洋洋的多边形问题

    刘顿

    

    

    在学习多边形时，总会遇到以多边形的内角和公式为背景的习题.这类习题形式丰富，变化多端.这不，洋洋同学就遇到了一些涉及角度的问题一

    一、漏掉一个角的问题

    例1，洋洋在计算一个多边形的内角和时，不小心算漏了一个角，得到的内角和为2 020°.你知道他漏算的那个角的度数吗？这个多边形是几边形？

    分析：根据多边形的内角和公式，其内角和应是180°的整数倍，且每一个内角应大于0°而小于180°.根据这些条件即可求解，

    解：n边形的内角和是1800的整数倍，根据题意，得

    2 020°÷180°=11……40°，则漏算的角应是180°-40°=140°.

    所以该多边形的内角和为2 020°+140°=2160°，其邊数为14.

    二、多加一个角的问题

    例2 洋洋在计算一个多边形的内角和时，由于粗心，误把一个外角加了进去，得其和为2 260°.此时的洋洋陷入了求解的困境，请你帮助洋洋找出这个外角，并确定这个多边形的边数，

    解：设多边形的边数为n.多加的外角度数为a，则根据题意得（n-2）.180°=2 260°-a.因2 260°=12x180°+100°.而内角和应是180°的整数倍，故洋洋多加的一个外角为100°.这是十四（12+2）边形的内角和，

    说明：在本题中，误加进去的外角的取值范围应该是大于0°小于180°.另外，注意求得的边数是14，而不是12.

    三、内角依次增加的问题

    例3 洋洋在做关于多边形的内角和的题目的时候，发现有这样一道题：

    一个多边形的所有内角如果从小到大排列，恰好依次增加相同的度数，且最小的角为100°，最大的角为140°.求这个多边形的边数和依次增加的度数.

    对此题洋洋感到很困惑.你能帮洋洋解决问题吗？

    分析：若设该多边形为n边形，则其内角和为180°· （n-2）.因为最小角为l00°，最大角为140°，且依次增加的度数相同，则它的内角和应该为（100°+140°）n/2进而可以求解.

    解：若设该多边形的边数为n，则有

    （100+140）n/2=180·（n-2），

    解得n=6.

    依次增加的度数是

    （140°-100°）÷（6-1）=40°÷5=8°.

    故这个多边形的边数是6，依次增加的度数是8°.

    四、说法对否的问题

    例4 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.

    （1）洋洋说，θ能取360°.芳芳说，θ也能取630°.洋洋和芳芳的说法对吗？若对，求出边数n;若不对，请说明理由.

    （2）洋洋还给芳芳出了下面这个题目：

    若n边形变为（n+x）边形，内角和增加了360°.试确定x.

    请帮芳芳解决问题.

    解：（1） 360°÷180°=2，

    630°÷180°=3……90°.故洋洋的说法对，芳芳的说法不对.3600÷180°+2=2+2=4.洋洋同学所说的多边形的边数是4.

    （2）依题意，有

    （n+x-2）x180°-（n-2）x180°=360°，解得x=2.

    五、外角与内角的问题

    例5 洋洋发现，一个多边形的一个内角的补角与其他的内角的和恰为500°.求这个多边形的边数.

    分析：此题按一般方法解比较困难，不妨换一个角度思考，由静思动.先设题目中所述的内角为a，则它的补角为β=180°-a.再把a看作变化的角，让a由小变大，

    解：设这个多边形的边数是n.因为多边形的内角和是（n-2）x180°，所以500°-180°<（n一2）×180°<500°+180°.整理得3 7/9