数学建模概念的发展研究

    季瑛男

    摘 要：数学建模在高中数学教学中占很大地位，是数学与生活联系的纽带。本文简单阐述数学建模的国内外发展，并进一步讨论与模型思想的区别，从教学方面具体谈如何更好地开展数学建模活动。

    关键词：数学建模; 发展历程; 模型思想; 教学方法

    中图分类号：G642? ? ? ? ? ? ? ?文献标识码：A? ? 文章编号：1006-3315（2019）8-171-002

    一、“数学建模”的发展历程

    1.国外数学建模的发展

    在20世纪70年代，剑桥大学的教授们将他的项目分解为学生可以解决的问题，使其成为最原始的数学建模模型。英国为学生打开了数学建模的大门，这导致许多国家纷纷效仿。1975年美国幼儿园至中学12年级学校数学教学概况和分析的以下报告建议将数学建模纳入中学课程。在五年后的“行动法”中，更加坚定地指出“解决问题”是一个教学目标，同时，数学建模也越来越接近中学。

    1983年，国际数学建模与应用数学大会首次举行。1985年，美国数学与应用联合会举办了美国大学生数学建模竞赛。本次比赛是后续。与此同时，1988年，第六届国际数学教育大会在匈牙利布达佩斯举行“技术在数学教学中的作用”为主题的讨论。这是一场全球比赛，每个比赛都有中学生参加。在1989年的“未来数学教育报告”将数学建模纳入中学，被列为最迫切需要的数学教育改革项目。

    日本的数学学者们认为，数学教育的出发点和落脚点都应当放在解决实际问题上，提高解决问题的能力包含在“中小学课程改革教学大纲”中，由教育部公布并于年内实施的“中小学数学学习指南”将数学与现实生活联系起来，将数学作为数学的重要目标，并通过综合课程学习来反映数学应用。在日本数学教育协会期刊上，经常出版中学数学建模（特别是初中）的教学计划和教学实例;日本的“精学基础”课程，其内容是：（1）数学和人类活动;（2）用数学理论观察有关社会生活;（3）我们周围的统计数据主要是培养学生的数学兴趣，并运用数学来分析自然意识和社会现象[1]。

    在英国国家统一课程中，中小学的数学课程分为五个主要领域：使用和应用数学，数字，代数，形状和空间，数据处理。第一个“使用和应用数学”包含数学建模的内容。

    自1990年以来，荷兰每年举办一次数学竞赛，相当于中国高中生的参与。入学流程允许学生查看教科书，并使用计算机和计数器;初步测试问题是一个实用且相关的问题。

    加拿大哥伦比亚大学教育部对中学数学的教育目的进行了明确的规定，要培养学生掌握物理学和其他相关领域中的数学知识，掌握其中的理论原理，并能够运用所学习的数学理论知识解决生活中的实际问题，将生活中的问题转化为数学模型，并运用数学思维来解决问题。

    总的来说，目前国外许多国家对于高中数学建模有着很多的研究成果，不仅涵盖理论研究领域，在解决实践问题领域都有很多的研究，这些研究很大程度上为我国的相关研究提供了参考和基础。

    2.国内数学建模发展

    数学建模的优势逐渐被更多人所见，并且能够提高学生的数学应用能力，解决生活中的实际问题。

    在方正集团的赞助下，“北京数学会”分别于1993年和1994年两次举办“方正杯中学生数学应用知识竞赛”。1993年12月25日在北京师范大学举行的座谈会上，大家参加了数学应用问题知识竞赛。大多数成员肯定了中学生数学知识应用竞赛对所有中学生的重要性。通过这种方式，学生可以发展创造性的逻辑思维，这是一种生动和新鲜的方式。1997年3月“北京高中数学知识应用大赛”经北京市教育委员会正式批准，1997年12月和1998年3月，第一届应用数学知识竞赛首次成功举办。这项活动得到了许多省市的响应和参与，并得到了许多高等院校的大力支持。

    近十年来，在数学教学中，随着越来越多的研究开始涉及数学建模领域，许多专家学者从不同角度认识到数学建模对学生学习数学的重要性。在“数学课程标准2011”中，“模型思想”是十大核心概念之一。

    2014年，教育部发布了“关于全面深化课程改革，落实立德树人基本任务的意见”，提出了中国学生的核心素养。2018年，教育部颁布的“高中数学课程标准（2017年版）”将数学的核心素养定义为：“学生应具备的数学思维素质和关键能力，以满足终身发展和社会发展的需要”，并澄清数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，直觉想象和数据分析作为数学的核心素养[3]，到目前为止，数学建模已经正式加入到高中生的学习生活中。

    我分析了近年来国内关于高中数学建模的论文，基本上来自于建模的比较研究，从五个方面讨论了教学研究，建模评估，数学建模能力培养和数学模型研究。

    关于数学建模的内涵，姜启源在他的书中指出：现实世界中的一个物体，基于物体的固有规律，出于特定目的，做一个假设，然后应用适当的数学工具来获得一个称为数学模型的数学结构。建立数学模型的过程称为数学建模。李明振教授认为：数学建模是简化实际问题的过程，最终归结为数学问题并解决它。他强调在解决这个问题的过程中，首先，要求解决实际问题的错综复杂的关系，并且还使用数学中的独特符号，公式，图表和数据来表达这种关系。然后使用信息技术处理复杂数据，最终得到可由人们分析，控制或控制的定量结果。

    关于数学建模的教学研究，国内专家有不同的看法。李波在《中外数学建模竞赛比較分析》中介绍了1.调查报告式;2.论文研读式;3.“导学探索，自主解决”式等几种比较行之有效的模式。黄芳芳认为：1.从实际中引入概念和定理，引起学生们学习数学的兴趣，在学生们潜意识中渗透数学建模的思维意识。2.通过教材来讲授传统的基本数学模型，逐步使学生了解并掌握常用的基础类数学模型，比如函数模型、系列模型、几何模型，基本建立起学生们建模的知识结构。3.针对教材中的练习题开展实践训练，引导学生们形成自主调查、搜集数据、整理数据，建立模型，进而体验将实际问题抽象为数学问题的整个过程。提高学生使用计算机解决实际问题的能力[1]。

    数学建模素养作为人类认识数学的一个提高，它不仅是数学考核过程中的一个重要素养，也是数学与生活联系的纽带。

    二、数学建模与模型思想的异同

    在“义务教育数学课程标准（2011年版）”中，明确提出了模型思想。2014年，“数学建模”被正式添加到高中数学的核心素养中[4]。“模型思想”与“数学建模”之间的联系是建立相互补充的数学模型，但存在许多差异。

    我认为“数学建模”是“模型思想”的上位概念。小学生和初中生对数学还是停留在具体问题和事物的表面上，没有抽象思维，所以在义务教育阶段中提出“模型思想”这一观点，该模型的想法是让学生体验和理解数学与外部世界之间的联系。对于高中生经过了义务教育，通过在义务教育阶段这种模型思想的锻炼，逐步形成了一种“数学思维”，不仅要注意事物的发展，要让学生更好地理解学习数学的意义，以提高学生的数学学习兴趣，提高学生思维发展水平，就此提出了“数学建模”这个素养，并且开展“数学建模”活动的前提就是学生已经接受并理解了“数学模型”这种思想。

    三、建议

    史宁忠教授曾经提到我们数学学习的最终目标是有三个课程：会用数学的眼光观察世界;会用数学的思维思考世界;会用数学的语言表达世界[5]。那么，这里的数学语言是指数学核心素养中的“数学建模”。从“模型思想”转化为“数学建模”这一过程中，我们能够得出这样一个结论：国家越来越重视教育质量。使数学贴近生活，其中的一个桥梁就是利用数学建模。

    当教师开展数学建模活动时，作为教师自己，首先应当明确“数学建模”的意义所在，要理解“数学建模”的初衷和目的。其次，教师应该了解学生数学不好的原因。许多学生学不好数学的原因是他们不知道数学在生活中到底有哪些用处，因此对数学学习没有兴趣，导致所谓的“数学差异”情况的产生。那么，教师在进行数学教育时，就要对每一个数学问题进行反思，找到它对应的生活原型，然后在通过生活中的这个问题，让学生体会数学。

    例如在人教B版必修五第二章中，我们要学习“数列”这个问题，其实在我们生活中就有很广泛的应用，教师首先让大家收集资料，去探讨生活中的哪些问题可以用到等差数列。

    然后，老师给出了一个相关的研究课题，例如从“教育储蓄”开始。

    （1）根据教育储蓄的方法，每月节省50元3年（或6年）和3年（或在6年内同时提取本金和利息需要多少钱？

    （2）按照同一方法，如果每月有一元，则存放3年（或6年），届满3年。

    （或6年）撤回本金和利息需要多少钱？

    （3）按上述方法，每月更换存款50元，连续3年保存，每3年一次。提取本金和利息超过“零存款和取款”的同等水平需要多少钱？

    （4）如果你想在3年内提取教育储蓄和本金1万元，你每月应该节省多少钱？

    （5）如果你想在3年內提取一次教育储蓄本金和利息，共计一百万元，你每月应该存多少钱？

    （6）同上，原计划是每月节省100元，为期6年，但到第四年结束时，学生需要提前提取所有本金和利息，因此一次支付本金和利息需要多少钱？

    （7）如上所述，原计划是每月存一美元，然后保存6年，但是到b（0[b]）年，由于特殊情况，学生需要提前取消所有本金和利息？

    对于这样一系列的问题的提出，学生肯定会好奇与自己息息相关的“教育储蓄”怎么会与“等差数列”有关系呢？接下来，老师就要对班级成员进行小组分组，让每位成员都去收集与“教育储蓄”有关的资料，然后坐在一起交流自己的资料。准备工作做完以后，小组成员就应该着手去做以上练习题。

    我们可以发现（1）（3）（4）（6）问题中存取方式不同，但是所有这些都可以直接解决等差数列的前n个项，并且可以求解公式。因为不同的模型促进了不同变量的模型。通过最后得出的结果，我们可以轻松地算出不同的存取方式，我们的支取本金和利率都是多少。

    这其实是一个很简单的让数学与生活联系起来的例题。通过建立这种模式，学生可以找到与学生相关的主题，学生将更多地接受自己的相关问题，这将加深学生对建模学习的兴趣。主动学习数学，使学生能够在积极接受和参与这种教学模式的氛围中进行构建，这不仅满足了学生想要解决相关问题的实际解决方案成果，它还提高了学生的数学思维，识字能力和实际解决问题的能力。因此，这告诉我们教师在进行数学建模教学活动时必须紧紧抓住“数学建模是生活与数学之间的纽带”这一思想，认真研读高中教材的每一章节，对每一章甚至细化到每一节中，发现与生活有关的数学知识，经过深思熟虑向学生提出，并且对学生进行分组，让班级全体成员都参与到数学的讨论中，对团体凝聚力的培养也有很大帮助.

    参考文献：

    [1]中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准，北京：北京师范大学出版社，2011：180

    [2]姜启元数学模型（第三版）北京：高等教育出版社，2004：78

    [3]史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J]数学教育学报，2018，27（1）：8-10

    [4]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M]北京：北京师范大学出版社，2011：106

    [5]白建国.高中数学建模教学研究[D]内蒙古：内蒙古师范大学，2007：10