引领学生克服数学思维定势的负效应
王友春
思维定势，是人们按习惯了的比较固定的思维方式去分析和解决问题的形式，是一种宏观思维监控意识削弱而进入模式化信息加工程序的情景。学生在数学解题、建构自己的知识体系时，常常用固定的模式、思路来分析、解决问题，形成思维定势。有些教师认为思维定势与提高学生的数学素养是矛盾的，提高解题能力就要训练学生打破思维定势。笔者不同意此观点，正如围棋中有“定式”，它是经各代高手反复演练，对弈双方都能获利的招式，它有固定的应对也有多变的变招，一个棋手不经过“定式”的训练是不会入门的。在数学学习中同样如此。
例如《必修4 三角恒等变换》的教学，利用各类三角函数变换公式解题具有题型变化多，公式变形灵活等特点，是考查逻辑思维能力、反映思维品质的良好载体，这些决定了学好这一部分不仅需要足量的练习先形成思维定势（造势、蓄势），更要注重帮助学生揭示解题的思维过程、解后反思，不断克服思维定势产生的负效应（破势），让学生以模仿、探究、掌握、体验等方式不断地富有创新地完成学习，以下是笔者的一个相关教学片段和反思。
一、造势——形成思维定势
问题1：已知cosα+cosβ= ，sinα-sinβ= ，求cos（α+β）。
师：请学生回顾公式Cα+β，和同角三角函数的平方和关系cos2α+sin2α=1，寻找与本题的联系。（经过一分钟左右地思考，有学生举手说欲发言，如学生A和学生B……）
生A：将已知条件中两式平方后构造出cosαcosβ与sinαsinβ，求和并用“cos2α+sin2α=1”后，逆用公式Cα+β得：2cos（α+β）=- ，即cos（α+β）=- 。（学生回答很好，教师表示赞许，并请学生A板演过程（略））
反思：学生A的思路是处理这类问题的常规方法，它使学生先形成基本的思维定势，这种定势对解决以下问题是有积极效应的。
二、蓄势——积蓄思维定势
问题1中应用了“cos2α+sin2α=1”和公式Cα+β，依此例请学生们练习一题，增加对上述一类公式的理性认识：
问题2，已知8sinα+5cosβ=6，sin（α+β）= ，求8cosα+5sinβ。
经过几分钟思考，有些学生举手想发表思路或见解。
生C：我由问题1的启发，发现8sinα+5cosβ=6（1）的左边与所求当中：sinαcosα系数，cosβsinβ系数相同，故假设8cosα+5sinβ=k（3），（1）2+（3）2此过程中利用公式：“cos2α+sin2α=1，Sα+β”和sin（α+β）= （2）式，进而求出k。
反思：问题2进一步将思维定势的积极效应扩大。
三、破势——打破思维定势
在以上三个问题的基础上，笔者预料到学生可能已形成了思维定势，即熟悉了题中处理问题的方法，很多学生往往很难灵活运用数学知识，无法产生创新思维，而这正是我们所追求的最高目标，故笔者又设置了下面的问题让学生探究，克服思维定势所产生的负效应：
问题3，已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求：cos2α+cos2β。
一段时间思考后，有几位同学想发表自己的见解：
生F：由以上三题的启示，此题将sinα+sinβ=1（1），cosα+cosβ=0（2）平方后求和得2+2cos（α-β） =1，即cos（α-β）=- ；将（1）（2）式平方后求差得：cos2α+cos2β +2cos（α+β）=-1（3），cos2α+cos2β=[（α+β）+（α-β）] +cos[（α+β）-（α-β）]=……=2cos（α+β）cos（α-β），可见求出cos（α+β）和cos（α-β）即可，但cos（α+β）无法由（3）直接求出，此时我想到：未知cos（α+β）是因为（3）中有cos2α+cos2β，而它不正是我们所要求的吗？于是设cos2α+cos2β=k，则（3）式即：k+2cos（α+β）=-1，再由k=2cos（α+β）·cos（α-β）推出k=1。
师：（启发）除了学生F的思路，有无更好的处理方式了？
生E：将（1）（2）式平方再求差得（3）式：cos2α+cosβ+2cos（α+β），即用公式Cα+β，从而求cosα，sinβ，cosβ，sinβ就可以了，于是再看（1），（2）式：由（1）可得sinα=1-sinβ。由（2）可得cosα=-cosβ，于是根据“sin2α+cos2α=1”有1=1-2sinβ+sin2β+cos2β=2-2sinβ推出sinβ= ，sinα= ，cosα=± ，cosβ=± ；再注意到（2）式中cosα，cosβ互为相反数，∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=- =-1，∴cos2α +cos2β=1
师：（启发）我们若总沿着习惯的道路前行，只能走向缄默和平庸，有没有捷径？
生G：前两种思路太繁，刚学过倍角公式，有cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β可先求出sinα，sinβ（学生E已求出）；则有cos2α+cos2β=1-2sin2α+1-2sin2β= 2-2[（ ）2+（ ）2]=1
（其他学生有的惊呼“上当”，有的则赞许生G，感到获益良多）
师：用倍角公式解决此题，简洁、明了，克服了有前几题产生的思维定势造成用学生F和学生E的思路解决问题的繁琐。
反思：
1.对于问题3，若受已有知识或经验（前三题）的影响可能就会繁化解题，本质是思维定势的产生了负效应，而在学生E的思路前，笔者并没有作过多的提示，而是引领学生主动打破了思维定势，这种打破也从另一方面巩固了所学，为新知识、技能建构提供了基础。
2.本节教学片段的价值：学生解题能力的提高和数学素养的提升不会一蹴而就，首先在教学中要客观地认识并辨证地看待学生解题产生的思维定势，关键是引领学生克服思维定势的负效应；其次数学课堂教学应突出思维过程的教学，培养学生的探究能力，关注每一位学生的情感和学习态度，尊重他们的学习成果，并及时作出评价，引领更多的学生参与到课堂活动中来，而不仅仅把解决当前的问题当成教学的唯一目标，急于“推销”自己的想法，想把学生的思维纳入自己预先设计的轨道上来，这样做的结果会让学生形成条件反射，以套路和程式生搬，更易产生思维定势的负效应。总之，“教师一定要转变教育观念，改变人才培养模式，积极实行启发式和讨论式教学，激发学生独立思考的和创新的意识，切实提高教学质量，让学生感受和理解知识的产生和发展过程，培养学生的科学素养和创新思维习惯”（江泽民），让学生在已有基础上步入创新之路！
（作者单位：江苏省扬州市邗江区蒋王中学）
思维定势，是人们按习惯了的比较固定的思维方式去分析和解决问题的形式，是一种宏观思维监控意识削弱而进入模式化信息加工程序的情景。学生在数学解题、建构自己的知识体系时，常常用固定的模式、思路来分析、解决问题，形成思维定势。有些教师认为思维定势与提高学生的数学素养是矛盾的，提高解题能力就要训练学生打破思维定势。笔者不同意此观点，正如围棋中有“定式”，它是经各代高手反复演练，对弈双方都能获利的招式，它有固定的应对也有多变的变招，一个棋手不经过“定式”的训练是不会入门的。在数学学习中同样如此。
例如《必修4 三角恒等变换》的教学，利用各类三角函数变换公式解题具有题型变化多，公式变形灵活等特点，是考查逻辑思维能力、反映思维品质的良好载体，这些决定了学好这一部分不仅需要足量的练习先形成思维定势（造势、蓄势），更要注重帮助学生揭示解题的思维过程、解后反思，不断克服思维定势产生的负效应（破势），让学生以模仿、探究、掌握、体验等方式不断地富有创新地完成学习，以下是笔者的一个相关教学片段和反思。
一、造势——形成思维定势
问题1：已知cosα+cosβ= ，sinα-sinβ= ，求cos（α+β）。
师：请学生回顾公式Cα+β，和同角三角函数的平方和关系cos2α+sin2α=1，寻找与本题的联系。（经过一分钟左右地思考，有学生举手说欲发言，如学生A和学生B……）
生A：将已知条件中两式平方后构造出cosαcosβ与sinαsinβ，求和并用“cos2α+sin2α=1”后，逆用公式Cα+β得：2cos（α+β）=- ，即cos（α+β）=- 。（学生回答很好，教师表示赞许，并请学生A板演过程（略））
反思：学生A的思路是处理这类问题的常规方法，它使学生先形成基本的思维定势，这种定势对解决以下问题是有积极效应的。
二、蓄势——积蓄思维定势
问题1中应用了“cos2α+sin2α=1”和公式Cα+β，依此例请学生们练习一题，增加对上述一类公式的理性认识：
问题2，已知8sinα+5cosβ=6，sin（α+β）= ，求8cosα+5sinβ。
经过几分钟思考，有些学生举手想发表思路或见解。
生C：我由问题1的启发，发现8sinα+5cosβ=6（1）的左边与所求当中：sinαcosα系数，cosβsinβ系数相同，故假设8cosα+5sinβ=k（3），（1）2+（3）2此过程中利用公式：“cos2α+sin2α=1，Sα+β”和sin（α+β）= （2）式，进而求出k。
反思：问题2进一步将思维定势的积极效应扩大。
三、破势——打破思维定势
在以上三个问题的基础上，笔者预料到学生可能已形成了思维定势，即熟悉了题中处理问题的方法，很多学生往往很难灵活运用数学知识，无法产生创新思维，而这正是我们所追求的最高目标，故笔者又设置了下面的问题让学生探究，克服思维定势所产生的负效应：
问题3，已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求：cos2α+cos2β。
一段时间思考后，有几位同学想发表自己的见解：
生F：由以上三题的启示，此题将sinα+sinβ=1（1），cosα+cosβ=0（2）平方后求和得2+2cos（α-β） =1，即cos（α-β）=- ；将（1）（2）式平方后求差得：cos2α+cos2β +2cos（α+β）=-1（3），cos2α+cos2β=[（α+β）+（α-β）] +cos[（α+β）-（α-β）]=……=2cos（α+β）cos（α-β），可见求出cos（α+β）和cos（α-β）即可，但cos（α+β）无法由（3）直接求出，此时我想到：未知cos（α+β）是因为（3）中有cos2α+cos2β，而它不正是我们所要求的吗？于是设cos2α+cos2β=k，则（3）式即：k+2cos（α+β）=-1，再由k=2cos（α+β）·cos（α-β）推出k=1。
师：（启发）除了学生F的思路，有无更好的处理方式了？
生E：将（1）（2）式平方再求差得（3）式：cos2α+cosβ+2cos（α+β），即用公式Cα+β，从而求cosα，sinβ，cosβ，sinβ就可以了，于是再看（1），（2）式：由（1）可得sinα=1-sinβ。由（2）可得cosα=-cosβ，于是根据“sin2α+cos2α=1”有1=1-2sinβ+sin2β+cos2β=2-2sinβ推出sinβ= ，sinα= ，cosα=± ，cosβ=± ；再注意到（2）式中cosα，cosβ互为相反数，∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=- =-1，∴cos2α +cos2β=1
师：（启发）我们若总沿着习惯的道路前行，只能走向缄默和平庸，有没有捷径？
生G：前两种思路太繁，刚学过倍角公式，有cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β可先求出sinα，sinβ（学生E已求出）；则有cos2α+cos2β=1-2sin2α+1-2sin2β= 2-2[（ ）2+（ ）2]=1
（其他学生有的惊呼“上当”，有的则赞许生G，感到获益良多）
师：用倍角公式解决此题，简洁、明了，克服了有前几题产生的思维定势造成用学生F和学生E的思路解决问题的繁琐。
反思：
1.对于问题3，若受已有知识或经验（前三题）的影响可能就会繁化解题，本质是思维定势的产生了负效应，而在学生E的思路前，笔者并没有作过多的提示，而是引领学生主动打破了思维定势，这种打破也从另一方面巩固了所学，为新知识、技能建构提供了基础。
2.本节教学片段的价值：学生解题能力的提高和数学素养的提升不会一蹴而就，首先在教学中要客观地认识并辨证地看待学生解题产生的思维定势，关键是引领学生克服思维定势的负效应；其次数学课堂教学应突出思维过程的教学，培养学生的探究能力，关注每一位学生的情感和学习态度，尊重他们的学习成果，并及时作出评价，引领更多的学生参与到课堂活动中来，而不仅仅把解决当前的问题当成教学的唯一目标，急于“推销”自己的想法，想把学生的思维纳入自己预先设计的轨道上来，这样做的结果会让学生形成条件反射，以套路和程式生搬，更易产生思维定势的负效应。总之，“教师一定要转变教育观念，改变人才培养模式，积极实行启发式和讨论式教学，激发学生独立思考的和创新的意识，切实提高教学质量，让学生感受和理解知识的产生和发展过程，培养学生的科学素养和创新思维习惯”（江泽民），让学生在已有基础上步入创新之路！
（作者单位：江苏省扬州市邗江区蒋王中学）
