关于学生运算能力培养的问题
我国的数学教学历来就非常重视对学生运算能力的培养，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）提出了十大核心词，其中之一便是“运算能力”.为帮助教师更好地培养学生的运算能力，笔者在本文首先谈谈对运算能力的初步认识，然后重点结合案例对运算能力的组成要素进行分析，最后就运算能力的培养问题提出自己的建议.1 正确认识运算能力
1.1 运算能力的意义
要培养学生的运算能力，必须明确三个概念：运算、运算技能和运算能力.《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》是这样界定的：根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知的量得到确定结果的过程，称为运算.能够按照一定的程序和步骤进行运算，称为运算技能.不但会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力.
1.2 运算能力涉及初中数学课程的全部内容
《课标（2011年版）》在“课程目标”中提出总目标后，分三个学段从“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面进行了详细的阐述.
例如，在第三学段“知识技能”中关于“数与代数”方面的要求是：
体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法.
由此可见，运算涉及初中“数与代数”方面的全部内容，事实上，这部分内容的学习以计算为主：数与代数式的学习基本都是相关的各种运算，方程、方程组和不等式的学习内容是求解方法和求解公式，主要表现为求解运算，函数的学习主要是研究函数的基本性质，其主要方法是对函数表达式作各种运算，并对运算结果作出相应的解释.
这部分的运算是在小学阶段运算（小学生学习数学的主要内容为整数、分数、小数的四则运算）基础上的扩充和发展：
运算的范围得到扩大——从算术数逐步扩大到有理数、实数；
运算的对象得到发展——从数的运算发展到式的运算；
运算的级次得以提高——从四则运算逐步发展为包括加、减、乘、除、乘方、开方运算的混合运算.
“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”三个方面的课程内容中也都含有运算.
总之，《课标（2011年版）》界定的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个方面的课程内容都与运算有着密切的联系，对这些内容的学习一刻都离不开运算.这里的运算，不仅指具有明显对应特性的运算，如数与代数式的四则运算、乘方运算.还包括以下两个方面的内容：
（1）各类式的变形，如分式的通分、约分，多项式的因式分解，二次三项式的配方等.
（2）各种数值的运算，如线段的长度、角的大小，平面几何图形的面积，几何体的体积，某事件发生概率的计算，一组数据的平均数、方差的计算等.
2 初中生运算能力的组成要素
2.1 数学建模能力
《课标（2011年版）》界定的课程内容中的绝大部分本身就是一个数学模型，如各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，就是一些具体的数学模型.从这个意义上来说，学生的运算，实际上就是从问题的条件和求解目标出发，分析其中涉及的数学概念、公式、法则或定理，并寻求它们的关系，抽象出问题之中蕴涵的数学模型，解决实际问题的活动.这里的运算活动体现了《课标（2011年版）》倡导的“问题情境—建立模型—求解验证”的过程.
案例1 求电线杆的高度.
数学中的许多知识与人类生活和实际问题密切相关，这些问题都可以通过建立数学模型加以解决.初中阶段的模型主要包括代数式模型、方程（组）模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型、概率模型等.建立这些模型解决实际问题的能力自然成为学生运算能力的组成部分.
2.2 选择运算方法的能力
对运算求解方法选择的恰当与否直接决定着运算过程的繁简程度和运算量的大小，因此对运算方法的选择就是运算能力的一部分.优秀学生的表现之一是“会运算”，这里的“会运算”包括能通过观察问题的特点，迅速抓住问题的本质，产生联想，发现解决问题的途径或者选择最优的解题方案.
有些学生在解题过程中，往往习惯于局部思维方法，缺少整体思维意识或不善于进行整体思维，这是他们数学运算能力不强的一个表现.
2.3 挖掘隐含信息的能力
解答数学题的第一步就是认真审题，在理解题意的前提下，从中获取尽可能多的信息.实践证明学生能否准确、快速地进行运算并得到结果，在很大程度上取决于他能否从题目中全面获取信息，特别是深入挖掘题目中的一些隐含信息，获取这些信息的能力就成为运算能力的关键因素.
2.5 分析问题和问题解决的能力
作为“问题解决”的数学题，学生不能简单地模仿现成的公式或沿用常规的解题套路解决，需要进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动才能解决.《课标（2011年版）》要求学生“掌握分析问题和解决问题的一些基本方法”，学生分析问题和解决问题的过程往往与运算相互交融在一起，因此，学生分析问题和解决问题的能力必然成为其运算能力的一个因素.
案例5 判定华氏温度与摄氏温度之间的对应关系是一次函数的过程.
我们知道，世界各国温度之间的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（°C）和华氏温度（°F）两种.它们之间的关系如下表所示：
（1）观察上表，如果把表中的摄氏温度与华氏温度都看作变量，那么它们之间的函数关系是一次函数吗？你是如何探索得到的？
（2）你能利用（1）中的图象，写出y与x的函数表达式吗？
（3）你能通过分析上表中两个变量间的数量关系，判定它们之间是一次函数关系吗？
析解 本题是在学生已经学习了一次函数的概念、图象和性质的基础上设计的，第（1）（2）问只要把表中摄氏温度与华氏温度的每一对对应值在直角坐标系中用对应的点表示出来，然后连接各点得到图6所示的图象，观察发现这些点都在同一条直线上，于是利用待定系数法确定出一次函数表达式.设y与x之间的函数关系式为y=ax+b，因为（0，32）、（10，50）在图象上，所以把这两个点的坐标代人得到a=1.8，b=32，所以y=1.8x+32.
对于第（3）问，要根据表中给定的两个变量之间的数量关系判定这两个变量之间是否为一次函数是比较困难的.可引导学生从计算两个变量对应数值之差的比入手.学生通过计算将会发现这个比是一个常数，如68-8620-30=1.8，50-1410-（-10）=1.8，86-5030-10=1.8，….特别地，对于固定点（0，32）来说，同样有50-3210-0=1.8，68-3220-0=1.8，86-3230-0=1.8，14-32-10-0=1.8.如果设摄氏温度为x，相应的华氏温度为y，则有y-32x-0=1.8，整理得y=1.8x+32，因此，y是x的一次函数.
2.6 运用数学思想和方法的能力
《课标（2011年版）》已经把一些基本的数学思想作为基础知识，要求学生掌握和运用，初中阶段的数学思想主要指数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想、模型思想等.同时还要求掌握一些具体的数学方法，如待定系数法、代人消元法、加减消元法、配方法等，对这些数学思想和方法的运用能力也是运算能力的一个重要组成部分.
案例6 求12+14+18+…+12n的值.
析解 为了求得上面的值，发挥“数形结合”思想在数学学习中的作用，让学生加深对“在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透”的认识，我们可以这样考虑：
如图7所示，把一个边长为1的正方形纸片分为两个面积相等的长方形，把其中一个长方形的面积二等分，再把一个小正方形的面积二等分，……，
因为12+14+18+…+12n+12n=1，所以12+14+18+…+12n=1-12n.
2.7 说理能力
《课标（2011年版）》指出，学生通过数学学习，能养成“运用数学的思维方式进行思考”问题的习惯.常说的“以理服人”就是一种用数学的方式处理问题的过程，这种说理能力也是运算能力的一个有效成分.
案例7 游戏公平吗？
有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图8所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、2的三个小球（除数不同外，其余都相同）.小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积.
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢.你认为该游戏公平吗？为什么？
析解 （1）通过画树状图或列表的方法可知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有四种，所以积为0的概率为412=13.
（2）因为积为奇数的概率为212=16，而积为偶数的概率为1012=56，16≠56，所以该游戏不公平.
2.8 估算能力
运算技能包括估算技能，学生的估算能力当然是运算能力的组成要素.《课标（2011年版）》中多次强调对学生估算意识、估算能力的培养问题，如“经历估计方程解的过程”“会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解”等.
案例8 估算意识的培养.
为了使学生感受到学习估算的必要性，逐步培养他们的估算意识和估算能力，我们可用下面的问题引发学生去思考与探索.
取一张报纸，将它对折，再对折，你估计最多能将它折几次？并提出两个问题让学生思考与探究：
（1）你能将它对折8次吗？为什么？
（2）如果能将一张报纸连续对折30次，你估计他的厚度是多少？
析解 一张普通报纸的厚度大约为0.01厘米，把一张纸连续对折8次后，它的厚度约为0.01×28=0.01×256=2.56厘米，这相当于把一本256页的书对折一次，这几乎是不可能的.如果能将一张报纸连续对折30次，那么估计它的厚度是：
这个厚度将超过珠穆朗玛峰的海拔高度11倍之多，这显然是不可能的.
运算能力的构成要素很多，以上我们列举的只是运算能力的基本构成要素，希望老师们在教学研究中不断进行思考与探究，以完善笔者的陈述.3 培养学生运算能力的途径
从运算能力的构成要素可以看出，培养学生的运算能力意义重大.《课标（2011年版）》指出“培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题.”关于如何培养的问题需要我们去深思和探讨，事实上，前面给定的一些案例本身就隐含着培养学生运算能力的方法.
3.1 注重培养学生运算兴趣
《课标（2011年版）》指出“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，……”这是指导我们进行教学研究、教学设计、实施课堂教学的“总方针”.数学教学只有把培养学生的学习兴趣放在首位才是有效的，培养学生的运算能力也不例外.引发学生运算兴趣的方法很多，通过联系生活实际、利用游戏、利用数学美等自身因素都可以创设出引发学生运算兴趣的问题情境来，如前面的案例8.
3.2 加强数学概念教学
正确理解相关的数学概念是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提条件.所以加强数学概念教学也是培养学生运算能力的有效措施.
3.3 把培养学生的运算能力贯穿于整个数学学习过程之中
这是培养学生运算能力的根本途径，“贯穿于整个数学学习过程”的意义如下：
（1）把培养学生运算能力贯穿于整个数学课程的各个学习内容中，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践等所有课程领域.
（2）把培养学生运算能力贯穿于数学课堂教学的各种活动过程中.如在有些概念的教学中，要引导学生通过运算经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生通过解答有关题目加深对概念的理解；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，正确把握条件和结论之间的逻辑关系，选择恰当的运算方法解答；在证明题的教学中，要让学生在有关知识的基础上（定理、公理、法则），利用数学（包括计算）的手段，证明数学结论.
（3）把培养学生运算能力贯穿于整个数学学习的环节之中，如预习、复习、课堂教学、反馈练习等，在所有的这些学习环节中，都要设计相应的运算题目，让学生通过运算解答，以不断提高学生的运算能力.
案例9 求下列各式的值：
（1）1+1+1+…；
（2）1+11+11+….
在习题处理课上，对于优秀的学生可补充这个题目，以扩大他们的知识面，开拓其思维视野.当然对于初中学生来说过去从未见过上面要求的等式中的无穷根式和无穷繁分式，根本不认识，如何理解及解答，他们一时摸不着头脑，根本无法下手，可见按“常规”是不能解决这道题的.这时可鼓励学生不要怕“无穷”，要敢于面对它，大胆去分析、思考、想象、探索：
观察无穷式子（1）发现，只含有常数1并且其个数是无限的，不妨设1+1+1+…=a，大胆想象、积极探索、合情推理，巧用“无穷”，可知：1+a=a求得a=12（5+1）.
求出（1）的值后，学生很快类比求得（2）的值.而且学生还能发现它们的值是相等的.
当然，培养初中学生运算能力的途径是多方面的.由于学生的运算能力又与别的诸多数学能力处于相互促进、共同发展的过程之中.因此运算能力的培养与发展是一个长期的过程，与数学知识的积累和深化过程是同步的.只要教师加强教材研究，并注重对影响学生运算能力因素的客观分析，在教学实践中勇于探索，就能找到越来越多的培养和发展学生运算能力的有效方法.
参考文献
[1] 李树臣.浅谈数学实验的在教学中的应用[J].中国数学教育，2009（10）：15-17.
[2] 李树臣.数学阅读能力的特征与培养[J].中学数学（下），2011（3）：4-6.
[3] 付海伦等.高中生数学运算求解能力及培养途径[J].中国数学教育，2014（11）：5-9.
[4] 李树臣.精心设计数学课堂，能力提高教学质量[J].中学数学杂志，2015（4）：11-15.
[5] 涂荣豹等.数学课程与教学论新编[M].江苏教育出版社，2007.
[6] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012.
[7] 史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京师范大学出版社，2012.
1.1 运算能力的意义
要培养学生的运算能力，必须明确三个概念：运算、运算技能和运算能力.《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》是这样界定的：根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知的量得到确定结果的过程，称为运算.能够按照一定的程序和步骤进行运算，称为运算技能.不但会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力.
1.2 运算能力涉及初中数学课程的全部内容
《课标（2011年版）》在“课程目标”中提出总目标后，分三个学段从“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面进行了详细的阐述.
例如，在第三学段“知识技能”中关于“数与代数”方面的要求是：
体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法.
由此可见，运算涉及初中“数与代数”方面的全部内容，事实上，这部分内容的学习以计算为主：数与代数式的学习基本都是相关的各种运算，方程、方程组和不等式的学习内容是求解方法和求解公式，主要表现为求解运算，函数的学习主要是研究函数的基本性质，其主要方法是对函数表达式作各种运算，并对运算结果作出相应的解释.
这部分的运算是在小学阶段运算（小学生学习数学的主要内容为整数、分数、小数的四则运算）基础上的扩充和发展：
运算的范围得到扩大——从算术数逐步扩大到有理数、实数；
运算的对象得到发展——从数的运算发展到式的运算；
运算的级次得以提高——从四则运算逐步发展为包括加、减、乘、除、乘方、开方运算的混合运算.
“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”三个方面的课程内容中也都含有运算.
总之，《课标（2011年版）》界定的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个方面的课程内容都与运算有着密切的联系，对这些内容的学习一刻都离不开运算.这里的运算，不仅指具有明显对应特性的运算，如数与代数式的四则运算、乘方运算.还包括以下两个方面的内容：
（1）各类式的变形，如分式的通分、约分，多项式的因式分解，二次三项式的配方等.
（2）各种数值的运算，如线段的长度、角的大小，平面几何图形的面积，几何体的体积，某事件发生概率的计算，一组数据的平均数、方差的计算等.
2 初中生运算能力的组成要素
2.1 数学建模能力
《课标（2011年版）》界定的课程内容中的绝大部分本身就是一个数学模型，如各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，就是一些具体的数学模型.从这个意义上来说，学生的运算，实际上就是从问题的条件和求解目标出发，分析其中涉及的数学概念、公式、法则或定理，并寻求它们的关系，抽象出问题之中蕴涵的数学模型，解决实际问题的活动.这里的运算活动体现了《课标（2011年版）》倡导的“问题情境—建立模型—求解验证”的过程.
案例1 求电线杆的高度.
数学中的许多知识与人类生活和实际问题密切相关，这些问题都可以通过建立数学模型加以解决.初中阶段的模型主要包括代数式模型、方程（组）模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型、概率模型等.建立这些模型解决实际问题的能力自然成为学生运算能力的组成部分.
2.2 选择运算方法的能力
对运算求解方法选择的恰当与否直接决定着运算过程的繁简程度和运算量的大小，因此对运算方法的选择就是运算能力的一部分.优秀学生的表现之一是“会运算”，这里的“会运算”包括能通过观察问题的特点，迅速抓住问题的本质，产生联想，发现解决问题的途径或者选择最优的解题方案.
有些学生在解题过程中，往往习惯于局部思维方法，缺少整体思维意识或不善于进行整体思维，这是他们数学运算能力不强的一个表现.
2.3 挖掘隐含信息的能力
解答数学题的第一步就是认真审题，在理解题意的前提下，从中获取尽可能多的信息.实践证明学生能否准确、快速地进行运算并得到结果，在很大程度上取决于他能否从题目中全面获取信息，特别是深入挖掘题目中的一些隐含信息，获取这些信息的能力就成为运算能力的关键因素.
2.5 分析问题和问题解决的能力
作为“问题解决”的数学题，学生不能简单地模仿现成的公式或沿用常规的解题套路解决，需要进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动才能解决.《课标（2011年版）》要求学生“掌握分析问题和解决问题的一些基本方法”，学生分析问题和解决问题的过程往往与运算相互交融在一起，因此，学生分析问题和解决问题的能力必然成为其运算能力的一个因素.
案例5 判定华氏温度与摄氏温度之间的对应关系是一次函数的过程.
我们知道，世界各国温度之间的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（°C）和华氏温度（°F）两种.它们之间的关系如下表所示：
（1）观察上表，如果把表中的摄氏温度与华氏温度都看作变量，那么它们之间的函数关系是一次函数吗？你是如何探索得到的？
（2）你能利用（1）中的图象，写出y与x的函数表达式吗？
（3）你能通过分析上表中两个变量间的数量关系，判定它们之间是一次函数关系吗？
析解 本题是在学生已经学习了一次函数的概念、图象和性质的基础上设计的，第（1）（2）问只要把表中摄氏温度与华氏温度的每一对对应值在直角坐标系中用对应的点表示出来，然后连接各点得到图6所示的图象，观察发现这些点都在同一条直线上，于是利用待定系数法确定出一次函数表达式.设y与x之间的函数关系式为y=ax+b，因为（0，32）、（10，50）在图象上，所以把这两个点的坐标代人得到a=1.8，b=32，所以y=1.8x+32.
对于第（3）问，要根据表中给定的两个变量之间的数量关系判定这两个变量之间是否为一次函数是比较困难的.可引导学生从计算两个变量对应数值之差的比入手.学生通过计算将会发现这个比是一个常数，如68-8620-30=1.8，50-1410-（-10）=1.8，86-5030-10=1.8，….特别地，对于固定点（0，32）来说，同样有50-3210-0=1.8，68-3220-0=1.8，86-3230-0=1.8，14-32-10-0=1.8.如果设摄氏温度为x，相应的华氏温度为y，则有y-32x-0=1.8，整理得y=1.8x+32，因此，y是x的一次函数.
2.6 运用数学思想和方法的能力
《课标（2011年版）》已经把一些基本的数学思想作为基础知识，要求学生掌握和运用，初中阶段的数学思想主要指数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想、模型思想等.同时还要求掌握一些具体的数学方法，如待定系数法、代人消元法、加减消元法、配方法等，对这些数学思想和方法的运用能力也是运算能力的一个重要组成部分.
案例6 求12+14+18+…+12n的值.
析解 为了求得上面的值，发挥“数形结合”思想在数学学习中的作用，让学生加深对“在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透”的认识，我们可以这样考虑：
如图7所示，把一个边长为1的正方形纸片分为两个面积相等的长方形，把其中一个长方形的面积二等分，再把一个小正方形的面积二等分，……，
因为12+14+18+…+12n+12n=1，所以12+14+18+…+12n=1-12n.
2.7 说理能力
《课标（2011年版）》指出，学生通过数学学习，能养成“运用数学的思维方式进行思考”问题的习惯.常说的“以理服人”就是一种用数学的方式处理问题的过程，这种说理能力也是运算能力的一个有效成分.
案例7 游戏公平吗？
有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图8所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、2的三个小球（除数不同外，其余都相同）.小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积.
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢.你认为该游戏公平吗？为什么？
析解 （1）通过画树状图或列表的方法可知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有四种，所以积为0的概率为412=13.
（2）因为积为奇数的概率为212=16，而积为偶数的概率为1012=56，16≠56，所以该游戏不公平.
2.8 估算能力
运算技能包括估算技能，学生的估算能力当然是运算能力的组成要素.《课标（2011年版）》中多次强调对学生估算意识、估算能力的培养问题，如“经历估计方程解的过程”“会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解”等.
案例8 估算意识的培养.
为了使学生感受到学习估算的必要性，逐步培养他们的估算意识和估算能力，我们可用下面的问题引发学生去思考与探索.
取一张报纸，将它对折，再对折，你估计最多能将它折几次？并提出两个问题让学生思考与探究：
（1）你能将它对折8次吗？为什么？
（2）如果能将一张报纸连续对折30次，你估计他的厚度是多少？
析解 一张普通报纸的厚度大约为0.01厘米，把一张纸连续对折8次后，它的厚度约为0.01×28=0.01×256=2.56厘米，这相当于把一本256页的书对折一次，这几乎是不可能的.如果能将一张报纸连续对折30次，那么估计它的厚度是：
这个厚度将超过珠穆朗玛峰的海拔高度11倍之多，这显然是不可能的.
运算能力的构成要素很多，以上我们列举的只是运算能力的基本构成要素，希望老师们在教学研究中不断进行思考与探究，以完善笔者的陈述.3 培养学生运算能力的途径
从运算能力的构成要素可以看出，培养学生的运算能力意义重大.《课标（2011年版）》指出“培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题.”关于如何培养的问题需要我们去深思和探讨，事实上，前面给定的一些案例本身就隐含着培养学生运算能力的方法.
3.1 注重培养学生运算兴趣
《课标（2011年版）》指出“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，……”这是指导我们进行教学研究、教学设计、实施课堂教学的“总方针”.数学教学只有把培养学生的学习兴趣放在首位才是有效的，培养学生的运算能力也不例外.引发学生运算兴趣的方法很多，通过联系生活实际、利用游戏、利用数学美等自身因素都可以创设出引发学生运算兴趣的问题情境来，如前面的案例8.
3.2 加强数学概念教学
正确理解相关的数学概念是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提条件.所以加强数学概念教学也是培养学生运算能力的有效措施.
3.3 把培养学生的运算能力贯穿于整个数学学习过程之中
这是培养学生运算能力的根本途径，“贯穿于整个数学学习过程”的意义如下：
（1）把培养学生运算能力贯穿于整个数学课程的各个学习内容中，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践等所有课程领域.
（2）把培养学生运算能力贯穿于数学课堂教学的各种活动过程中.如在有些概念的教学中，要引导学生通过运算经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生通过解答有关题目加深对概念的理解；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，正确把握条件和结论之间的逻辑关系，选择恰当的运算方法解答；在证明题的教学中，要让学生在有关知识的基础上（定理、公理、法则），利用数学（包括计算）的手段，证明数学结论.
（3）把培养学生运算能力贯穿于整个数学学习的环节之中，如预习、复习、课堂教学、反馈练习等，在所有的这些学习环节中，都要设计相应的运算题目，让学生通过运算解答，以不断提高学生的运算能力.
案例9 求下列各式的值：
（1）1+1+1+…；
（2）1+11+11+….
在习题处理课上，对于优秀的学生可补充这个题目，以扩大他们的知识面，开拓其思维视野.当然对于初中学生来说过去从未见过上面要求的等式中的无穷根式和无穷繁分式，根本不认识，如何理解及解答，他们一时摸不着头脑，根本无法下手，可见按“常规”是不能解决这道题的.这时可鼓励学生不要怕“无穷”，要敢于面对它，大胆去分析、思考、想象、探索：
观察无穷式子（1）发现，只含有常数1并且其个数是无限的，不妨设1+1+1+…=a，大胆想象、积极探索、合情推理，巧用“无穷”，可知：1+a=a求得a=12（5+1）.
求出（1）的值后，学生很快类比求得（2）的值.而且学生还能发现它们的值是相等的.
当然，培养初中学生运算能力的途径是多方面的.由于学生的运算能力又与别的诸多数学能力处于相互促进、共同发展的过程之中.因此运算能力的培养与发展是一个长期的过程，与数学知识的积累和深化过程是同步的.只要教师加强教材研究，并注重对影响学生运算能力因素的客观分析，在教学实践中勇于探索，就能找到越来越多的培养和发展学生运算能力的有效方法.
参考文献
[1] 李树臣.浅谈数学实验的在教学中的应用[J].中国数学教育，2009（10）：15-17.
[2] 李树臣.数学阅读能力的特征与培养[J].中学数学（下），2011（3）：4-6.
[3] 付海伦等.高中生数学运算求解能力及培养途径[J].中国数学教育，2014（11）：5-9.
[4] 李树臣.精心设计数学课堂，能力提高教学质量[J].中学数学杂志，2015（4）：11-15.
[5] 涂荣豹等.数学课程与教学论新编[M].江苏教育出版社，2007.
[6] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012.
[7] 史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京师范大学出版社，2012.
