初三复习中的线段中点问题
白新慧
线段中点是几何图形中的一个特殊点，与线段中点有关的图形问题是初中数学的重要题型，也是各地中考试卷中的高频考点.与线段中点有关的结论很多，比如等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线等于斜边一半、三角形中位线定理、平行四边形两条对角线的交点平分两条对角线，圆的垂径定理及其推论等.在初三总复习的教学过程中教师应该怎样引导学生运用中点巧妙灵活地解决问题呢？
1梳理与中点有关的知识，使中点知识体系化
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点，这是线段中点的定义，由线段的中点我可以得到线段之间的和差倍分关系.三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，对于等腰三角形有其特有的性质，遇到底边上的中点，想到三线合一，对于直角三角形遇到斜边上的中点常想到“斜边上的中线，等于斜边的一半”这一重要性质，三角形中遇到两边的中点时，常常想到三角形的中位线定理，平行四边形中，两条对角线的交点平分两条对角线，圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理及其推论”等知识.但学生怎样通过中考前的总复习把这些知识系统化，形成自己头脑中的知识体系呢？教师在课堂上就要有意识地通过让学生做一些相关题目体会这些知识与方法，熟悉解题策略，在解题训练中掌握基本图形，不断地总结提炼并灵活运用.教师依托不同类型的题目和典型例题，借助问题串，帮助学生学会解决问题的方法，在帮助学生体会方法的过程中逐渐地形成解题经验，在比较复杂的图形中会灵活的运用中点的知识解决问题，再通过学生自主梳理知识，构建自己的知识网络图，使知识体系化.线段中点知识网络图
2借助与中点有关的题目，学会运用中点的方法
2.1借助已有知识，直接运用中点解决问题
例1（2013北京）如图1，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为.图1
分析题目以矩形为背景，含有直角三角形，有矩形对角线即直角三角形斜边中点，可知OB=12AC，M为AD中点，想到两中点得到三角形的中位线，OM=12CD，进而解决问题.
2.2利用中点，结合几何图形，添加合适的辅助线
（1）题目中有中点，有时需要倍长中线
例2如图2，在△ABC中，AD为BC边上的中线.求证：AB+AC>2AD.
分析延长AD至点E，使DE=AD，连接CE.易证△ABD≌△ECD.所以AB=EC.
在△ACE中，因为AC+EC>AE=2AD，所以AB+AC>2AD.当然此题也可以连接BE，证明△ADC≌△EDB.
（2）挖掘题目中的隐含条件，发现中点，并运用中点
例3（2013乌鲁木齐）如图3，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为.图2图3
分析AE是角平分线，CF⊥AE于F，当角分线遇上垂直往往要构造等腰三角形，因此延长CF交AB于G，所以△AGC为等腰三角形，由三线合一可知，F为CG的中点，已知AD是中线，可知D为BC边中点，DF为△CGB的中位线，DF=12BG，DF=12（5-2）=32.
（3）多种方法构造中心对称图形或构造中位线解决问题
例4如图4，在△ABC中，D是AB的中点，AC⊥CD，tan∠BCD=13，求∠A的正切值.
分析本题由于要利用tan∠BCD，所以要构造与∠BCD有关的直角，由于平行线
有转移角的功能，考虑到D是AB的中点，因此可以利用中位线或构造中心对称图形，把∠BCD转移到直角三角形中，或把直角移到∠BCD所在的三角形中来（图5～图9）.
综合运用中点，提升解题能力
3.1利用中点，构造全等三角形，解决线段之间的数量关系
题目中有平行线和线段中点时，可以构造三角形全等，得到“八字形”全等的基本对称图形，进而利用对应边和对应角相等，再利用特殊三角形的其他性质，进行线段之间数量关系的计算和证明.
例5已知：如图10，在△ACB和△AED中，点E在AC上，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，连结BD，取BD的中点F，连结CE、FE.请你探究线段CE与FE之间的数量关系.图10图11
分析要研究CE与FE之间的数量关系，就要结合△ACB和△AED均为等腰直角三角形，把CE与FE放在特殊三角形中来解，DE∥BC，F为BD的中点，有平行有中点，就要想到延长EF交CB于点G，构造如图11的“八字形”全等的基本图形，得到△DEF≌△BGF，所以EF=FG，进而在等腰直角△ECG中，得到CE=22EG，EF=12EG，CE=2EF.
例6如图12，四边形ABCD和ECHF都是正方形，连接AF，M是AF中点，连接DM和EM.点B、C、H在一条直线上.求证：DM=EM.图12图13
分析要证明DM=EM，结合四边形ABCD和ECHF都是正方形，M是AF中点，就要想到延长DM交EF于点G，构造如图13的“八字形”全等的基本图形，得到△ADM≌△FGM，所以DM=GM，而Rt△EDG中，M为DG中点，EM=12DG=DM.
3.2借助中点，利用特殊三角形的性质，解决线段之间的位置关系
例7如图14，在△ABC中，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，D是BC边上的中点，连接EF，点H是EF的中点，求证：DH⊥EF.图14图15
分析△ABC中，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，两条高提供了共用一条斜边的两个Rt△BCF和Rt△BCE，如图15，由于D是BC边上的中点，所以连接FD和ED，得到，FD=ED=12BC，进而得到等腰△DFE，加上点H是EF的中点，利用等腰三角形的三线合一性，证得DH⊥EF.
3.3在图形变换中利用中点解决线段之间的数量关系和位置关系
例8如图16，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值.（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；
（2）将图16中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图17）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
分析（1）图16中线段DF的两端存在平行线，P是线段DF的中点，容易想到前
面提到的做法，延长GP交CD于点H，如图18，易证△DHP≌△FGP.进而得到
DH=GF=BG，PH=PG，CH=CG，△CHG为等腰三角形，由三线合一可知PG⊥PC，PG[]PC[SX）]=3
（2）结论不变，如图19，同样可以证得△CHG为等腰三角形，∠HCG=120°，
得到结论.
中点在几何题目中出现的频率比较高，如果掌握了与中点有关的知识与方法，解决起问题来会事半功倍，所以我们要帮助学生建立起与中点有关的知识体系，更好地提高分析、解决问题的能力，可以大大提高学习数学的兴趣，体验成功的快乐.
线段中点是几何图形中的一个特殊点，与线段中点有关的图形问题是初中数学的重要题型，也是各地中考试卷中的高频考点.与线段中点有关的结论很多，比如等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线等于斜边一半、三角形中位线定理、平行四边形两条对角线的交点平分两条对角线，圆的垂径定理及其推论等.在初三总复习的教学过程中教师应该怎样引导学生运用中点巧妙灵活地解决问题呢？
1梳理与中点有关的知识，使中点知识体系化
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点，这是线段中点的定义，由线段的中点我可以得到线段之间的和差倍分关系.三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，对于等腰三角形有其特有的性质，遇到底边上的中点，想到三线合一，对于直角三角形遇到斜边上的中点常想到“斜边上的中线，等于斜边的一半”这一重要性质，三角形中遇到两边的中点时，常常想到三角形的中位线定理，平行四边形中，两条对角线的交点平分两条对角线，圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理及其推论”等知识.但学生怎样通过中考前的总复习把这些知识系统化，形成自己头脑中的知识体系呢？教师在课堂上就要有意识地通过让学生做一些相关题目体会这些知识与方法，熟悉解题策略，在解题训练中掌握基本图形，不断地总结提炼并灵活运用.教师依托不同类型的题目和典型例题，借助问题串，帮助学生学会解决问题的方法，在帮助学生体会方法的过程中逐渐地形成解题经验，在比较复杂的图形中会灵活的运用中点的知识解决问题，再通过学生自主梳理知识，构建自己的知识网络图，使知识体系化.线段中点知识网络图
2借助与中点有关的题目，学会运用中点的方法
2.1借助已有知识，直接运用中点解决问题
例1（2013北京）如图1，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为.图1
分析题目以矩形为背景，含有直角三角形，有矩形对角线即直角三角形斜边中点，可知OB=12AC，M为AD中点，想到两中点得到三角形的中位线，OM=12CD，进而解决问题.
2.2利用中点，结合几何图形，添加合适的辅助线
（1）题目中有中点，有时需要倍长中线
例2如图2，在△ABC中，AD为BC边上的中线.求证：AB+AC>2AD.
分析延长AD至点E，使DE=AD，连接CE.易证△ABD≌△ECD.所以AB=EC.
在△ACE中，因为AC+EC>AE=2AD，所以AB+AC>2AD.当然此题也可以连接BE，证明△ADC≌△EDB.
（2）挖掘题目中的隐含条件，发现中点，并运用中点
例3（2013乌鲁木齐）如图3，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为.图2图3
分析AE是角平分线，CF⊥AE于F，当角分线遇上垂直往往要构造等腰三角形，因此延长CF交AB于G，所以△AGC为等腰三角形，由三线合一可知，F为CG的中点，已知AD是中线，可知D为BC边中点，DF为△CGB的中位线，DF=12BG，DF=12（5-2）=32.
（3）多种方法构造中心对称图形或构造中位线解决问题
例4如图4，在△ABC中，D是AB的中点，AC⊥CD，tan∠BCD=13，求∠A的正切值.
分析本题由于要利用tan∠BCD，所以要构造与∠BCD有关的直角，由于平行线
有转移角的功能，考虑到D是AB的中点，因此可以利用中位线或构造中心对称图形，把∠BCD转移到直角三角形中，或把直角移到∠BCD所在的三角形中来（图5～图9）.
综合运用中点，提升解题能力
3.1利用中点，构造全等三角形，解决线段之间的数量关系
题目中有平行线和线段中点时，可以构造三角形全等，得到“八字形”全等的基本对称图形，进而利用对应边和对应角相等，再利用特殊三角形的其他性质，进行线段之间数量关系的计算和证明.
例5已知：如图10，在△ACB和△AED中，点E在AC上，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，连结BD，取BD的中点F，连结CE、FE.请你探究线段CE与FE之间的数量关系.图10图11
分析要研究CE与FE之间的数量关系，就要结合△ACB和△AED均为等腰直角三角形，把CE与FE放在特殊三角形中来解，DE∥BC，F为BD的中点，有平行有中点，就要想到延长EF交CB于点G，构造如图11的“八字形”全等的基本图形，得到△DEF≌△BGF，所以EF=FG，进而在等腰直角△ECG中，得到CE=22EG，EF=12EG，CE=2EF.
例6如图12，四边形ABCD和ECHF都是正方形，连接AF，M是AF中点，连接DM和EM.点B、C、H在一条直线上.求证：DM=EM.图12图13
分析要证明DM=EM，结合四边形ABCD和ECHF都是正方形，M是AF中点，就要想到延长DM交EF于点G，构造如图13的“八字形”全等的基本图形，得到△ADM≌△FGM，所以DM=GM，而Rt△EDG中，M为DG中点，EM=12DG=DM.
3.2借助中点，利用特殊三角形的性质，解决线段之间的位置关系
例7如图14，在△ABC中，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，D是BC边上的中点，连接EF，点H是EF的中点，求证：DH⊥EF.图14图15
分析△ABC中，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，两条高提供了共用一条斜边的两个Rt△BCF和Rt△BCE，如图15，由于D是BC边上的中点，所以连接FD和ED，得到，FD=ED=12BC，进而得到等腰△DFE，加上点H是EF的中点，利用等腰三角形的三线合一性，证得DH⊥EF.
3.3在图形变换中利用中点解决线段之间的数量关系和位置关系
例8如图16，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值.（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；
（2）将图16中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图17）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
分析（1）图16中线段DF的两端存在平行线，P是线段DF的中点，容易想到前
面提到的做法，延长GP交CD于点H，如图18，易证△DHP≌△FGP.进而得到
DH=GF=BG，PH=PG，CH=CG，△CHG为等腰三角形，由三线合一可知PG⊥PC，PG[]PC[SX）]=3
（2）结论不变，如图19，同样可以证得△CHG为等腰三角形，∠HCG=120°，
得到结论.
中点在几何题目中出现的频率比较高，如果掌握了与中点有关的知识与方法，解决起问题来会事半功倍，所以我们要帮助学生建立起与中点有关的知识体系，更好地提高分析、解决问题的能力，可以大大提高学习数学的兴趣，体验成功的快乐.
