例谈初中几何探究教学的设计、实践与反思
张爱平
1问题提出
义务教育数学课程标准（2011版）（下称“课标”）倡导积极思考、动手实践、自主探索的数学学习方式，强调数学教学过程中要鼓励学生自主探究，引导学生主动地从事观察、实验、猜测、推理等数学活动[1]，探究性教学活动就成了数学教学中不可或缺的重要形式.如何进行初中几何探究教学的设计与实践？本文利用两个案例的分析，对这个问题进行探讨.
2几何探究教学的设计与实践
课标指出：在教学中要处理好过程与结果、直观与抽象、直接经验与间接经验的关系.数学教学活动要激发学生的兴趣和学习积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维[1]，探究性教学成为实现上述目标的一种教学方式.下面以两个几何探究教学活动的设计与实践为例，从几何图形性质和关系两个角度说明如何进行探究教与学，以帮助学生积累几何探究的活动经验，发展学生几何探究能力.
2.1在数学实验过程中探究，理解几何图形性质的内涵
数学教育家波利亚指出：“数学具有两个面，以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学”，数学实验是学生通过观察、操作、试验等实践活动来进行数学探究学习的一种形式.学生在动手操作、测量等数学实验活动中获得对几何图形性质的初步认识，在推理中加深理解，深刻理解几何图形性质的内涵.
“垂线段最短”是认识直线“垂直”的过程中得到的一个重要性质，为了帮助学生获得这一结论，并较好理解其内涵，可以尝试在数学实验活动中探究得到结论，并自然过渡到简单说理.
案例1“垂线段最短”的探究
（1）设置实际问题情境，引发探究几何图形性质的兴趣
问题1如图1，怎样测量跳远成绩？为什么这样测量？
问题2如图2，点P是直线l外一点，点P与直线l上的各点所连的线段中，没有最长的，但好像有最短的，哪一条线段的长最短？
图1图2设计意图与效果分析创设问题情境，使探究活动意义明确，主题清楚，其中问题1从学生体育活动中的跳远成绩的测量引发学生的思考，为点到直线的距离的定义做好铺垫；问题2直接给出学生下面探究的主题，明确探究的起点，激发探究的好奇心和兴趣.
（2）在实验过程中操作、思考，经历几何图形性质的获得过程
活动1利用直尺度量线段的长度，感受“垂线段最短”.
图3如图3，通过直尺度量，发现PO1>PO2>PO3>…>PO，PO5>PO4>…>PO，其中PO⊥l，垂足为O.从上面的测量可以感受并猜想“点P与l上的点所连线中，垂线段最短”.
设计意图与效果分析这里要求学生利用直尺度量的方法，在操作过程中猜想直线外一点与直线上各点所连的线段中垂线段可能最短，这种操作活动只能做有限次，学生只能从有限次测量中进行比较，是一种不完全归纳的过程.
活动2利用几何画板软件测量，体会“垂线段最短”.
通过几何画板课件，学生在直线l外取一点P，设Q为直线l上动点，度量PQ的长度，在直线l上拖动点Q，观察并记录PQ的长度及变化情况，发现当PQ⊥l时，PQ的长度最小，并通过点Q的运动，体会变化的全过程，进一步体会到“点P与l上的点所连线中，垂线段最短”.
设计意图与效果分析这里要求学生在几何画板软件中度量直线外一点与直线上一个动点之间的距离，当拖动动点时，可以观察到所测量的距离的连续变化过程，覆盖了直线上所有点的情形，直观体会“垂线段最短”，是一次完全归纳的过程.
活动3利用折纸探究并尝试说理，说明“垂线段最短”.
（1）折纸：如图4，将长方形纸片对折，再对折，展开得到两个折痕PS、MN，并交于点O.
问题：两个折痕PS、MN的关系如何？
分析：根据折叠，∠POM=PON=90°，OP⊥MN，OP=OS.
图4图5图6（2）说理：如图5，设点P为线段MN外的一点，点Q为线段MN上的任意一点（与点O不重合），试比较PQ与PO的大小.
如图6，连接QS.根据折叠，PQ=QS.根据两点之间线段最短，得QS+QP>PS=PO+OS.即2PQ>2PO.所以PQ>PO.
（3）结论：点P与线段MN上的点所连的线段中，垂线段PO最短.
设计意图与效果分析这里要求学生在折纸的过程中研究图形的轴对称性及相关结论，直接提出折痕外一点到折痕上任意一点（除垂足）之间的距离与该点到两条折痕的交点的距离（垂线段的长度）的大小比较问题，并根据轴对称性转化为两点之间连线的长度问题，再根据“两点之间线段最短”说明“垂线段最短”，学生在折纸的过程中经历动手操作、数学思考的实验活动过程，初步感受说理，加深对“垂线段最短”的内涵的理解.
学生从特殊到一般进行归纳，并在折纸中渗透说理，体会从合情推理到演绎推理的数学思维过程，经历从“实验几何”学习到“论证几何”学习的过渡过程，为初中平面几何学习做好准备，从而形成几何探究的策略，既培养学生几何直观能力，也发展学生的推理能力.
2.2在类比中探究，经历研究几何图形关系的过程
类比是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其它属性也相同的推理，可以较好地发现知识、获得方法，是一种合情推理方式；在类比过程中，需要结合必要的说理对所获得的结论进行证实或证伪，形成严谨的数学探究过程.
三角形全等和三角形相似都反映两个三角形的关系，其中三角形全等是三角形相似的特殊情形，因此可以将特殊推广到一般，将探索三角形全等条件的方法类比到探索三角形相似条件的过程中，使探究的“路”和“法”较为清晰，便于学生在探究过程中，积极思考，自主探究，积累探究活动经验.
案例2“三角形相似的条件”的探究.
（1）再现“三角形全等条件”的探索过程，让“三角形相似的条件”的探索有“路”可比
问题1两个三角形全等的条件有哪些？
生1：有四种方法，即两边及夹角分别相等、两角及夹边分别相等、两角及其中一角的对边分别相等、三边分别相等的两个三角形全等，用符号表示为SAS、ASA、AAS、SSS.
问题2探索两个三角形全等的条件时的方法是什么？
生2：我们知道能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，根据定义可以知道三个角分别相等和三边分别相等的三角形是全等三角形.
生3：我们可以将这6个条件适当减少，使判定时更加简单易操作，最终得到除定义外的其它四种方法.
问题3除了将6个条件适当减少，还有其它路径吗？
生4：我们可以将条件由少到多，即一边分别相等、一角分别相等、两边分别相等、两角分别相等、一边和一角分别相等的两个三角形全等吗？若不全等，能否举出反例.
设计意图与效果分析通过三角形全等条件探索的再现，提出关于探索三角形全等条件的3个问题，明确三角形全等条件探索的路径和方法，即将条件逐步减少和条件逐步增加的方法进行探究，使学生在探索三角形相似时有“路”可类比.
（2）类比“三角形全等条件”的探索，让“三角形相似的条件”的探索有“法”可探
问题4两个三角形相似的定义是什么？
生5：形状相同的三角形叫做相似三角形，即各角分别相等、各边分别成比例的两个三角形叫做相似三角形.即
问题5类比三角形全等条件的探索，可以怎样探索三角形相似的条件？
生6：我们可以通过减少条件或增加条件的方法探究.
生7：通过增加条件的方法：
（1）一组条件：一组角分别相等或两组对边分别成比例的两个三角形不一定相似，反例如下：
设计意图与效果分析这里设置2个问题，问题4引导学生回忆三角形相似的定义，为三角形相似条件的增加和减少做好铺垫，问题5提出”探索三角形相似的条件”的大问题，引导学生利用不断增加条件的方法，从一组条件到两组条件，并分类考虑各种情形：对不能判断相似的条件通过举反例的方式说理；对能说明相似的条件，首先利用“平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”来证明“两个角分别相等的两个三角形相似”，再以此为基础通过说理的方式说明其它条件的正确性；对于三组条件成立可以转化为两组条件研究，渗透推理能力的培养.
在探究过程中，也可以尝试减少一组条件、二组条件、三组条件进行探索，最终得到两组条件的三种方法.需要根据学生的思维过程自然过渡，选择符合学生思维方式的探究方式.
探究过程中依据全等三角形条件探索的经验，类比获得研究两个三角形相似的经验和方法，采用条件“由少增加”或“由多减少”的探究路径，通过说理证实或举反例证伪的方法说明各种条件的正确与否，最终获得三角形相似的最简条件，探究过程思路清晰，方法明晰，让探究过程有“法”可探，帮助学生积累探索几何图形关系的数学活动经验.
3教学反思
3.1几何探究活动要尊重学生认知规律
几何探究活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经验基础之上，始终处于学生的“最近发展区”，学生已有的认知结构是学生知识的生长点，也是教师开展教学活动的起点，既要依据课程标准确定学生的学习目标，更要着眼于问题解决，追求合理、有效的探究方式[3].根据这一原则，探究活动中设置的问题的思维容量应有个“度”.如果探究问题过难，那么学生难以企及，会望而生畏；如果探究问题过易，那么不能引起学生的探究欲望，也没有探究的价值.案例1和案例2中问题的设置根据这些要求设置，从学生已有的探索三角形全等条件的经验和生活中已有的测量跳远的距离的经验出发，揭示探究的方向，明确探究的必要，整个探究活动是基于学生认知基础的自然生长.
3.2几何探究过程中要发展学生数学思维能力
课标指出：数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维[1].几何探究活动要注重培养学生良好的数学学习习惯，掌握恰当的数学学习方法，发展数学思维能力.
学生在数学实验过程中，利用一定的物质手段（含物质材料、计算机软件等），通过动手、动脑，用观察、实验、猜想等手段获得结论，在活动中进行数学探究，在“做中学”，培养科学素养和探究精神[2].案例1中的数学实验活动为学生提供了“做中学”数学的过程，进而为“悟中学”提供了可能.学生经历了三个不断递进、思维过程由低到高的数学实验活动，完成了“垂线段最短”的深度探究，学生在从不完全归纳到完全归纳、从感性到理性的数学思维活动中，真实有效地实现探究目的，探究的三个活动之间联系紧密，环环相扣，学生自主动手操作、独立思考，在数学实验活动中完成一次真正的、有价值的探究活动.
案例2中，与三角形全等条件探索过程类比，提出三角形相似的条件，并通过说理证实和举反例证伪，探究过程路径清晰、方法简便，引导学生数学地思考，发展数学思维能力.
3.3几何探究活动要渗透研究几何问题的经验
在初中几何探究学习中，学生通过观察实物、测量、实验、归纳、类比等方法研究几何图形的关系，发现图形性质，通过演绎推理证明数学结论，培养学生言之有理和有条理地思考、表达的能力[4].在案例1中，经过“测量—折纸—推理”的过程获得“直线外一点与直线上各点所连的线段中，垂线段最短”的性质；在案例2中，利用引理证明“两角分别相等的三角形相似”，再类比说明其它条件成立，经历“推理（举反例）—结论”的过程研究图形之间的关系；这些探究思路和方法均是研究几何图形的重要方法和经验，需要学生在学习中不断积累和内化，发展数学探究能力.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京师范大学出版社2011.
[2]董林伟.数学实验：促进初中生数学学习的一种有效方法[J].中国数学教育，20125：2-5
[3]陈锋，薛莺.从课堂“微探究”谈初中数学有效教学[J].初中数学教与学20136：30-32.
[4]李海东.渗透几何研究方法，做好实验几何到论证几何的过渡[J].中学数学教学参考20131-2：7-10.
1问题提出
义务教育数学课程标准（2011版）（下称“课标”）倡导积极思考、动手实践、自主探索的数学学习方式，强调数学教学过程中要鼓励学生自主探究，引导学生主动地从事观察、实验、猜测、推理等数学活动[1]，探究性教学活动就成了数学教学中不可或缺的重要形式.如何进行初中几何探究教学的设计与实践？本文利用两个案例的分析，对这个问题进行探讨.
2几何探究教学的设计与实践
课标指出：在教学中要处理好过程与结果、直观与抽象、直接经验与间接经验的关系.数学教学活动要激发学生的兴趣和学习积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维[1]，探究性教学成为实现上述目标的一种教学方式.下面以两个几何探究教学活动的设计与实践为例，从几何图形性质和关系两个角度说明如何进行探究教与学，以帮助学生积累几何探究的活动经验，发展学生几何探究能力.
2.1在数学实验过程中探究，理解几何图形性质的内涵
数学教育家波利亚指出：“数学具有两个面，以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学”，数学实验是学生通过观察、操作、试验等实践活动来进行数学探究学习的一种形式.学生在动手操作、测量等数学实验活动中获得对几何图形性质的初步认识，在推理中加深理解，深刻理解几何图形性质的内涵.
“垂线段最短”是认识直线“垂直”的过程中得到的一个重要性质，为了帮助学生获得这一结论，并较好理解其内涵，可以尝试在数学实验活动中探究得到结论，并自然过渡到简单说理.
案例1“垂线段最短”的探究
（1）设置实际问题情境，引发探究几何图形性质的兴趣
问题1如图1，怎样测量跳远成绩？为什么这样测量？
问题2如图2，点P是直线l外一点，点P与直线l上的各点所连的线段中，没有最长的，但好像有最短的，哪一条线段的长最短？
图1图2设计意图与效果分析创设问题情境，使探究活动意义明确，主题清楚，其中问题1从学生体育活动中的跳远成绩的测量引发学生的思考，为点到直线的距离的定义做好铺垫；问题2直接给出学生下面探究的主题，明确探究的起点，激发探究的好奇心和兴趣.
（2）在实验过程中操作、思考，经历几何图形性质的获得过程
活动1利用直尺度量线段的长度，感受“垂线段最短”.
图3如图3，通过直尺度量，发现PO1>PO2>PO3>…>PO，PO5>PO4>…>PO，其中PO⊥l，垂足为O.从上面的测量可以感受并猜想“点P与l上的点所连线中，垂线段最短”.
设计意图与效果分析这里要求学生利用直尺度量的方法，在操作过程中猜想直线外一点与直线上各点所连的线段中垂线段可能最短，这种操作活动只能做有限次，学生只能从有限次测量中进行比较，是一种不完全归纳的过程.
活动2利用几何画板软件测量，体会“垂线段最短”.
通过几何画板课件，学生在直线l外取一点P，设Q为直线l上动点，度量PQ的长度，在直线l上拖动点Q，观察并记录PQ的长度及变化情况，发现当PQ⊥l时，PQ的长度最小，并通过点Q的运动，体会变化的全过程，进一步体会到“点P与l上的点所连线中，垂线段最短”.
设计意图与效果分析这里要求学生在几何画板软件中度量直线外一点与直线上一个动点之间的距离，当拖动动点时，可以观察到所测量的距离的连续变化过程，覆盖了直线上所有点的情形，直观体会“垂线段最短”，是一次完全归纳的过程.
活动3利用折纸探究并尝试说理，说明“垂线段最短”.
（1）折纸：如图4，将长方形纸片对折，再对折，展开得到两个折痕PS、MN，并交于点O.
问题：两个折痕PS、MN的关系如何？
分析：根据折叠，∠POM=PON=90°，OP⊥MN，OP=OS.
图4图5图6（2）说理：如图5，设点P为线段MN外的一点，点Q为线段MN上的任意一点（与点O不重合），试比较PQ与PO的大小.
如图6，连接QS.根据折叠，PQ=QS.根据两点之间线段最短，得QS+QP>PS=PO+OS.即2PQ>2PO.所以PQ>PO.
（3）结论：点P与线段MN上的点所连的线段中，垂线段PO最短.
设计意图与效果分析这里要求学生在折纸的过程中研究图形的轴对称性及相关结论，直接提出折痕外一点到折痕上任意一点（除垂足）之间的距离与该点到两条折痕的交点的距离（垂线段的长度）的大小比较问题，并根据轴对称性转化为两点之间连线的长度问题，再根据“两点之间线段最短”说明“垂线段最短”，学生在折纸的过程中经历动手操作、数学思考的实验活动过程，初步感受说理，加深对“垂线段最短”的内涵的理解.
学生从特殊到一般进行归纳，并在折纸中渗透说理，体会从合情推理到演绎推理的数学思维过程，经历从“实验几何”学习到“论证几何”学习的过渡过程，为初中平面几何学习做好准备，从而形成几何探究的策略，既培养学生几何直观能力，也发展学生的推理能力.
2.2在类比中探究，经历研究几何图形关系的过程
类比是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其它属性也相同的推理，可以较好地发现知识、获得方法，是一种合情推理方式；在类比过程中，需要结合必要的说理对所获得的结论进行证实或证伪，形成严谨的数学探究过程.
三角形全等和三角形相似都反映两个三角形的关系，其中三角形全等是三角形相似的特殊情形，因此可以将特殊推广到一般，将探索三角形全等条件的方法类比到探索三角形相似条件的过程中，使探究的“路”和“法”较为清晰，便于学生在探究过程中，积极思考，自主探究，积累探究活动经验.
案例2“三角形相似的条件”的探究.
（1）再现“三角形全等条件”的探索过程，让“三角形相似的条件”的探索有“路”可比
问题1两个三角形全等的条件有哪些？
生1：有四种方法，即两边及夹角分别相等、两角及夹边分别相等、两角及其中一角的对边分别相等、三边分别相等的两个三角形全等，用符号表示为SAS、ASA、AAS、SSS.
问题2探索两个三角形全等的条件时的方法是什么？
生2：我们知道能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，根据定义可以知道三个角分别相等和三边分别相等的三角形是全等三角形.
生3：我们可以将这6个条件适当减少，使判定时更加简单易操作，最终得到除定义外的其它四种方法.
问题3除了将6个条件适当减少，还有其它路径吗？
生4：我们可以将条件由少到多，即一边分别相等、一角分别相等、两边分别相等、两角分别相等、一边和一角分别相等的两个三角形全等吗？若不全等，能否举出反例.
设计意图与效果分析通过三角形全等条件探索的再现，提出关于探索三角形全等条件的3个问题，明确三角形全等条件探索的路径和方法，即将条件逐步减少和条件逐步增加的方法进行探究，使学生在探索三角形相似时有“路”可类比.
（2）类比“三角形全等条件”的探索，让“三角形相似的条件”的探索有“法”可探
问题4两个三角形相似的定义是什么？
生5：形状相同的三角形叫做相似三角形，即各角分别相等、各边分别成比例的两个三角形叫做相似三角形.即
问题5类比三角形全等条件的探索，可以怎样探索三角形相似的条件？
生6：我们可以通过减少条件或增加条件的方法探究.
生7：通过增加条件的方法：
（1）一组条件：一组角分别相等或两组对边分别成比例的两个三角形不一定相似，反例如下：
设计意图与效果分析这里设置2个问题，问题4引导学生回忆三角形相似的定义，为三角形相似条件的增加和减少做好铺垫，问题5提出”探索三角形相似的条件”的大问题，引导学生利用不断增加条件的方法，从一组条件到两组条件，并分类考虑各种情形：对不能判断相似的条件通过举反例的方式说理；对能说明相似的条件，首先利用“平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”来证明“两个角分别相等的两个三角形相似”，再以此为基础通过说理的方式说明其它条件的正确性；对于三组条件成立可以转化为两组条件研究，渗透推理能力的培养.
在探究过程中，也可以尝试减少一组条件、二组条件、三组条件进行探索，最终得到两组条件的三种方法.需要根据学生的思维过程自然过渡，选择符合学生思维方式的探究方式.
探究过程中依据全等三角形条件探索的经验，类比获得研究两个三角形相似的经验和方法，采用条件“由少增加”或“由多减少”的探究路径，通过说理证实或举反例证伪的方法说明各种条件的正确与否，最终获得三角形相似的最简条件，探究过程思路清晰，方法明晰，让探究过程有“法”可探，帮助学生积累探索几何图形关系的数学活动经验.
3教学反思
3.1几何探究活动要尊重学生认知规律
几何探究活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经验基础之上，始终处于学生的“最近发展区”，学生已有的认知结构是学生知识的生长点，也是教师开展教学活动的起点，既要依据课程标准确定学生的学习目标，更要着眼于问题解决，追求合理、有效的探究方式[3].根据这一原则，探究活动中设置的问题的思维容量应有个“度”.如果探究问题过难，那么学生难以企及，会望而生畏；如果探究问题过易，那么不能引起学生的探究欲望，也没有探究的价值.案例1和案例2中问题的设置根据这些要求设置，从学生已有的探索三角形全等条件的经验和生活中已有的测量跳远的距离的经验出发，揭示探究的方向，明确探究的必要，整个探究活动是基于学生认知基础的自然生长.
3.2几何探究过程中要发展学生数学思维能力
课标指出：数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维[1].几何探究活动要注重培养学生良好的数学学习习惯，掌握恰当的数学学习方法，发展数学思维能力.
学生在数学实验过程中，利用一定的物质手段（含物质材料、计算机软件等），通过动手、动脑，用观察、实验、猜想等手段获得结论，在活动中进行数学探究，在“做中学”，培养科学素养和探究精神[2].案例1中的数学实验活动为学生提供了“做中学”数学的过程，进而为“悟中学”提供了可能.学生经历了三个不断递进、思维过程由低到高的数学实验活动，完成了“垂线段最短”的深度探究，学生在从不完全归纳到完全归纳、从感性到理性的数学思维活动中，真实有效地实现探究目的，探究的三个活动之间联系紧密，环环相扣，学生自主动手操作、独立思考，在数学实验活动中完成一次真正的、有价值的探究活动.
案例2中，与三角形全等条件探索过程类比，提出三角形相似的条件，并通过说理证实和举反例证伪，探究过程路径清晰、方法简便，引导学生数学地思考，发展数学思维能力.
3.3几何探究活动要渗透研究几何问题的经验
在初中几何探究学习中，学生通过观察实物、测量、实验、归纳、类比等方法研究几何图形的关系，发现图形性质，通过演绎推理证明数学结论，培养学生言之有理和有条理地思考、表达的能力[4].在案例1中，经过“测量—折纸—推理”的过程获得“直线外一点与直线上各点所连的线段中，垂线段最短”的性质；在案例2中，利用引理证明“两角分别相等的三角形相似”，再类比说明其它条件成立，经历“推理（举反例）—结论”的过程研究图形之间的关系；这些探究思路和方法均是研究几何图形的重要方法和经验，需要学生在学习中不断积累和内化，发展数学探究能力.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京师范大学出版社2011.
[2]董林伟.数学实验：促进初中生数学学习的一种有效方法[J].中国数学教育，20125：2-5
[3]陈锋，薛莺.从课堂“微探究”谈初中数学有效教学[J].初中数学教与学20136：30-32.
[4]李海东.渗透几何研究方法，做好实验几何到论证几何的过渡[J].中学数学教学参考20131-2：7-10.
