巧用“等积法”，妙解中考题
陈炎
本文以义务教育课程标准实验教科书九年级《数学》上册（上海科学技术出版社）一道课本习题和例题为例，浅谈解法的多样性，以及用“等积法”解题的便利性.
课本习题（P72，习题221第10题）已知：在△ABC中，AD为∠A的平分线.
求证：ABAC=BDCD.
分析：本题的背景是学生已学习了“平行线分线段成比例”，目的是考察学生通过添加辅助线，构造平行关系，进而得到线段的比例关系.学生可以“执果索因”，即通过结果是要证明一个比例式，进而打开思路，难度不大.图1
证明：如图1，过B点作BG∥AC交AD的延长线于G点，则BGAC=BDCD，∠CAD=∠G.因为AD为∠CAB的平分线，所以∠CAD=∠DAB，所以∠G=∠DAB，所以BG=AB，所以ABAC=BDCD.图2
当然，本题添加辅助线的方法并不唯一，也可过D点作AC的平行线、过C点作AB的平行线等等，可充分调动学生的积极性，激发学生的兴趣.但是如果跳出教材看教材，本题放在整个初中领域里，通过“AD为∠A的平分线”这一唯一条件，想到向两边作垂线段（垂线段相等），可能更简单.如图2，过D点作DE⊥AC，垂足为E，DF⊥AB，垂足为F.
一方面，SABDSACD=12BD·h12CD·h=BDCD；
另一方面，SABDSACD=12AB·DF12AC·DE=ABAC，
所以ABAC=BDCD.
课本例题（P88，例1）一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80 cm，高AD=60 cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上，求这个矩形零件的边长.
分析：本题考察学生通过方程思想建立模型，并运用相似三角形的性质“相似三角形的对应高之比等于相似比”得到相等关系，题目甚是典型.图3
解：如图3，矩形PQRS为加工后的矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB、AC上，△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为x cm，则PQ为2x cm.
因为PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC，PQBC=AEAD，即2x80=60-x60，
解得x=24，2x=48.
再次跳出教材看教材，本题是将三角形进行分割得到一个符合条件的矩形，从图中我们很容易想到用两种不同的方法表示△ABC的面积，即（S△PBS+S△QRC）+S矩形PQRS+S△APQ=S△ABC，
1280-2xx+2x·x+12·2x60-x=12×80×60，解得x=24，2x=48.
题后反思以上两题在完成实现教材对即学知识运用的同时，都采用了“等积法”.“等积法”是初中数学中很常见的一种解题方法，学生在探索整式乘法公式规律及已知直角边长，求直角三角形的斜边上的高时都用到了“用两种不同的方法计算同一图形的面积，结果相等”这一结论.我们把用这一结论解题的方法称之为“等积法”.“等积法”是学生必须掌握的数学解题方法之一.在具体问题中，若能灵活利用这一方法，那么在解决某些问题时具有化难为易，化繁为简，事半功倍的功效.下面列举几例中考题，供读者参考.
例1（2015年连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是.
解由以上讨论的解题方法及得出的结论易得，答案是4∶3
例2（2015年宁夏）如图4，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为.
解由折叠的性质得BF=BC=5，所以在Rt△ABF中，由勾股定理得AF=BF2-AB2=4，所以FD=1.设CE=x，则DE=3-x，又由折叠的性质得FE=CE=x.下面使用两种方法表示矩形ABCD的面积，并建立等式，得
12×3×4+12×2×5x+12×1·3-x=3×5，
解得，x=53.图5
例3（2015年武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.
（1）如图5，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K.
①略②略.
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长
分析本题要求直接写出结果，题目的本意是利用解决第一问所探究得到的方法，进一步巩固并应用成果.但是如果第一问不会做，或直接撇开第一问的探索过程利用“等积法”也很方便.
解设正方形的边长为x cm.
①当正方形的两个顶点在BC边上时，
12x12-x+12x8-x+x2=12×12×8，
解得x=245
②当正方形的的两个顶点在AB或AC边上时，
因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD=12÷2=6，所以AB=AC=AD2+BD2=62+82=10，所以AB或AC边上的高等于：AD·BCAB=8×1210=485，12x10-x+12x485-x+x2=12×12×8，解得x=24049.
综上所述，正方形的边长是245或24049.
例4（2009年安徽）如图6，将正方形沿图中虚线（其中x
（2）求xy的值.
（2）本题所给的条件非常有限，从分析图形若能拼成矩形，则需满足的条件入手，可以利用“①”与“①+④”，（“②”与“②+③”）两个三角形相似，得到对应边成比例，进而求出xy的值；或者通过三角形的锐角正切值相等，得到等式，进而求出xy的值，即x+y（x+y）+y=xy.但是以上两种方法都不太容易想到，本题若能关注到图形变化前后面积相
等，则思路非常自然.由拼图前后的面积相等得：
[（x+y）+y]y=（x+y）2，
因为y≠0，整理得：（xy）2+xy-1=0，
解得：xy=5-12.（负值不合题意，舍去）
结束语通过以上几个例题，我们可以发现“等积法”在中考具有广泛的用途，并且它具有“门槛低、入手容易”等特征.在《沪科版》教科书的其他章节中，其实也有不少习题可以通过“等积法”解题（请读者自己去寻觅体会）.而在平时的教学、学习过程中，我们易轻视教材里的习题，认为题目简单，而把目光投到了茫茫的市面题海资料中去，到处拼题、抄题.教师辛苦，学生的负担更重.岂不知“好题”就在课本中，就在我们的身边.即刻回归课本，寻找遗失的美好，刻不容缓！
本文以义务教育课程标准实验教科书九年级《数学》上册（上海科学技术出版社）一道课本习题和例题为例，浅谈解法的多样性，以及用“等积法”解题的便利性.
课本习题（P72，习题221第10题）已知：在△ABC中，AD为∠A的平分线.
求证：ABAC=BDCD.
分析：本题的背景是学生已学习了“平行线分线段成比例”，目的是考察学生通过添加辅助线，构造平行关系，进而得到线段的比例关系.学生可以“执果索因”，即通过结果是要证明一个比例式，进而打开思路，难度不大.图1
证明：如图1，过B点作BG∥AC交AD的延长线于G点，则BGAC=BDCD，∠CAD=∠G.因为AD为∠CAB的平分线，所以∠CAD=∠DAB，所以∠G=∠DAB，所以BG=AB，所以ABAC=BDCD.图2
当然，本题添加辅助线的方法并不唯一，也可过D点作AC的平行线、过C点作AB的平行线等等，可充分调动学生的积极性，激发学生的兴趣.但是如果跳出教材看教材，本题放在整个初中领域里，通过“AD为∠A的平分线”这一唯一条件，想到向两边作垂线段（垂线段相等），可能更简单.如图2，过D点作DE⊥AC，垂足为E，DF⊥AB，垂足为F.
一方面，SABDSACD=12BD·h12CD·h=BDCD；
另一方面，SABDSACD=12AB·DF12AC·DE=ABAC，
所以ABAC=BDCD.
课本例题（P88，例1）一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80 cm，高AD=60 cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上，求这个矩形零件的边长.
分析：本题考察学生通过方程思想建立模型，并运用相似三角形的性质“相似三角形的对应高之比等于相似比”得到相等关系，题目甚是典型.图3
解：如图3，矩形PQRS为加工后的矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB、AC上，△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为x cm，则PQ为2x cm.
因为PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC，PQBC=AEAD，即2x80=60-x60，
解得x=24，2x=48.
再次跳出教材看教材，本题是将三角形进行分割得到一个符合条件的矩形，从图中我们很容易想到用两种不同的方法表示△ABC的面积，即（S△PBS+S△QRC）+S矩形PQRS+S△APQ=S△ABC，
1280-2xx+2x·x+12·2x60-x=12×80×60，解得x=24，2x=48.
题后反思以上两题在完成实现教材对即学知识运用的同时，都采用了“等积法”.“等积法”是初中数学中很常见的一种解题方法，学生在探索整式乘法公式规律及已知直角边长，求直角三角形的斜边上的高时都用到了“用两种不同的方法计算同一图形的面积，结果相等”这一结论.我们把用这一结论解题的方法称之为“等积法”.“等积法”是学生必须掌握的数学解题方法之一.在具体问题中，若能灵活利用这一方法，那么在解决某些问题时具有化难为易，化繁为简，事半功倍的功效.下面列举几例中考题，供读者参考.
例1（2015年连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是.
解由以上讨论的解题方法及得出的结论易得，答案是4∶3
例2（2015年宁夏）如图4，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为.
解由折叠的性质得BF=BC=5，所以在Rt△ABF中，由勾股定理得AF=BF2-AB2=4，所以FD=1.设CE=x，则DE=3-x，又由折叠的性质得FE=CE=x.下面使用两种方法表示矩形ABCD的面积，并建立等式，得
12×3×4+12×2×5x+12×1·3-x=3×5，
解得，x=53.图5
例3（2015年武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.
（1）如图5，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K.
①略②略.
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长
分析本题要求直接写出结果，题目的本意是利用解决第一问所探究得到的方法，进一步巩固并应用成果.但是如果第一问不会做，或直接撇开第一问的探索过程利用“等积法”也很方便.
解设正方形的边长为x cm.
①当正方形的两个顶点在BC边上时，
12x12-x+12x8-x+x2=12×12×8，
解得x=245
②当正方形的的两个顶点在AB或AC边上时，
因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD=12÷2=6，所以AB=AC=AD2+BD2=62+82=10，所以AB或AC边上的高等于：AD·BCAB=8×1210=485，12x10-x+12x485-x+x2=12×12×8，解得x=24049.
综上所述，正方形的边长是245或24049.
例4（2009年安徽）如图6，将正方形沿图中虚线（其中x
（2）求xy的值.
（2）本题所给的条件非常有限，从分析图形若能拼成矩形，则需满足的条件入手，可以利用“①”与“①+④”，（“②”与“②+③”）两个三角形相似，得到对应边成比例，进而求出xy的值；或者通过三角形的锐角正切值相等，得到等式，进而求出xy的值，即x+y（x+y）+y=xy.但是以上两种方法都不太容易想到，本题若能关注到图形变化前后面积相
等，则思路非常自然.由拼图前后的面积相等得：
[（x+y）+y]y=（x+y）2，
因为y≠0，整理得：（xy）2+xy-1=0，
解得：xy=5-12.（负值不合题意，舍去）
结束语通过以上几个例题，我们可以发现“等积法”在中考具有广泛的用途，并且它具有“门槛低、入手容易”等特征.在《沪科版》教科书的其他章节中，其实也有不少习题可以通过“等积法”解题（请读者自己去寻觅体会）.而在平时的教学、学习过程中，我们易轻视教材里的习题，认为题目简单，而把目光投到了茫茫的市面题海资料中去，到处拼题、抄题.教师辛苦，学生的负担更重.岂不知“好题”就在课本中，就在我们的身边.即刻回归课本，寻找遗失的美好，刻不容缓！
