在课程的“总目标”中提出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[1].数学基本思想是构成核心素养的重要内容.数学核心素养问题在本质上反映了数学教学的根本目标问题.
重视数学思想教学是教师们长期以来“奉行”的主要原则之一，但究竟哪些是数学的基本思想却一直把握不准，存在争议.笔者在本文首先谈谈对数学基本思想的一些新认识，然后提出加强基本思想教学的宏观途径.1正确认识数学基本思想
数学思想是指人们从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式[2].《课标（2011年版）》提出“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想……”[1].
這里在“思想”前面加上了“基本”二字，目的有二：一方面是强调基本思想的重要性；另一方面是控制数量（基本思想不要太多了）.“数学思想”有许多，并且是具有层次性的，而“基本数学思想”则是其中具有本质性特征和基本重要性的一些思想，处于较高的层次，其他的数学思想都可以由这些“数学的基本思想”演变出来，派生出来，发展出来[3].
要搞清楚究竟哪些是数学基本思想，首先需要建立判断数学基本思想的原则.对此，史宁中教授提出了两个原则[4]：
第一个原则：数学产生和发展所必须依赖的那些思想.
第二个原则：学习数学的人应当具有的基本思维特征.
根据这两个原则，可以把基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型.针对具体的教学内容，我们不可能把三者截然分开，在这三个核心要素中抽象是基础，进行推理和建立模型的过程一刻也不能离开抽象，三者之间相互交融在一起，常常是“你中有我，我中有你”.
1.抽象
所谓抽象，就是从许多事物的表象中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程.数学抽象主要包括两个方面的内容：数量与数量关系，图形与图形关系.数学的抽象不仅仅要抽象出数学所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系.与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质.
抽象是数学得以产生和发展的思维基础，数学抽象经历了两个阶段[4]：
第一阶段的抽象是基于现实的.通过对现实世界中的数量与数量关系、图形与图形关系的抽象，得到了数学的基本概念、运算法则和基本原理.这种抽象是从感性具体上升到理性具体的思维过程.
第二阶段的抽象是基于逻辑的.通过这个阶段的抽象，合理解释第一次抽象得到的数学概念以及概念之间的关系.这个阶段抽象的特点是符号化、形式化和公理化，这是从理性具体上升到理性一般的思维过程.
案例1一元一次方程的建立过程.
一元一次方程是在学生学习了方程的基础上建立起来的一个代数概念.在这之前学生已经知道“含有未知数的等式就是方程”.为了引导学生经历一元一次方程的建立过程，我们可以引导学生观察下列方程（这四个方程都是根据具体问题情境得到的）的特点：
3x+1=64；4+3（x-1）=64；3y+5=2；2a-3=5a.
学生通过观察、交流，抽象、概括出上述四个方程的两个本质特点：
（1）只有一个未知数；（2）未知数的次数是1.
这就是一元一次方程的本质特点，至此，给出一元一次方程的定义.一元一次方程的概念是建立在抽象基础上的.抽象是形成数学概念的重要逻辑手段.
2.推理
《课标（2011年版）》指出“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.”[1]数学推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程[4].从数学思想的角度看，数学研究对象的确立依赖数学抽象，而数学内部自身的发展则依赖数学推理.
数学推理是一种有逻辑的推理，这种逻辑推理包括归纳推理和演绎推理.
（1）归纳推理：命题的适用范围由小到大的推理，是一种由特殊到一般的推理.归纳推理包括不完全归纳法、类比法、数据分析等，数学的结论都是通过归纳推理得到的，得到的“数学手段”是“猜”而不是“证”.因此，由归纳推理得到的结果不一定都正确.
案例2积的乘方法则的发现过程.
①通过给定问题情境，让学生计算下面的结果：
（2a）2=2a×2a=（2×2）×（a×a）=4a2.
②在此基础上，让学生计算：（2a）3=？（2a）4=？
③一般地，设m是正整数，（ab）m=（ab）·（ab）·…·（ab）m个（ab）=（a·a·…·a）m个a（b·b·…·b）m个b=ambm.
即（ab）m=ambm.
在对一些具体算式进行观察、比较的基础上，通过归纳推理，得到（ab）m=ambm.这是从对个别事实的研究中，得到一般性结论的过程.
（2）演绎推理：命题的适用范围由大到小的推理，是一种由一般到特殊的推理.演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法等.通过演绎推理得到的结论都是正确的.
