增根也有用智用能解题
石才英
在解分式方程时，由于去分母将分式方程化成整式方程后，未知数的取值范围扩大了，因而容易出现增根.而分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还使其最简公分母的值为零.智用分式方程的这一特性可巧解一些数学问题.
现以2014年部分省市中考题为例说明如下.
1求参数的值
例1（天水市）k为何值时，方程6x-1-x+kx（x-1）+3x=0有解？
分析将原方程变形为8x=k+3，故x=k+38.再根据分式方程有解，通过公分母x（x-1）≠0知x≠0且x≠1去求解即可.
解由k+38≠0且k+38≠1可求得k≠-3且k≠5.这时原方程就有解.
例2（大连市）当m为何值时，分式方程mx+1-2x-1=3x2-1产生增根？
分析我们很容易猜测出分式方程可能产生的增根是x=1或x=-1，只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程中即可求出相对应的字母m的值.
解原方程去分母并整理得（m-2）x=5+m，假设产生增根x=1，则有m-2=5+m，方程无解.所以不存在m的值使原分式方程产生增根x=1.假设产生增根x=-1，则有2-m=5+m，解得m=-32.所以m=-32时，分式方程mx+1-2x-1=3x2-1产生增根.
注方程的增根，是使公分母为0的未知数的值.求法：①化分式方程为整式方程；②令公分母为0，求x；③再把x的值代入整式方程中，求出字母系数的值.
例3（烟台市）若关于x的分式方程x-ax-1-3x=1无解，试确定a的值.
分析化分式方程为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整式方程有解，但要使分式方程无解，则该解必是使公分母为0时对应的未知数的值，此时相应的字母系数值使分式方程无解.
解去分母，整理得（2+a）x=3.若2+a=0，则a=-2，此时方程无解；若2+a≠0，则x=32+a是增根.因为x=1和x=0是方程的增根，所以32+a=1或0，a=1.所以a=-2或1.
注分式方程无解有两种可能，一是去分母后的整式方程无解；二是去分母后的整式方程有解，但这个解使分式方程的最简公分母为0，为分式方程的增根.应注意分类讨论.
例4（郑州市）解关于x的方程xx-1-kx2-1=xx+1不会产生增根，则k的值（）.
A.是2B.只能是1
C.不为2或-2的实数D.无法确定
分析本题从正面入手求解比较困难，但从逆向思维入手却比较简便.本题不会产生增根的反面是会产生增根，当方程有增根时，最简公分母应为零.
解原方程去分母整理得x（x+1）-k=x（x-1）.所以k=2x.若方程产生增根，则公分母x2-1=0.所以x=±1.故k=±2.所以当k≠2或k≠-2时，原方程不会产生增根.因而应选C.
注方程无增根，说明对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，由此，可以确定字母系数值或取值范围.
2求增根
例5（宜春市）若方程6（x+1）（x-1）-mx-1=1有增根，则它的增根是（）.
A.0B.1C.-1D.1和-1
分析这是一道错误率非常高的选择题，很多同学看完题目后想都不想就选D答案，理由是“增根”必使原方程中的最简公分母为0，而容易忽视“增根”还有另一个特征：是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根.
解方程两边同乘（x+1）（x-1），得6-m（x+1）=（x+1）（x-1）.整理得x2+mx+m-7=0.因为方程有增根，必有（x+1）（x-1）=0，解得x=1或x=-1.当x=1时，方程x2+mx+m-7=0，有解m=3；当x=-1时，方程x2+mx+m-7=0无解，所以x=1是原方程增根，x=-1不是原方程增根.故正确答案应选B.
注判别或寻找分式方程的“增根”，不能简单地认为就是使原方程中的最简公分母为0的未知数的值.使原方程中的最简公分母为0的未知数的值只是增根的必要条件，而不是充分条件.
3求参数的取值范围
例6（成都市）已知解方程4x4-x2+1=k-k2x-2+1x+2时不会产生增根，求实数k的取值范围.
分析本题可仿例3，从逆向思维入手去求解.
解原方程去分母整理得（x+2）（k-k2）=x2-5x-2①.若方程产生增根，则（x+2）（x-2）=0（最简公分母=0）.所以x1=-2，x2=2.当x1=-2时，方程①变为0·（k-k2）=12，k无实数解.当x2=2时，方程①变为4（k-k2）=-8，所以k1=-1，k2=2.所以当k≠-1且k≠2时，原方程不会产生增根.
4求方程的根及参数的值
例7（贵阳市）如果关于x的方程xx-2+x-2x+2x+ax（x-2）=0只有一个实根，求a的值及方程的根.
分析本题需要将分式方程通过去分母化为整式方程求解，但分类讨论时要注意增根的情况.
解原方程可化为：2x2-2x+4+a=0①.（1）若方程①有等根，则Δ=（-2）2-4×2×（4+a）=0，解得a=-3.5，此时原方程的解为x=0.5；（2）若方程①有不等二实根，则这两根中有一个根是原方程的增根，这时原方程才只有一个实根，而原方程的增根是x=0或x=2.当x=0时，代入方程①，得a=-4，此时原方程的解为x=1；当x=2时，代入方程①，得a=-8，此时原方程的解为x=-1.综上所述：当a=-3.5时，原方程的根是x=0.5；当a=-4时，原方程的根为x=1；当a=-8时，原方程的根是x=-1.
综上所述可知，解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程的过程中，无形中去掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根.因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤，不可否认，增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题.
另外有两点体会，供师生参考：
1.已知中明确指出方程有增根，求方程中的待定常数的值及已知方程的解.该类问题的一般解法是：把所给的方程化成整式方程，再把增根代入化简后的整式方程，即可求出待定常数的值，然后将求出的待定常数的值代入化简后的整式（或已知）方程，就可以求出已知方程的根.
2.已知中没有明确给出增根的条件，但题目中隐含有增根的条件，解题时又必须应用增根这一条件.这类问题的一般解法是：首先应明确增根是什么，然后根据题目的要求作出解答.
总而言之，注意课本中的分式方程增根在中考中的应用，对于培养学生的思维水平，开阔学生的视野，巩固基础知识，提高学生的解题水平，对于帮助学生理解课本内容、启迪思维，提高探索精神和创新意识，将会起到积极的作用.
在解分式方程时，由于去分母将分式方程化成整式方程后，未知数的取值范围扩大了，因而容易出现增根.而分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还使其最简公分母的值为零.智用分式方程的这一特性可巧解一些数学问题.
现以2014年部分省市中考题为例说明如下.
1求参数的值
例1（天水市）k为何值时，方程6x-1-x+kx（x-1）+3x=0有解？
分析将原方程变形为8x=k+3，故x=k+38.再根据分式方程有解，通过公分母x（x-1）≠0知x≠0且x≠1去求解即可.
解由k+38≠0且k+38≠1可求得k≠-3且k≠5.这时原方程就有解.
例2（大连市）当m为何值时，分式方程mx+1-2x-1=3x2-1产生增根？
分析我们很容易猜测出分式方程可能产生的增根是x=1或x=-1，只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程中即可求出相对应的字母m的值.
解原方程去分母并整理得（m-2）x=5+m，假设产生增根x=1，则有m-2=5+m，方程无解.所以不存在m的值使原分式方程产生增根x=1.假设产生增根x=-1，则有2-m=5+m，解得m=-32.所以m=-32时，分式方程mx+1-2x-1=3x2-1产生增根.
注方程的增根，是使公分母为0的未知数的值.求法：①化分式方程为整式方程；②令公分母为0，求x；③再把x的值代入整式方程中，求出字母系数的值.
例3（烟台市）若关于x的分式方程x-ax-1-3x=1无解，试确定a的值.
分析化分式方程为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整式方程有解，但要使分式方程无解，则该解必是使公分母为0时对应的未知数的值，此时相应的字母系数值使分式方程无解.
解去分母，整理得（2+a）x=3.若2+a=0，则a=-2，此时方程无解；若2+a≠0，则x=32+a是增根.因为x=1和x=0是方程的增根，所以32+a=1或0，a=1.所以a=-2或1.
注分式方程无解有两种可能，一是去分母后的整式方程无解；二是去分母后的整式方程有解，但这个解使分式方程的最简公分母为0，为分式方程的增根.应注意分类讨论.
例4（郑州市）解关于x的方程xx-1-kx2-1=xx+1不会产生增根，则k的值（）.
A.是2B.只能是1
C.不为2或-2的实数D.无法确定
分析本题从正面入手求解比较困难，但从逆向思维入手却比较简便.本题不会产生增根的反面是会产生增根，当方程有增根时，最简公分母应为零.
解原方程去分母整理得x（x+1）-k=x（x-1）.所以k=2x.若方程产生增根，则公分母x2-1=0.所以x=±1.故k=±2.所以当k≠2或k≠-2时，原方程不会产生增根.因而应选C.
注方程无增根，说明对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，由此，可以确定字母系数值或取值范围.
2求增根
例5（宜春市）若方程6（x+1）（x-1）-mx-1=1有增根，则它的增根是（）.
A.0B.1C.-1D.1和-1
分析这是一道错误率非常高的选择题，很多同学看完题目后想都不想就选D答案，理由是“增根”必使原方程中的最简公分母为0，而容易忽视“增根”还有另一个特征：是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根.
解方程两边同乘（x+1）（x-1），得6-m（x+1）=（x+1）（x-1）.整理得x2+mx+m-7=0.因为方程有增根，必有（x+1）（x-1）=0，解得x=1或x=-1.当x=1时，方程x2+mx+m-7=0，有解m=3；当x=-1时，方程x2+mx+m-7=0无解，所以x=1是原方程增根，x=-1不是原方程增根.故正确答案应选B.
注判别或寻找分式方程的“增根”，不能简单地认为就是使原方程中的最简公分母为0的未知数的值.使原方程中的最简公分母为0的未知数的值只是增根的必要条件，而不是充分条件.
3求参数的取值范围
例6（成都市）已知解方程4x4-x2+1=k-k2x-2+1x+2时不会产生增根，求实数k的取值范围.
分析本题可仿例3，从逆向思维入手去求解.
解原方程去分母整理得（x+2）（k-k2）=x2-5x-2①.若方程产生增根，则（x+2）（x-2）=0（最简公分母=0）.所以x1=-2，x2=2.当x1=-2时，方程①变为0·（k-k2）=12，k无实数解.当x2=2时，方程①变为4（k-k2）=-8，所以k1=-1，k2=2.所以当k≠-1且k≠2时，原方程不会产生增根.
4求方程的根及参数的值
例7（贵阳市）如果关于x的方程xx-2+x-2x+2x+ax（x-2）=0只有一个实根，求a的值及方程的根.
分析本题需要将分式方程通过去分母化为整式方程求解，但分类讨论时要注意增根的情况.
解原方程可化为：2x2-2x+4+a=0①.（1）若方程①有等根，则Δ=（-2）2-4×2×（4+a）=0，解得a=-3.5，此时原方程的解为x=0.5；（2）若方程①有不等二实根，则这两根中有一个根是原方程的增根，这时原方程才只有一个实根，而原方程的增根是x=0或x=2.当x=0时，代入方程①，得a=-4，此时原方程的解为x=1；当x=2时，代入方程①，得a=-8，此时原方程的解为x=-1.综上所述：当a=-3.5时，原方程的根是x=0.5；当a=-4时，原方程的根为x=1；当a=-8时，原方程的根是x=-1.
综上所述可知，解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程的过程中，无形中去掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根.因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤，不可否认，增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题.
另外有两点体会，供师生参考：
1.已知中明确指出方程有增根，求方程中的待定常数的值及已知方程的解.该类问题的一般解法是：把所给的方程化成整式方程，再把增根代入化简后的整式方程，即可求出待定常数的值，然后将求出的待定常数的值代入化简后的整式（或已知）方程，就可以求出已知方程的根.
2.已知中没有明确给出增根的条件，但题目中隐含有增根的条件，解题时又必须应用增根这一条件.这类问题的一般解法是：首先应明确增根是什么，然后根据题目的要求作出解答.
总而言之，注意课本中的分式方程增根在中考中的应用，对于培养学生的思维水平，开阔学生的视野，巩固基础知识，提高学生的解题水平，对于帮助学生理解课本内容、启迪思维，提高探索精神和创新意识，将会起到积极的作用.
