圆锥曲线“中点问题”教法研究

    范光玉

    

    

    [摘要]研究圆锥曲线中的“中点问题”的解法，不仅可以帮助学生掌握一般解题规律，还能提高学生的解题能力。

    [关键词]圆锥曲线;中点问题;点差法

    [中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）05-0010-02

    高中阶段学习的圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线，“中点问题”指的是圆锥曲线中“弦”的中点，“中点”有几何与代数两种形态，我们在解决的过程中，可以分别从这两个角度人手。

    一、学生的基本情况分析

    学生对于圆锥曲线的基本性质有了一定的认识，关于格式与规范方面已经进行了充分的训练，班中个别优生能够完成该章节的解答题，学生的困难在于条件的转化与计算化简的过程。

    学生迫于高考的压力，有较强的学习动力，但碍于运算能力以及逻辑推理能力不强，往往选择放弃后续的运算，笔者写此文也是为了给学生树立信心，以高考题为主要的训练素材，通过建立模型，突破难点。

    二、利用“中点”的几何性质求解——点差法

    在圆中，与弦中点有关的性质比较多，高中阶段常用的是“垂径定理”，该定理转化为代数关系即为一组斜率关系，该结论可“完美地”平移至其他的圆锥曲线。

    下面来梳理高考题，总结题型特点。

    1.（2009年全国卷理13）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1.0），直线Z与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为（2.2），则直线Z的方程为__。

    2.（2010年全国卷理12）已知双曲线E的中心为原点，F（3.0）是E的焦点，过F的直线Z与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12.-15），则E的方程为（）。

    分析：本组题分别以抛物线、椭圆及双曲线为例，推导该结论，三个结论的结构一样，其蕴含的几何性质也相同，本环节的设计意图是让学生熟悉“点差法”的运算流程，发现该题型的核心要素，点差法是“设而不求”的一种解题思路，点差法的基础是以点A，B为基本量，通过代点及做差获得一个程序化的结论，而对于A，B点而言，并没有任何直接的结论可用，这是学生的主要思维难点。

    利用点差法也有一个弊端，该结论不包括斜率为0或斜率不存在的情况，对于上面三个练习的最终结论，当研究对象为圆时，对应的几何关系即为圆的“垂径定理”，通过伸缩变化，即可直接将该结论推广至椭圆，所以我们可以把该结论统一称为圆锥曲线的“垂径定理”。

    四、解决“中点”问题

    基于上面的分析与准备，笔者设计了两个例题进行相应的运算。

    分析：两个例题都和中点有关，且都可以使用“点差法”求解，而两题的难点在于对题意的理解及结论的转化，对于例4.根据上面的环节可知，OP的斜率为定值，即可知点P的轨迹为直线，对于例5.条件PA=PB，暗示△PAB为等腰三角形，根据“三线合一”即可得关于AB中点的相关结论。

    学生的难点并不在于点差法的使用，而在于上述条件的转化，学生在转化过程中，思维受阻时，教师应该引导学生应用常规解法求解，即通过基本量，表达出所求式，转化为代数问题，通过代数运算获得结论。

    五、巩固练习

    为了强化本节课的学习成果，笔者设计了如下题目供学生练习。

    1.过点M（2.1）且斜率为1的直线与抛物线y2=2px（p>0）交于A，B两点，且M为AB的中点，则p的值为（ ）。

    第1题是点差法的直接应用，在第2题中，笔者就以圆为背景进行设计，在圆中可通过构造直角三角形利用韦达定理求解，第3题在考查中点的基础上设计面积的运算以及最值问题，该问题的难度较大。

    六、总结与反思

    如何尋找学生的分数增长点？经过一轮、二轮的复习，学生对基础知识已经较为熟练，但也形成了相对固定的思维定式，学生对某一类题，可能很熟练，而对另一类问题完全没有想法，比如上述的“中点问题”，很多学生都知道“点差法”，但什么时候用、有没有限制等还不太了解，此时要教会学生归纳整理，将陌生的题型转化为熟悉的模型。