一道有待商榷的竞赛题
2015年的初中数学竞赛已落下帷幕，笔者对各类竞赛题的收集与整理、学习与研究饶有兴趣，纵观今年各类竞赛题，试题精彩纷呈，创新不断，无不凝结着命题人的智慧与汗水.在赞叹与感慨之余，对2015年全国初中联合试题进行再次学习时发现（初三二试）最后一题尚有商榷之处，下面就这道竞赛题谈几点自己的思考，望各位同仁不吝指教.
1 题目
（2015年初中联合竞赛试题初三.二试第三题）设正整数m，n满足关于x的方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个正整数解，证明：2（m2+n2）<5mn.
2几点思考
思考1——商榷之处
根据题意m，n是正整数，如果方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个正整数解，即当x，m，n是正整数时，等式（x+m）（x+n）=x+m+n是不能成立的.实际上，当x，m，n是正整数时，（x+m）（x+n）>x+m+n.下面对这一不等式进行证明.
证明因为（x+m）（x+n）-（x+m+n）=x2+mx+nx+mn-x-m-n
=（x-1）（x+m+n）+mn，
由于x，m，n是正整数，所以（x-1）（x+m+n）+mn≥mn>0，
即（x+m）（x+n）-（x+m+n）>0，于是（x+m）（x+n）>x+m+n.
既然（x+m）（x+n）>x+m+n，那么方程（x+m）（x+n）=x+m+n无解，所以要证明原题的结论是不可能的.
思考2——试题如何改编
经过上面的分析发现，方程（x+m）（x+n）=x+m+n无解是由于x，m，n是正整数所致，为了尽可能保留试题原貌，把如果方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个正整数解的“正整数”，改为“整数”，对原试题进行改编并分析解答.
思考3——改编后如何解答
改编后试题为，设正整数m，n满足关于x的方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个整数解，证明：2（m2+n2）<5mn.
分析从题目看是要证明一个不等式，其方法有分析法，综合法.结合题目条件，方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个整数解，必须要使得方程所对应的判别式为完全平方数，由此为突破口进行推理分析，则问题迎刃而解.下面对改编试题进行解答.
证明由方程（x+m）（x+n）=x+m+n得，x2+（m+n-1）x+mn-m-n=0，①，其判别式Δ=（m+n-1）2-4（mn-m-n）=（m+n）2-4mn+2（m+n）+1=（m-n）2+2（m+n）+1，
令m≥n，根据题意方程①至少有一个正整数解，所以Δ应为完全平方数.
Δ=（m-n）2+2（m+n）+1=（m-n+1）2+4n>（m-n+1）2，
同时Δ=（m-n）2+2（m+n）+1=（m-n+3）2-（4m-8n+8）.
如果4m-8n+8>0，即m>2n-2，则Δ<（m-n+3）2，
于是（m-n+1）2<Δ<（m-n+3）2，所以只能Δ=（m-n+2）2，
即（m-n）2+2（m+n）+1=（m-n+2）2，整理得m=3n-32，这与m，n是正整数矛盾.
如果4m-8n+8<0，即m<2n-2，于是可得m<2n，所以mn<2.
又mn>1>12，于是（mn-12）（mn-2）<0，整理得2（m2+n2）<5mn，即证.3结束语
尽管经过小小的变动，才让这道竞赛题得以圆满解决，然而瑕不掩瑜，放眼整道试题，其蕴含的方程思想，分类讨论思想无不引领着试题对学生的数学思想的考查；分析、推理的论证方法更是对学生的思维能力提出了较高的要求；综合运用知识、变形运算的技巧也是对学生扎实基本功的考验.作者简介杨虎，男，甘肃礼县人，1983年2月生，讲师.发表论文多篇.
1 题目
（2015年初中联合竞赛试题初三.二试第三题）设正整数m，n满足关于x的方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个正整数解，证明：2（m2+n2）<5mn.
2几点思考
思考1——商榷之处
根据题意m，n是正整数，如果方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个正整数解，即当x，m，n是正整数时，等式（x+m）（x+n）=x+m+n是不能成立的.实际上，当x，m，n是正整数时，（x+m）（x+n）>x+m+n.下面对这一不等式进行证明.
证明因为（x+m）（x+n）-（x+m+n）=x2+mx+nx+mn-x-m-n
=（x-1）（x+m+n）+mn，
由于x，m，n是正整数，所以（x-1）（x+m+n）+mn≥mn>0，
即（x+m）（x+n）-（x+m+n）>0，于是（x+m）（x+n）>x+m+n.
既然（x+m）（x+n）>x+m+n，那么方程（x+m）（x+n）=x+m+n无解，所以要证明原题的结论是不可能的.
思考2——试题如何改编
经过上面的分析发现，方程（x+m）（x+n）=x+m+n无解是由于x，m，n是正整数所致，为了尽可能保留试题原貌，把如果方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个正整数解的“正整数”，改为“整数”，对原试题进行改编并分析解答.
思考3——改编后如何解答
改编后试题为，设正整数m，n满足关于x的方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个整数解，证明：2（m2+n2）<5mn.
分析从题目看是要证明一个不等式，其方法有分析法，综合法.结合题目条件，方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个整数解，必须要使得方程所对应的判别式为完全平方数，由此为突破口进行推理分析，则问题迎刃而解.下面对改编试题进行解答.
证明由方程（x+m）（x+n）=x+m+n得，x2+（m+n-1）x+mn-m-n=0，①，其判别式Δ=（m+n-1）2-4（mn-m-n）=（m+n）2-4mn+2（m+n）+1=（m-n）2+2（m+n）+1，
令m≥n，根据题意方程①至少有一个正整数解，所以Δ应为完全平方数.
Δ=（m-n）2+2（m+n）+1=（m-n+1）2+4n>（m-n+1）2，
同时Δ=（m-n）2+2（m+n）+1=（m-n+3）2-（4m-8n+8）.
如果4m-8n+8>0，即m>2n-2，则Δ<（m-n+3）2，
于是（m-n+1）2<Δ<（m-n+3）2，所以只能Δ=（m-n+2）2，
即（m-n）2+2（m+n）+1=（m-n+2）2，整理得m=3n-32，这与m，n是正整数矛盾.
如果4m-8n+8<0，即m<2n-2，于是可得m<2n，所以mn<2.
又mn>1>12，于是（mn-12）（mn-2）<0，整理得2（m2+n2）<5mn，即证.3结束语
尽管经过小小的变动，才让这道竞赛题得以圆满解决，然而瑕不掩瑜，放眼整道试题，其蕴含的方程思想，分类讨论思想无不引领着试题对学生的数学思想的考查；分析、推理的论证方法更是对学生的思维能力提出了较高的要求；综合运用知识、变形运算的技巧也是对学生扎实基本功的考验.作者简介杨虎，男，甘肃礼县人，1983年2月生，讲师.发表论文多篇.
