正确认识和重视对数学思考的培养
李树臣
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）指出“数学与人类的发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面.”这就客观决定了我们的数学教育不仅要让学生获得一些基本的数学知识，更重要的是应让学生具备在这个充满疑问、有时连问题和答案都不确定的世界里生存的本领.如何才能获得这些“本领”呢？这是一个系统的研究课题，本文从培养学生数学思考方面谈谈自己的看法.
1 数学思考是数学课程的重要目标
所谓数学思考，就是在遇到各种各样的问题情境时能够运用数学的知识、方法、思想和观念去分析、探究，从而发现其中存在的数学现象和数学规律，并运用数学的知识和方法加以解决的过程.
《课标（2011年版）》对数学课程的“总目标”是这样表述的：
通过义务教育阶段的数学学习，学生能：
（1）获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.
（2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.
（3）了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.
对于上述总目标，《课标（2011年版）》又从“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”四个方面进行了具体的阐述.对于数学思考，《课标（2011年版）》的描述是：
（1）建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维.
（2）体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象.
（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法.
（4）学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.
这四点是数学课程在“数学思考”方面应达到的目标，也可以认为是数学思考应包括的内容.它向我们指出了“数学思考”这一课程目标希望达到的三个目的：让学生学会独立思考，体会数学思想，体会数学思维方式.
这就要求我们在数学教学中要引导学生在学会知识的过程中也要学会思考，学会思考的重要性高于学会知识.这种思考是“运用数学的思维方式进行”的思考，也就是“数学方式的理性思维”.它有丰富的内涵，包括形象思维、逻辑思维和辩证思维，包括合情推理和演绎推理等等.教学中让学生学会思考，就能形成用数学的眼光看世界，从数学的角度去分析问题的素养，能使学生终生受益.
2 培养学生数学思考的基本作法
许多中外学者一直强调数学思考的重要性.著名教育家苏霍姆林斯基认为“真正的学校乃是一个积极思考的王国.”数学家赵访熊教授说，有些学生学习效率之所以不高，主要原因是缺乏思考.圣人说得好：“学而不思则罔.”可见，数学思考是数学教学中最有价值的行为.
2.1 精心设计问题情境，引导学生积极思考
《课标（2011年版）》指出“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考…….”学习过程不仅是学生掌握知识的过程，更是一个在数学思考的基础上，发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的过程.
在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强，无不是从“问题”开始的.因此，教师应精心创设问题情境，引导学生通过问题情境深入到数学学科的本质，超越对于技巧性问题的过度追求，感悟数学命题背后隐含的思想方法，明晰知识之间的相互联系，从而形成优化的知识结构.
案例1 二元一次方程组概念的建立过程.
为了引出“二元一次方程组”的概念，可创设下面的问题情境：
雄伟的长城是中华民族的象征.长城东起鸭绿江，西达嘉峪关，全长7300千米，其中东段从鸭绿江到山海关，西段从山海关到嘉峪关，西段比东段长6100千米.长城的东西段各长多少千米？在这个问题中：
（1）那些量是已知量？哪些量是未知量？
（2）有哪些等量关系？
（3）如果设长城东段的长为x千米，西段的长为y千米，那么长城的全长为 ；西段比东段长 .
根据等量关系：东段的长+西段的长=7300米，可以列出方程 ；
根据等量关系：西段的长-东西段的长=6100米，可以列出方程 .
上面的两个方程有什么特点？与同学们交流.
同学们在思考、回答、交流以上问题的过程中，不仅经历了二元一次方程组的形成过程.而且还会认识到二元一次方程组是在解决实际问题的过程中产生的.在引导学生学习《课标（2011年版）》界定的大部分内容时，我们都要结合具体内容，精心创设问题情境，努力让学生经历这些知识的形成过程.这样的呈现形式有利于激发同学们的学习兴趣，引起数学思考，从而更好的理解数学的实质，了解知识之间的相互关联.
2.2 尊重学生的主体地位，努力转变学习方式
《课标2011版》指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”这就是我们选择学习方式的“总方针”.学习数学的最好方法是做数学，有些数学知识可引导学生自己亲自操作、实验或通过现代教育技术手段演示及操作，让学生在观察、操作、思考、猜想、证明等数学活动的过程中自主获得知识.
案例2 勾股定理探究发现过程.
对于这个定理，可用下面的问题，引导学生进行实验、思考、探究、归纳、发现等活动，从而自主得到定理：
（1）用硬纸板剪8个图1所示的同样大小的直角三角形，设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c；
（2）如图2和3所示，在白纸上画出两个边长均为（a+b）的正方形；按照图2所示的方式，将剪出的4个直角三角形，摆放在第一个正方形内；如图3所示，将另外的4个直角三角形，摆放在第二个正方形内.
（3）判断图2和图3中四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的形状，说明理由.
（4）观察图2，小正方形Ⅰ的面积是 ，小正方形Ⅱ的面积是 .
（5）观察图3，小正方形Ⅲ的面积是 .
（6）图2中小正方形Ⅰ和Ⅱ面积之和与图3中小正方形Ⅲ的面积有什么关系？由此你发现直角三角形的三边a，b，c之间有怎样的数量关系？
图1 图2 图3 设计意图 勾股定理本身的结论非常简洁，且容易记忆，如果直接告诉学生，几分钟就可以解决问题，但这样的教学丢弃了一次引导学生思考与探究的好机会.这样设计不仅让学生经历了勾股定理的产生过程，而且还能有效地培养学生观察、思考、猜测、推理等能力，同时加深对数形结合思想的认识，积累一定的数学活动经验.
2.3 重视合情推理能力的培养
《课标2011年版》指出：“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.”由此可以看出，合情推理就是从具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段而进行的一种推理.这种推理的是从观察入手，通过类比而产生联想，或通过归纳作出猜想的，在推理的过程中一刻也离不开数学思考.
案例3 根与系数关系的探究过程.
为引导学生自己探究、发现根与系数的关系，可用下面的问题引导学生去活动：
（1）解下面的一元二次方程：
①x2+3x+2=0，②x2-5x+6=0，③3x2+x-2=0，④2x2-4x+1=0.
（2）根据（1）中所求出的每个方程的根，分别计算两根之和与两根之积，并把结果填入下表：
（3）观察上表，你发现在上面的四个方程中，两根之和与两根之积的值分别与相应的方程的系数之间有怎样的关系？
（4）由此你猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与方程的系数a，b，c之间有什么关系？能证明你的猜想是正确的吗？与同学交流.
（5）这个规律对于任意的一元二次方程都成立吗？如方程x2+x+1=0，它的根也符合这个规律吗？
（6）请你用数学语言表达上述规律.
设计意图 这些问题由易而难，由现象到本质，由特殊到一般.目的是为了让学生通过自己的思考、归纳、发现一元二次方程的根与系数的关系.
2.4 加强分析法教学
分析法对于培养学生的数学思考能力具有独到的价值.分析法是指“执果索因”的逻辑方法，它是从数学题的特征结论出发，利用学过的公理、定理、定义或法则去推想要证明这个结论需要具备的条件，一旦这些条件具备，结论就成立.因此，我们应根据结论去寻找应具备的条件.譬如说要甲命题成立，那就去寻找甲命题成立的条件是否具备.若甲命题的条件可以由已知条件直接推得，那么问题就解决了.如果所需的条件中的一部分或全部都不在已知中，问题没有解决.那就继续往下想，欲想甲命题成立，必须先证明乙命题成立，那就寻找乙命题的条件是否可直接由已知条件推出.如果可以，那么问题就解决了；如果还是不行，那就继续按着同样的方法向上追溯，直到所需要的某个命题已能由已知条件推得为止.
案例4 “若四边形的两组对边相等，则四边形是平行四边形”的分析过程.
图4已知：如图4，在四边形ABCD中，AD=CB，BA=DC.
求证：ABCD是平行四边形.
分析法：连结BD，欲证ABCD是平行四边形，则需证明AD∥BC，BA∥CD.可以证∠1=∠2，∠3=∠4，则需证△ABD≌△CDB，这一点则需先证出AD=CB，BA=DC，BD=DB.这些条件可以从已知中找到.
通过分析得到思路后，再用综合法把证明过程写出来就可以了.长期坚持用分析法寻找证明的思路，学生的数学思考能力将会逐步得到提高.
案例5 究竟是白酒中的红酒多还是红酒中的白酒多？
相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒入白酒内，试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反？
析解 通常的解法是：假设两酒杯容量均为a，一匙的容量为b，则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为a-b，第二次动作后，……，不少人会在计算过程中搁浅、碰壁.
事实上，我们可作这样进行分析：两个杯子最终含有相同数量的酒，如果每个杯子中的白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而红酒杯中所缺少的部分正好被白酒所填补，所以，白酒杯中所含红酒的量与红酒杯中所含白酒的量是相同的.
这个问题似乎不是数学问题，通过深层次的思考发现“白酒杯中红酒的量就是红酒杯中所缺少的量”是解答的关键.培养学生用数学的思维方式分析一些非常规问题是学生应具备的基本素养之一.
2.5 通过建模教学，培养学生应用意识
“模型思想”和“应用意识”都是《课标（2011年版）》提出的十大核心词，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.所谓数学应用意识，就是一种用数学的眼光、从数学的角度去观察、分析周围生活中问题的积极的心理倾向和思维反应.现代社会比以往任何时候都更需要公民运用数学知识去面对生活和工作中的问题.通过建立数学模型解决这些问题对于培养学生的数学思考是非常有效的.
案例6 什么时间出发？
某旅行团从甲地到乙地游览，甲乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4：00同时到达乙地，必须在什么时候出发？
析解 这个问题实质上求的是如果按照题设的行走方式，至少需要几个小时才能保证下午4：00同时到达乙地，这需要通过建立方程组模型来解决.正确找到问题中所含有的等量关系是建立方程组模型的关键，这也是学生学习的难点所在，为帮助学生克服难点，可以借助于线型图分析与思考：
设先坐车的一部分下车地点距离甲地x公里，这一部分人下车地点距离另一部分人的上车地点相距y公里，如图5所示：
x+y40=x-y8，
2y+100-x40=100-x8，解得x=75，
y=50.
x40+100-x8=7540+100-758=5（小时）
答：要使大家在下午4：00同时到达乙地，必须在上午11：00出发.
表面看本题目主要考查了学生列方程组解应用题的能力.深层看是通过解答这样的题目培养学生的数学模型意识、应用意识，而这些意识的形成与数学思考密切相关.
2.6 实施开放题教学策略
数学开放题是一种重要的教学思想和教学模式.在解答开放性问题时，因为它的条件不完备、答案不确定且具有层次性，解决策略具有发散性和创新性等特征，容易使学生主动参与、积极进行思考与探究，也可以让不同层次的学生在思考、解答同一问题时得到不同的发展，从而让所有学生都有体验成功的机会，在成功的基础上思考、探索更深层次的问题，从而形成良好的思维品质.
案例7 需要添加什么条件？
图6如图6，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF.
（1）要使得△BEH≌△CFH，需要添加的条件是 .
（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.
析解 （1）根据全等三角形的判定方法，当EH=FH或BE∥CF或∠EBH=∠FCH时，都可以推出△BEH≌△CFH.（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形.
以上我们论述了几种培养学生数学思考的常用方法.当然，引发学生积极思考的途径还有很多，希望老师们加强研究和交流，结合具体的教学内容努力为学生创设良好的思考环境，引发学生的数学思考，使学生成为会数学思考、乐于数学思考的人.实现《课标2011版》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念.
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）指出“数学与人类的发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面.”这就客观决定了我们的数学教育不仅要让学生获得一些基本的数学知识，更重要的是应让学生具备在这个充满疑问、有时连问题和答案都不确定的世界里生存的本领.如何才能获得这些“本领”呢？这是一个系统的研究课题，本文从培养学生数学思考方面谈谈自己的看法.
1 数学思考是数学课程的重要目标
所谓数学思考，就是在遇到各种各样的问题情境时能够运用数学的知识、方法、思想和观念去分析、探究，从而发现其中存在的数学现象和数学规律，并运用数学的知识和方法加以解决的过程.
《课标（2011年版）》对数学课程的“总目标”是这样表述的：
通过义务教育阶段的数学学习，学生能：
（1）获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.
（2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.
（3）了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.
对于上述总目标，《课标（2011年版）》又从“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”四个方面进行了具体的阐述.对于数学思考，《课标（2011年版）》的描述是：
（1）建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维.
（2）体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象.
（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法.
（4）学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.
这四点是数学课程在“数学思考”方面应达到的目标，也可以认为是数学思考应包括的内容.它向我们指出了“数学思考”这一课程目标希望达到的三个目的：让学生学会独立思考，体会数学思想，体会数学思维方式.
这就要求我们在数学教学中要引导学生在学会知识的过程中也要学会思考，学会思考的重要性高于学会知识.这种思考是“运用数学的思维方式进行”的思考，也就是“数学方式的理性思维”.它有丰富的内涵，包括形象思维、逻辑思维和辩证思维，包括合情推理和演绎推理等等.教学中让学生学会思考，就能形成用数学的眼光看世界，从数学的角度去分析问题的素养，能使学生终生受益.
2 培养学生数学思考的基本作法
许多中外学者一直强调数学思考的重要性.著名教育家苏霍姆林斯基认为“真正的学校乃是一个积极思考的王国.”数学家赵访熊教授说，有些学生学习效率之所以不高，主要原因是缺乏思考.圣人说得好：“学而不思则罔.”可见，数学思考是数学教学中最有价值的行为.
2.1 精心设计问题情境，引导学生积极思考
《课标（2011年版）》指出“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考…….”学习过程不仅是学生掌握知识的过程，更是一个在数学思考的基础上，发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的过程.
在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强，无不是从“问题”开始的.因此，教师应精心创设问题情境，引导学生通过问题情境深入到数学学科的本质，超越对于技巧性问题的过度追求，感悟数学命题背后隐含的思想方法，明晰知识之间的相互联系，从而形成优化的知识结构.
案例1 二元一次方程组概念的建立过程.
为了引出“二元一次方程组”的概念，可创设下面的问题情境：
雄伟的长城是中华民族的象征.长城东起鸭绿江，西达嘉峪关，全长7300千米，其中东段从鸭绿江到山海关，西段从山海关到嘉峪关，西段比东段长6100千米.长城的东西段各长多少千米？在这个问题中：
（1）那些量是已知量？哪些量是未知量？
（2）有哪些等量关系？
（3）如果设长城东段的长为x千米，西段的长为y千米，那么长城的全长为 ；西段比东段长 .
根据等量关系：东段的长+西段的长=7300米，可以列出方程 ；
根据等量关系：西段的长-东西段的长=6100米，可以列出方程 .
上面的两个方程有什么特点？与同学们交流.
同学们在思考、回答、交流以上问题的过程中，不仅经历了二元一次方程组的形成过程.而且还会认识到二元一次方程组是在解决实际问题的过程中产生的.在引导学生学习《课标（2011年版）》界定的大部分内容时，我们都要结合具体内容，精心创设问题情境，努力让学生经历这些知识的形成过程.这样的呈现形式有利于激发同学们的学习兴趣，引起数学思考，从而更好的理解数学的实质，了解知识之间的相互关联.
2.2 尊重学生的主体地位，努力转变学习方式
《课标2011版》指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”这就是我们选择学习方式的“总方针”.学习数学的最好方法是做数学，有些数学知识可引导学生自己亲自操作、实验或通过现代教育技术手段演示及操作，让学生在观察、操作、思考、猜想、证明等数学活动的过程中自主获得知识.
案例2 勾股定理探究发现过程.
对于这个定理，可用下面的问题，引导学生进行实验、思考、探究、归纳、发现等活动，从而自主得到定理：
（1）用硬纸板剪8个图1所示的同样大小的直角三角形，设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c；
（2）如图2和3所示，在白纸上画出两个边长均为（a+b）的正方形；按照图2所示的方式，将剪出的4个直角三角形，摆放在第一个正方形内；如图3所示，将另外的4个直角三角形，摆放在第二个正方形内.
（3）判断图2和图3中四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的形状，说明理由.
（4）观察图2，小正方形Ⅰ的面积是 ，小正方形Ⅱ的面积是 .
（5）观察图3，小正方形Ⅲ的面积是 .
（6）图2中小正方形Ⅰ和Ⅱ面积之和与图3中小正方形Ⅲ的面积有什么关系？由此你发现直角三角形的三边a，b，c之间有怎样的数量关系？
图1 图2 图3 设计意图 勾股定理本身的结论非常简洁，且容易记忆，如果直接告诉学生，几分钟就可以解决问题，但这样的教学丢弃了一次引导学生思考与探究的好机会.这样设计不仅让学生经历了勾股定理的产生过程，而且还能有效地培养学生观察、思考、猜测、推理等能力，同时加深对数形结合思想的认识，积累一定的数学活动经验.
2.3 重视合情推理能力的培养
《课标2011年版》指出：“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.”由此可以看出，合情推理就是从具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段而进行的一种推理.这种推理的是从观察入手，通过类比而产生联想，或通过归纳作出猜想的，在推理的过程中一刻也离不开数学思考.
案例3 根与系数关系的探究过程.
为引导学生自己探究、发现根与系数的关系，可用下面的问题引导学生去活动：
（1）解下面的一元二次方程：
①x2+3x+2=0，②x2-5x+6=0，③3x2+x-2=0，④2x2-4x+1=0.
（2）根据（1）中所求出的每个方程的根，分别计算两根之和与两根之积，并把结果填入下表：
（3）观察上表，你发现在上面的四个方程中，两根之和与两根之积的值分别与相应的方程的系数之间有怎样的关系？
（4）由此你猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与方程的系数a，b，c之间有什么关系？能证明你的猜想是正确的吗？与同学交流.
（5）这个规律对于任意的一元二次方程都成立吗？如方程x2+x+1=0，它的根也符合这个规律吗？
（6）请你用数学语言表达上述规律.
设计意图 这些问题由易而难，由现象到本质，由特殊到一般.目的是为了让学生通过自己的思考、归纳、发现一元二次方程的根与系数的关系.
2.4 加强分析法教学
分析法对于培养学生的数学思考能力具有独到的价值.分析法是指“执果索因”的逻辑方法，它是从数学题的特征结论出发，利用学过的公理、定理、定义或法则去推想要证明这个结论需要具备的条件，一旦这些条件具备，结论就成立.因此，我们应根据结论去寻找应具备的条件.譬如说要甲命题成立，那就去寻找甲命题成立的条件是否具备.若甲命题的条件可以由已知条件直接推得，那么问题就解决了.如果所需的条件中的一部分或全部都不在已知中，问题没有解决.那就继续往下想，欲想甲命题成立，必须先证明乙命题成立，那就寻找乙命题的条件是否可直接由已知条件推出.如果可以，那么问题就解决了；如果还是不行，那就继续按着同样的方法向上追溯，直到所需要的某个命题已能由已知条件推得为止.
案例4 “若四边形的两组对边相等，则四边形是平行四边形”的分析过程.
图4已知：如图4，在四边形ABCD中，AD=CB，BA=DC.
求证：ABCD是平行四边形.
分析法：连结BD，欲证ABCD是平行四边形，则需证明AD∥BC，BA∥CD.可以证∠1=∠2，∠3=∠4，则需证△ABD≌△CDB，这一点则需先证出AD=CB，BA=DC，BD=DB.这些条件可以从已知中找到.
通过分析得到思路后，再用综合法把证明过程写出来就可以了.长期坚持用分析法寻找证明的思路，学生的数学思考能力将会逐步得到提高.
案例5 究竟是白酒中的红酒多还是红酒中的白酒多？
相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒入白酒内，试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反？
析解 通常的解法是：假设两酒杯容量均为a，一匙的容量为b，则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为a-b，第二次动作后，……，不少人会在计算过程中搁浅、碰壁.
事实上，我们可作这样进行分析：两个杯子最终含有相同数量的酒，如果每个杯子中的白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而红酒杯中所缺少的部分正好被白酒所填补，所以，白酒杯中所含红酒的量与红酒杯中所含白酒的量是相同的.
这个问题似乎不是数学问题，通过深层次的思考发现“白酒杯中红酒的量就是红酒杯中所缺少的量”是解答的关键.培养学生用数学的思维方式分析一些非常规问题是学生应具备的基本素养之一.
2.5 通过建模教学，培养学生应用意识
“模型思想”和“应用意识”都是《课标（2011年版）》提出的十大核心词，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.所谓数学应用意识，就是一种用数学的眼光、从数学的角度去观察、分析周围生活中问题的积极的心理倾向和思维反应.现代社会比以往任何时候都更需要公民运用数学知识去面对生活和工作中的问题.通过建立数学模型解决这些问题对于培养学生的数学思考是非常有效的.
案例6 什么时间出发？
某旅行团从甲地到乙地游览，甲乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4：00同时到达乙地，必须在什么时候出发？
析解 这个问题实质上求的是如果按照题设的行走方式，至少需要几个小时才能保证下午4：00同时到达乙地，这需要通过建立方程组模型来解决.正确找到问题中所含有的等量关系是建立方程组模型的关键，这也是学生学习的难点所在，为帮助学生克服难点，可以借助于线型图分析与思考：
设先坐车的一部分下车地点距离甲地x公里，这一部分人下车地点距离另一部分人的上车地点相距y公里，如图5所示：
x+y40=x-y8，
2y+100-x40=100-x8，解得x=75，
y=50.
x40+100-x8=7540+100-758=5（小时）
答：要使大家在下午4：00同时到达乙地，必须在上午11：00出发.
表面看本题目主要考查了学生列方程组解应用题的能力.深层看是通过解答这样的题目培养学生的数学模型意识、应用意识，而这些意识的形成与数学思考密切相关.
2.6 实施开放题教学策略
数学开放题是一种重要的教学思想和教学模式.在解答开放性问题时，因为它的条件不完备、答案不确定且具有层次性，解决策略具有发散性和创新性等特征，容易使学生主动参与、积极进行思考与探究，也可以让不同层次的学生在思考、解答同一问题时得到不同的发展，从而让所有学生都有体验成功的机会，在成功的基础上思考、探索更深层次的问题，从而形成良好的思维品质.
案例7 需要添加什么条件？
图6如图6，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF.
（1）要使得△BEH≌△CFH，需要添加的条件是 .
（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.
析解 （1）根据全等三角形的判定方法，当EH=FH或BE∥CF或∠EBH=∠FCH时，都可以推出△BEH≌△CFH.（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形.
以上我们论述了几种培养学生数学思考的常用方法.当然，引发学生积极思考的途径还有很多，希望老师们加强研究和交流，结合具体的教学内容努力为学生创设良好的思考环境，引发学生的数学思考，使学生成为会数学思考、乐于数学思考的人.实现《课标2011版》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念.
