一道动态型压轴题的命题过程及其思考
所谓动态型试题，是以几何图形或几何图形中的一个或几个元素为研究对象，通过一定的运动方式，探索图形中某些元素的位置关系和数量关系，达到考查学生运用知识解决问题能力为目的的一类试题.由于这类试题考查功能全面，且命题者容易上手，近年来逐渐成为中考命题的焦点.笔者也曾多次尝试命制动态型压轴题，现和大家分享一道动态型压轴题的命题过程及后续思考.
1题目及解答
如图1，分别以矩形ABCD的一组对边AD、BC为一边在矩形ABCD外作菱形ADEF和菱形BCGH，∠FAD=∠HBC=α（0<α≤90°），点O是矩形ABCD的边AB的中点，连结OE、OG、EG.
（1）小明在探究中发现：如图2，当α=90°时，有以下两个结论成立：①OE=OG；②AB∥EG.于是，小明猜想：“当α≠90°时，以上两个结论仍然成立.”你同意他的猜想吗？请你分别作出判断，并说明理由.
（2）如图3，点O、D、E在同一条直线上，tanα=34，求CDEG的值.
（3）若矩形ABCD的边长AB=4，AD=5，当△OEG的中位线长正好等于线段AD长时，请你直接写出sinα的值.
解答（1）以上两个结论仍然成立.①OE=OG的证明方法：2命题过程
2.1图形的产生过程
作为本次初三统测的压轴题，在知识层面上希望能关注初三数学核心知识的考查，在能力层面上希望能让学生经历问题的初步理解、深入探究、解决与应用的过程，并且在解决问题的过程中体验从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法.
选择怎样的载体才能达到以上的立意？首先确定考查的知识内容，哪些是初中数学的核心知识？三角形、四边形的性质及其判定、三角形的全等以及相似、函数的性质都是初中数学的核心知识.纵观各地的中考数学压轴题和本区模拟考试题，大部分是以二次函数为背景的压轴题，本次考试希望能有所创新，于是先否定以二次函数作为基本背景进行命题，自然地想到了三角形、四边形等几何图形为基本背景进行命题，而四边形问题可以转化为三角形来解决，考查了四边形也就基本达到考查三角形的目的，因此四边形是比较好的考查载体.搜索全国各地的中考试题，可以发现，常见的图形动态问题特征为：以一个图形上点（单点、双点、多点）的运动（平移、旋转、轴对称）引起的动态问题，于是再一次否定以单一图形进行图形变换来编制试题，脑子中出现了多图组合的设想.那么，怎样的图形可以组合在一起呢？于是想到了矩形和菱形，当矩形和菱形有一条边长相等的时候，可以组合在一起，便按以下步骤在几何画板中构造了下如图13：（1）画线段AB；（2）过点A画线段AB的垂线，在垂线上取点D，连结AD；（3）分别过点D、B画AD、AB的垂线，两垂线相交于点C，连结BC、DC；（4）以点D为圆心，线段AD长为半径画圆，在圆上取点E，连结DE；（5）分别过点A、E画DE、AD的平行线，相交于点F，连结AF、EF；（6）以点C为圆心，DE长为半径画圆，以点B为圆心，AE长为半径画圆，两圆相交于点G；（7）分别过点B、G画CG、BC的平行线，相交于点H，连结BH、GH.以上构图中，也可以用几何画板的便捷工具作矩形和菱形，但这样作图中的步骤6、7保证了两个菱形全等，使得菱形BCGH随着菱形ADEF的变化而变化.此时，一个具有简洁美、对称美的图形就出现了.当我们在几何画板中拖动点B、D时，可以改变矩形ABCD的边长，拖动点E时，四边形ADEF的形状会发生改变，四边形BCGH的形状也随着改变，但始终保持和四边形ADEF全等，但图13太简单提不出一个合适的综合性问题.
怎么办呢？所以想到再增加一些线段，由于图13本身是一个轴对称图形，于是继续构造轴对称图形，取线段AB的中点O，连结OE、OG得到图14，出现了一些三角形.
2.2图形的研究过程
在图14中拖动点B、D可以改变矩形ABCD的边长大小，拖动点E可同时改变菱形ADEF、BCGH的内角大小，从而改变菱形的形状.在改变菱形内角的过程中，发现线段EG始终与AB平行，且它的长度随菱形内角的改变而改变.这样就找到了动态问题中的一对变量：线段EG的长度随着菱形的一个内角（不妨设∠FAD=α）的变化而变化，那么线段EG的长度关于α有怎样的函数关系？设长方形ABCD的边长分别为AB=a，AD=b，则EG=a+2bsinα，如果给定a，b的值，则EG的长是关于角度α的函数.也就是说，给定α，便可求得线段EG的长.由于初中阶段只研究锐角三角函数，何况当α为钝角时会出现如图15这样的复杂图形，这样就有了题目中关于α的角度限制.接下来，先来研究动态图形的特殊位置：如图16，当α=90°时，即四边形ADEF和四边形BCGH都是菱形时，显然有OE=OG，AB∥EG，继续拖动点E，也可以得到另一种特殊位置（如图17）：点O、D、E在同一条直线上，图17考查的知识点很丰富：DC为什么和EG平行？如何根据CD的长求得EG的长？等等.
那么更深入地，更一般地，我们还能提出什么问题呢？继续观察图14，还发现线段OE、OG与AD、BC的交点很可能正好是△OEG的中位线，于是便有了设问：“若△OEG的中位线恰好等于线段CD的长，求sinα的值”，显然，已知CD的长便可知EG的长，很容易求出sina的值.但是，当笔者仔细考虑自己的设问时，发现△OEG的中位线未必是平行于EG的这一条，△EOG的中位线应该有3条，其中有2条（平行于OE的中位线和平行于OG的中位线）是相等的，那么如果△OEG中平行于OE的中位线长等于CD，能求出sina的值吗？于是，列出了如下的方程组：（其中a，b分别表示矩形ABCD的边长，x，y分别表示图12中EM和DM的长）
若该方程组有解，则sina的值存在.我们知道上述方程组存在实数解，在平面直角坐标系中就是以原点（0，0）为圆心，b为半径的圆和以（-12a，-b）为圆心，以（b+bcosα）2+（12a+bsinα）2为半径的圆有公共点，但是由于未知量太多，这两个圆的位置关系难以确定.现在的问题是：如何给出一个合适的数值，使得角度α的值存在？不妨先取定角α的三角函数值，再给a，b赋值，通过多次的尝试，终于发现当AD=4，AB=6时，既可以保证OD是一个整数，也可使得方程组有解，这样倒过来“凑出数据”，问题便迎刃而解.至此，关于本图的研究可以暂告一段落.
2.3试题的组织和设问
以上是命题者对图形的研究过程，那么哪些可以用来考查学生，又该以怎样的形式来表述试题，又如何考查学生的数学学习水平？本题作为模拟考试的压轴题，定位于考查学生综合运用知识解决问题的能力.在以上探究过程中，笔者发现在所有问题的解决中，都需要说明AB∥EG，这个结论有一定的难度，是先进行一些铺垫让学生自行进行证明？还是提出问题，让学生在解决问题的过程中先证明再运用？很显然，如果不提出让学生证明AB∥EG，考试时有许多学生很可能会默认两线平行，而直接运用两线平行去解决问题，造成不必要的失分，达不到考查目的.因此，证明平行成为必考的一步.但是把“证明平行”作为试题的“入口”对学生又比较困难，怎样在考场中进行适当的铺垫启发学生思考？引导学生“表示两个内错角角的度数”作为铺垫？，显然思维含量比较低，学生成为一种任务的操作者，而不是思考者，更何况限制了证明的方式.于是想到了利用特殊位置探究规律并向学生展示“从特殊到一般”研究问题的方法，便有了该题如上的设问.本题第1问以特殊位置存在的数量关系和位置关系引导学生探究一般位置时线段的数量和位置关系，起点低，证明方法多样，同时又为后续的问题作了思维上的铺垫.第2问让学生运用探究到的结论来计算、求解问题，综合考查了初中数学相似三角形、等腰三角形等初中数学核心知识.第3问根据三角形中位线的位置不同设置问题，考查了三角形中位线的概念，分类讨论思想，运用方程等工具解决问题的能力.全题以“从特殊到一般探究结论→应用结论解决问题”的方式展开，让学生经历数学问题研究和解决的过程，考查了学生的知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等诸多方面，有良好的评价导向功能.
3命题思考
本题以矩形、菱形为基本图形构造动态探究题，试题呈现方式新颖，内涵丰富.巧妙地将矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形等初中数学的核心内容融合起来，同时设计的探究内容遵循“由特殊到一般”的规律，是一道具有较好的区分度和效度的动态型试题，得到了一线教师的广泛好评.回顾本题的命题过程，从最初的立意到后续的试题成型的过程，有许多感悟值得笔者在今后的命题中鞭策自己，整理分享如下：
3.1命制动态型试题要体现函数思想
笔者认为，动态型试题关注了在某种条件下几何图形或几何图形中的某些元素的数量关系和位置关系的互相转化，因此，命制动态型试题要体现函数思想，在研究图形动态变化过程中寻找合适的变量，从而找到问题探究的主线，让学生像平时学习一样来探究问题，同时促进教师在平时的教学中引导学生思考、探究，发挥试题良好的导向作用.如本题中就是找到了“线段EG的长度和位置随着菱形内角的变化而变化”这样一条探究的主线.因此，在试题命制的过程中，我们可以通过“控制变量”来寻求规律，如本题中先保证了矩形和菱形的边长不变，让菱形的内角发生改变.几何图形中，常见的变量是图形的边长、内角，或以数量关系来刻画位置关系等.
3.2组合构图能让动态型试题焕发新意
有了试题的立意之后，选择合适的载体尤为重要，它是命题者实现立意的保障.纵观近几年全国各地的中考试题，也出现了不少让人眼前一亮的构图形式，但仍有许多试题存在“异地搬迁”现象，究其原因主要是原创试题着实困难.笔者近年来尝试“多图组合”原创试题，就是将有关联的图形进行组合构造出新图形，通过研究新图形的性质规律进行设问.如本题中，将矩形和菱形进行组合构造出新图形，设置新图形的变量，从而命制一道新颖的原创试题，公平公正地考查了学生的学习水平，遏制题海战术.
3.3要关注学生数学学习过程的考查
统测的目的之一是检测学生的学习水平，调研教师在教学方面存在的问题，但更应关注学生数学学习过程的考查.学生在解本题时，要经历设问从特殊情形的直观感知，观察发现、归纳概括等合情推理积累经验，捕获可能的解题思路，再经历演绎推理证明得到结论，最后迁移探索到的结论解决后续问题，这个问题解决的过程充分体现了数学学习的过程与方法，真正达到通过考试来检测学习能力和过程的目的.
作者简介潘小梅，女，中学高级教师，浙江省优秀教研员，主要研究数学课堂教学和考试命题，在各级各类杂志发表文章50余篇.
1题目及解答
如图1，分别以矩形ABCD的一组对边AD、BC为一边在矩形ABCD外作菱形ADEF和菱形BCGH，∠FAD=∠HBC=α（0<α≤90°），点O是矩形ABCD的边AB的中点，连结OE、OG、EG.
（1）小明在探究中发现：如图2，当α=90°时，有以下两个结论成立：①OE=OG；②AB∥EG.于是，小明猜想：“当α≠90°时，以上两个结论仍然成立.”你同意他的猜想吗？请你分别作出判断，并说明理由.
（2）如图3，点O、D、E在同一条直线上，tanα=34，求CDEG的值.
（3）若矩形ABCD的边长AB=4，AD=5，当△OEG的中位线长正好等于线段AD长时，请你直接写出sinα的值.
解答（1）以上两个结论仍然成立.①OE=OG的证明方法：2命题过程
2.1图形的产生过程
作为本次初三统测的压轴题，在知识层面上希望能关注初三数学核心知识的考查，在能力层面上希望能让学生经历问题的初步理解、深入探究、解决与应用的过程，并且在解决问题的过程中体验从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法.
选择怎样的载体才能达到以上的立意？首先确定考查的知识内容，哪些是初中数学的核心知识？三角形、四边形的性质及其判定、三角形的全等以及相似、函数的性质都是初中数学的核心知识.纵观各地的中考数学压轴题和本区模拟考试题，大部分是以二次函数为背景的压轴题，本次考试希望能有所创新，于是先否定以二次函数作为基本背景进行命题，自然地想到了三角形、四边形等几何图形为基本背景进行命题，而四边形问题可以转化为三角形来解决，考查了四边形也就基本达到考查三角形的目的，因此四边形是比较好的考查载体.搜索全国各地的中考试题，可以发现，常见的图形动态问题特征为：以一个图形上点（单点、双点、多点）的运动（平移、旋转、轴对称）引起的动态问题，于是再一次否定以单一图形进行图形变换来编制试题，脑子中出现了多图组合的设想.那么，怎样的图形可以组合在一起呢？于是想到了矩形和菱形，当矩形和菱形有一条边长相等的时候，可以组合在一起，便按以下步骤在几何画板中构造了下如图13：（1）画线段AB；（2）过点A画线段AB的垂线，在垂线上取点D，连结AD；（3）分别过点D、B画AD、AB的垂线，两垂线相交于点C，连结BC、DC；（4）以点D为圆心，线段AD长为半径画圆，在圆上取点E，连结DE；（5）分别过点A、E画DE、AD的平行线，相交于点F，连结AF、EF；（6）以点C为圆心，DE长为半径画圆，以点B为圆心，AE长为半径画圆，两圆相交于点G；（7）分别过点B、G画CG、BC的平行线，相交于点H，连结BH、GH.以上构图中，也可以用几何画板的便捷工具作矩形和菱形，但这样作图中的步骤6、7保证了两个菱形全等，使得菱形BCGH随着菱形ADEF的变化而变化.此时，一个具有简洁美、对称美的图形就出现了.当我们在几何画板中拖动点B、D时，可以改变矩形ABCD的边长，拖动点E时，四边形ADEF的形状会发生改变，四边形BCGH的形状也随着改变，但始终保持和四边形ADEF全等，但图13太简单提不出一个合适的综合性问题.
怎么办呢？所以想到再增加一些线段，由于图13本身是一个轴对称图形，于是继续构造轴对称图形，取线段AB的中点O，连结OE、OG得到图14，出现了一些三角形.
2.2图形的研究过程
在图14中拖动点B、D可以改变矩形ABCD的边长大小，拖动点E可同时改变菱形ADEF、BCGH的内角大小，从而改变菱形的形状.在改变菱形内角的过程中，发现线段EG始终与AB平行，且它的长度随菱形内角的改变而改变.这样就找到了动态问题中的一对变量：线段EG的长度随着菱形的一个内角（不妨设∠FAD=α）的变化而变化，那么线段EG的长度关于α有怎样的函数关系？设长方形ABCD的边长分别为AB=a，AD=b，则EG=a+2bsinα，如果给定a，b的值，则EG的长是关于角度α的函数.也就是说，给定α，便可求得线段EG的长.由于初中阶段只研究锐角三角函数，何况当α为钝角时会出现如图15这样的复杂图形，这样就有了题目中关于α的角度限制.接下来，先来研究动态图形的特殊位置：如图16，当α=90°时，即四边形ADEF和四边形BCGH都是菱形时，显然有OE=OG，AB∥EG，继续拖动点E，也可以得到另一种特殊位置（如图17）：点O、D、E在同一条直线上，图17考查的知识点很丰富：DC为什么和EG平行？如何根据CD的长求得EG的长？等等.
那么更深入地，更一般地，我们还能提出什么问题呢？继续观察图14，还发现线段OE、OG与AD、BC的交点很可能正好是△OEG的中位线，于是便有了设问：“若△OEG的中位线恰好等于线段CD的长，求sinα的值”，显然，已知CD的长便可知EG的长，很容易求出sina的值.但是，当笔者仔细考虑自己的设问时，发现△OEG的中位线未必是平行于EG的这一条，△EOG的中位线应该有3条，其中有2条（平行于OE的中位线和平行于OG的中位线）是相等的，那么如果△OEG中平行于OE的中位线长等于CD，能求出sina的值吗？于是，列出了如下的方程组：（其中a，b分别表示矩形ABCD的边长，x，y分别表示图12中EM和DM的长）
若该方程组有解，则sina的值存在.我们知道上述方程组存在实数解，在平面直角坐标系中就是以原点（0，0）为圆心，b为半径的圆和以（-12a，-b）为圆心，以（b+bcosα）2+（12a+bsinα）2为半径的圆有公共点，但是由于未知量太多，这两个圆的位置关系难以确定.现在的问题是：如何给出一个合适的数值，使得角度α的值存在？不妨先取定角α的三角函数值，再给a，b赋值，通过多次的尝试，终于发现当AD=4，AB=6时，既可以保证OD是一个整数，也可使得方程组有解，这样倒过来“凑出数据”，问题便迎刃而解.至此，关于本图的研究可以暂告一段落.
2.3试题的组织和设问
以上是命题者对图形的研究过程，那么哪些可以用来考查学生，又该以怎样的形式来表述试题，又如何考查学生的数学学习水平？本题作为模拟考试的压轴题，定位于考查学生综合运用知识解决问题的能力.在以上探究过程中，笔者发现在所有问题的解决中，都需要说明AB∥EG，这个结论有一定的难度，是先进行一些铺垫让学生自行进行证明？还是提出问题，让学生在解决问题的过程中先证明再运用？很显然，如果不提出让学生证明AB∥EG，考试时有许多学生很可能会默认两线平行，而直接运用两线平行去解决问题，造成不必要的失分，达不到考查目的.因此，证明平行成为必考的一步.但是把“证明平行”作为试题的“入口”对学生又比较困难，怎样在考场中进行适当的铺垫启发学生思考？引导学生“表示两个内错角角的度数”作为铺垫？，显然思维含量比较低，学生成为一种任务的操作者，而不是思考者，更何况限制了证明的方式.于是想到了利用特殊位置探究规律并向学生展示“从特殊到一般”研究问题的方法，便有了该题如上的设问.本题第1问以特殊位置存在的数量关系和位置关系引导学生探究一般位置时线段的数量和位置关系，起点低，证明方法多样，同时又为后续的问题作了思维上的铺垫.第2问让学生运用探究到的结论来计算、求解问题，综合考查了初中数学相似三角形、等腰三角形等初中数学核心知识.第3问根据三角形中位线的位置不同设置问题，考查了三角形中位线的概念，分类讨论思想，运用方程等工具解决问题的能力.全题以“从特殊到一般探究结论→应用结论解决问题”的方式展开，让学生经历数学问题研究和解决的过程，考查了学生的知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等诸多方面，有良好的评价导向功能.
3命题思考
本题以矩形、菱形为基本图形构造动态探究题，试题呈现方式新颖，内涵丰富.巧妙地将矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形等初中数学的核心内容融合起来，同时设计的探究内容遵循“由特殊到一般”的规律，是一道具有较好的区分度和效度的动态型试题，得到了一线教师的广泛好评.回顾本题的命题过程，从最初的立意到后续的试题成型的过程，有许多感悟值得笔者在今后的命题中鞭策自己，整理分享如下：
3.1命制动态型试题要体现函数思想
笔者认为，动态型试题关注了在某种条件下几何图形或几何图形中的某些元素的数量关系和位置关系的互相转化，因此，命制动态型试题要体现函数思想，在研究图形动态变化过程中寻找合适的变量，从而找到问题探究的主线，让学生像平时学习一样来探究问题，同时促进教师在平时的教学中引导学生思考、探究，发挥试题良好的导向作用.如本题中就是找到了“线段EG的长度和位置随着菱形内角的变化而变化”这样一条探究的主线.因此，在试题命制的过程中，我们可以通过“控制变量”来寻求规律，如本题中先保证了矩形和菱形的边长不变，让菱形的内角发生改变.几何图形中，常见的变量是图形的边长、内角，或以数量关系来刻画位置关系等.
3.2组合构图能让动态型试题焕发新意
有了试题的立意之后，选择合适的载体尤为重要，它是命题者实现立意的保障.纵观近几年全国各地的中考试题，也出现了不少让人眼前一亮的构图形式，但仍有许多试题存在“异地搬迁”现象，究其原因主要是原创试题着实困难.笔者近年来尝试“多图组合”原创试题，就是将有关联的图形进行组合构造出新图形，通过研究新图形的性质规律进行设问.如本题中，将矩形和菱形进行组合构造出新图形，设置新图形的变量，从而命制一道新颖的原创试题，公平公正地考查了学生的学习水平，遏制题海战术.
3.3要关注学生数学学习过程的考查
统测的目的之一是检测学生的学习水平，调研教师在教学方面存在的问题，但更应关注学生数学学习过程的考查.学生在解本题时，要经历设问从特殊情形的直观感知，观察发现、归纳概括等合情推理积累经验，捕获可能的解题思路，再经历演绎推理证明得到结论，最后迁移探索到的结论解决后续问题，这个问题解决的过程充分体现了数学学习的过程与方法，真正达到通过考试来检测学习能力和过程的目的.
作者简介潘小梅，女，中学高级教师，浙江省优秀教研员，主要研究数学课堂教学和考试命题，在各级各类杂志发表文章50余篇.
