求三角函数值的多种途径

    陈德前

    

    

    

    在历年的中考试题中，求三角函数值是一个热点，现以中考试题为例，说明求三角函数值的常用方法，

    一、运用定义求三角函数值

    例1 （2019.眉山）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12.将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE.使得点D落在AC上，则tan∠LECD的值为

    .

    解析：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=13.

    根据旋转的性质可得AE=13，AD=5，DE=12.

    ∴ CD=8.

    ∴tanLECD= DE/DC=12/8=3/2.

    点评：运用定义求三角函数值，一般先用勾股定理求出直角三角形的相应边长，再求锐角三角函数的值，

    二、构造赢角三角形求三角函数值

    例2 （2019.宜昌）如图2，在5x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（

    ）.

    点评：在非直角三角形中求锐角三角函数值，要先作高线，将斜三角形转化为直角三角形的组合.解答网格问题，要充分利用网格的特点.

    点评：引进参数求锐角三角函数值时，一般先设一个参数（比如本例设AB=x），再用含参数的代数式表示出直角三角形其他各边的长，然后根据三角函数的定义来求解.

    点评：求解这类问题时要熟记特殊角的三角函数值，有时需要借助三角形的内角和定理求出未知的特殊角的度数，再利用特殊角的三角函数值得到答案.本题也可以利用锐角三角函数的定义求解，请同学们试一试.

    点评：当要求的角不在直角三角形中时，除了可以通过作高构造直角三角形，也可以利用等腰三角形、全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆的性质等知识，将所要求的三角函数值对应的角进行等角转化，再利用等角的三角函数值来获得答案.

    点评：本题的解法比较多，这里从整体出发，通过求相似三角形的相似比求出直角三角形两直角边的比，显得简单快捷.

    2.整體处理两角的和

    例7 （2019.自贡）如图5.在由10个完全相同的等边三角形构成的网格图中，α、β如图所示，则cos（α+β）=____.

    点评：本题考查锐角三角函数、等边三角形的性质以及图形变化规律等知识，构造出一个内角等于a+p的直角三角形是解题的关键.

    3.整体求三角函数和（差）的值

    例8 （2019.绵阳）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图6所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则（sinθ-cosθ）2=（

    ）.

    点评：直接求出cos0或sin0的值是比较困难的，这里利用“赵爽弦图”中小正方形的边长等于直角三角形两直角边长的差，再将直角三角形的两条直角边长用大正方形的边长表示出来，进而整体求出了cosθ-sinθ的值.