建立直角三角形模型的类型剖析

    王芳

    

    

    建立直角三角形模型，就是把非直角三角形转化为直角三角形，进而借助三角函数解决问题.这类题目的类型比较多，也非常重要，下面分类加以剖析.

    类型一：建立单一的直角三角形模型

    例1 （2019.台州）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图.已知车杆AB长92 cm.车杆与脚踏板所成的角即∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6 cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位.参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）.

    点评：本题从实际问题中建立单一的直角三角形模型，借助三角函数建立边角关系，通过求直角三角形的边长解决问题.

    类型二：建立“背靠背”型的双直角三角形模型

    例2 （2019.内江）如图3，已知两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120 m.从DA的顶部A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°.这两座建筑物的地面距离DC为多少米（结果保留根号）？

    点评：本题通过作高线，得到“背靠背”型的双直角三角形，借助两个直角三角形的公共边建立两三角形的联系，进而列方程解决问题，

    类型三：建立“母子”型的双直角三角形模型

    例3（2019.郴州）如图4，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30 km.在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救.已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少千米（精确到0.01 km.参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）？

    点评：本题求解的关键是根据题目中所给的方向角構造双直角三角形，利用三角函数建立边角关系，进而解决问题.

    类型四：建立“拥抱”型的双直角三角形模型

    例4（2019.襄阳）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一，某校数学兴趣小组对竖立的索塔在桥面以七的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量.如图5所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121 m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°.从点A出发沿AC方向前进23.5 m到达点D.在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°.请你求出塔冠BE的长度（结果精确到0.1 m.参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈ 1.41）.

    点评：本题通过连接DE，构造“拥抱”型的双直角三角形，分别求解两个直角三角形，使问题得到解决.