浅议平几教学中分析法、综合法的具体化和程序化
汤文兵
分析法和综合法是中学数学中常用的解题分析方法，是多少年教学实践证明行之有效的解题术.故在初中平几教学中，“分析法”一直以它独有的魅力折服着教师，倾倒着学生.老师碰到几何必讲“分析”，学生听到“分析”是既“喜爱”又“迷惑”.“喜爱”的是“分析法”确是好东西，应用得当，破关斩将、锐不可挡.“迷惑”的是，有些同学面对“分析法”这柄古老的利剑，看着老师用起来得心应手，自己用起来却往往是手忙脚乱，简单些的还好，稍为复杂一点的就不知如何下手，但别人略作提示，却又马到功成，对此可真谓“用之无策，弃之不甘”，用着乐着，用着烦着，痛苦并快乐着.笔者执教过多年初中，个中滋味体会尤深.那么，为什么经过两年多的学习，有的学生还是没有学会问题的分析呢？是学生学得不认真吗？是教师强调不够吗？显然这不是主要原因.笔者认为，主要原因是教师没有教给学生一个明确可行的分析途径，简单有序的思维方法.
试想：对初中教材或教参中的大部分平几习题，绝大多数老师是做了多遍，讲了多回，也就是说对“分析法”这套剑法，在讲解例题前老师不知操练了多少遍，对之是熟之又熟.可对学生来讲，大部分是第一次遇见，尽管老师讲得头头是道，他们听着却不一定津津有味.有的老师在分析问题时没有从学生的角度去想、去理解，而是根据自己对习题的认识去编织解题脉络，拔高了学生的思维，造成学生认知上的脱节，对平几学习失去信心.
平几中的分析，就是仔细审阅已知条件及结论，寻求条件与结论间的联系，联想学过的概念、公理、性质、判定方法等，找到从条件出发推得结论的途径的一个思维过程.
具体分析一个问题，各人有各人的思维方法.但不外从两个方面去考虑：一是从已知出发，看看由每个条件能推出哪些结果（必需有充足的理由），再看把所得结果作为条件又能推出什么，……，如此下去，逐步向结论逼近.这一思维过程称为“从条件联想”，可简记为“由已知，想可知，推末知”.二是由结论入手，考虑结论成立所需的条件，逐渐与已知或所学过的概念、公理、性质、判定方法靠拢.这一思维过程称为“由结论分析”，可简记为“由结论，找需知，达已知”.
“从条件联想”和“由结论分析”，便是分析的途径.
“由已知，想可知，推末知”；“由结论，找需知，达已知”.便是分析的具体方法.
笔者在后来的教学中，严格按以上的分析途径和方法训练学生，使学生分析问题的途径从无意变为有意，方法从无序变为有序，收到了较好的教学效果.若从初一开始便如此有意识地训练学生，效果将更为明显.
下面举例说明在解题中，如何按上述方法进行思维分析.本着从基础抓起，所举例题均为初一内容.
1.2 数学地位
第一比例式在教材中处于显赫地位.“主演”了相似三角形的定义、判定和性质总过程，“续演”了相似多边形的周长、面积以及对应线段之比与相似比系数k的关系，为学位似变换做了铺垫；第二比例式在教材中很少露面，只是在建立“锐角三角函数”概念时，有“客串”角色：相似直角三角形“相等锐角的对边与斜边”比是定值，阐明建立正弦函数概念合理性.高中阶段继深化为：AB︰BC︰CA=sinC︰sinA︰sinB（正弦定理）.因而，从初中数学知识体系建构过程看，前者的地位高于后者.加之从初中所涉与相似有关问题，大多限于两个相似三角形之间展开，这也是第二比例式被淡化受冷落的缘由.
1.3 空间视角
第一比例式注重的是两个相似三角形边的对应关系和度量关系，数学视角易固着于静态的对应型结构，但能演绎与相似比系数k有关的诸多几何意义.不足在于：“视野”狭隘，盯住的仅是两个三角形，也易忽视自身三角形条件特性.遇复杂图形时，数学视角灵活性较弱.只是发展到位似变换时，才显出平面空间具有运动、动态生成的变化；第二比例式显示具相似关系的三角形，因它们的三边比固定，看成同类，特性化后优点在于：能利用三角形自身条件参与到具体问题分析中.尤其遇复杂图形时，若有很多同类相似三角形存在，则数学视角可灵活将特性“携带”其中，利于发现隐含其中的数量关系.弱点是不易觉识与相似比系数k有关几何量，但采用变式形式：△ABC∽△A′B′C′若AB=λBC，则A′B′=λB′C′，为三角形自身边的互换提供方便，也有它的独到之处.
可见两种比例式虽都立足于相似，但不同的数式形式对平面空间数学化的立意有别，在解具体问题时，各有特色.
1.4 价值提升
两种比例式对发展学生空间数学意识，培养数学观点与视角多元化，以及优化数形结合能力很有教益.在教学中，应给予以下方面拓展与发挥：
（1）活用相似比系数k几何意义，感悟它能使得解决问题要建立数量的关系变得紧凑、简洁；（2）感悟巧用位似变换，能优化图形结构，发现解题关键；（3）补缺第二比例式教学，展示其独到数学视角与解题功用；（4）展示两种比例式用法各有其妙，体验“数”随形“意”、“形”优“数”精的数形结合思想，能引领我们解题求新创优，观点活才能方法优.2 举例：“教”的点拨与“学”的感悟
问题3 如图3所示，以正方形的顶点A为圆心，边长为半径作弧BD，又以CD边为直径作半圆，两弧交正方形内点I，BI交CD于点P，求证︰PD=1︰2.
教师：两个圆弧操控点I位置，决定︰PD比值，盯着两个圆弧，我们发现不了什么.能否发现有意义的角？
生1：连接两圆弧的圆心AO和两弧公共弦ID.应有AO⊥DI；再连接IC，因DC是⊙O的直径，∠DIC=90°.
教师：直角△AOD有什么特性？
生1：AD=2DO，两直角边是1︰2的关系.
教师：作IS⊥DC，S为垂足.能发现与△AOD相似的三角形吗？
生2：由∠DIC=90°和AO⊥DI，可推△AOD∽△DCI∽△ICS，利用它们两直角边是1︰2的特性，可明确点S位置.
教师：为便于计算分析，不妨设正方形边长为5k……
生2：可得DS=2IS=4SC，得到SC=k，IS=2k，DS=2IS=4k.
教师：若点B看作位似中心，能否绕开点P位置的未知性？去探究……
生3：过点I作TQ⊥BC，TQ与BD交于点T，点Q为垂足.点B看作位似中心，则有CP︰PD=IQ︰TI，注意到TQ=BQ=3k，TI=3k-k=2k，很快得出CP︰PD=k︰2k=1︰2.
感悟 遇复杂图形，通过跟“线”盯“角”发现同类相似三角形.跟“线”：跟踪平行线、垂线和角平分线；盯“角”：发现直角、余角、补角、等角，以及30°、45°、60°特殊角.只要在“相似串”中，明确其中一个三角形边比特性，第二比例式可能将这一特性“传感”到解题的关键部位，问渠哪得清如许，自有源头活水来.
2.4 看得巧——答案脱口出
问题4 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2CA=6.在斜边AB上取一点N，
向两直角边作垂线段NP、NM，使得四边形PCMN为正方形.看图心算以下问题：
（1）求正方形PCMN边长；
（2）若将正方形PCMN绕顶点C作逆时针旋转成正方形P′CM′N′，当M′M=1时，求线段N′N长.
分析法和综合法是中学数学中常用的解题分析方法，是多少年教学实践证明行之有效的解题术.故在初中平几教学中，“分析法”一直以它独有的魅力折服着教师，倾倒着学生.老师碰到几何必讲“分析”，学生听到“分析”是既“喜爱”又“迷惑”.“喜爱”的是“分析法”确是好东西，应用得当，破关斩将、锐不可挡.“迷惑”的是，有些同学面对“分析法”这柄古老的利剑，看着老师用起来得心应手，自己用起来却往往是手忙脚乱，简单些的还好，稍为复杂一点的就不知如何下手，但别人略作提示，却又马到功成，对此可真谓“用之无策，弃之不甘”，用着乐着，用着烦着，痛苦并快乐着.笔者执教过多年初中，个中滋味体会尤深.那么，为什么经过两年多的学习，有的学生还是没有学会问题的分析呢？是学生学得不认真吗？是教师强调不够吗？显然这不是主要原因.笔者认为，主要原因是教师没有教给学生一个明确可行的分析途径，简单有序的思维方法.
试想：对初中教材或教参中的大部分平几习题，绝大多数老师是做了多遍，讲了多回，也就是说对“分析法”这套剑法，在讲解例题前老师不知操练了多少遍，对之是熟之又熟.可对学生来讲，大部分是第一次遇见，尽管老师讲得头头是道，他们听着却不一定津津有味.有的老师在分析问题时没有从学生的角度去想、去理解，而是根据自己对习题的认识去编织解题脉络，拔高了学生的思维，造成学生认知上的脱节，对平几学习失去信心.
平几中的分析，就是仔细审阅已知条件及结论，寻求条件与结论间的联系，联想学过的概念、公理、性质、判定方法等，找到从条件出发推得结论的途径的一个思维过程.
具体分析一个问题，各人有各人的思维方法.但不外从两个方面去考虑：一是从已知出发，看看由每个条件能推出哪些结果（必需有充足的理由），再看把所得结果作为条件又能推出什么，……，如此下去，逐步向结论逼近.这一思维过程称为“从条件联想”，可简记为“由已知，想可知，推末知”.二是由结论入手，考虑结论成立所需的条件，逐渐与已知或所学过的概念、公理、性质、判定方法靠拢.这一思维过程称为“由结论分析”，可简记为“由结论，找需知，达已知”.
“从条件联想”和“由结论分析”，便是分析的途径.
“由已知，想可知，推末知”；“由结论，找需知，达已知”.便是分析的具体方法.
笔者在后来的教学中，严格按以上的分析途径和方法训练学生，使学生分析问题的途径从无意变为有意，方法从无序变为有序，收到了较好的教学效果.若从初一开始便如此有意识地训练学生，效果将更为明显.
下面举例说明在解题中，如何按上述方法进行思维分析.本着从基础抓起，所举例题均为初一内容.
1.2 数学地位
第一比例式在教材中处于显赫地位.“主演”了相似三角形的定义、判定和性质总过程，“续演”了相似多边形的周长、面积以及对应线段之比与相似比系数k的关系，为学位似变换做了铺垫；第二比例式在教材中很少露面，只是在建立“锐角三角函数”概念时，有“客串”角色：相似直角三角形“相等锐角的对边与斜边”比是定值，阐明建立正弦函数概念合理性.高中阶段继深化为：AB︰BC︰CA=sinC︰sinA︰sinB（正弦定理）.因而，从初中数学知识体系建构过程看，前者的地位高于后者.加之从初中所涉与相似有关问题，大多限于两个相似三角形之间展开，这也是第二比例式被淡化受冷落的缘由.
1.3 空间视角
第一比例式注重的是两个相似三角形边的对应关系和度量关系，数学视角易固着于静态的对应型结构，但能演绎与相似比系数k有关的诸多几何意义.不足在于：“视野”狭隘，盯住的仅是两个三角形，也易忽视自身三角形条件特性.遇复杂图形时，数学视角灵活性较弱.只是发展到位似变换时，才显出平面空间具有运动、动态生成的变化；第二比例式显示具相似关系的三角形，因它们的三边比固定，看成同类，特性化后优点在于：能利用三角形自身条件参与到具体问题分析中.尤其遇复杂图形时，若有很多同类相似三角形存在，则数学视角可灵活将特性“携带”其中，利于发现隐含其中的数量关系.弱点是不易觉识与相似比系数k有关几何量，但采用变式形式：△ABC∽△A′B′C′若AB=λBC，则A′B′=λB′C′，为三角形自身边的互换提供方便，也有它的独到之处.
可见两种比例式虽都立足于相似，但不同的数式形式对平面空间数学化的立意有别，在解具体问题时，各有特色.
1.4 价值提升
两种比例式对发展学生空间数学意识，培养数学观点与视角多元化，以及优化数形结合能力很有教益.在教学中，应给予以下方面拓展与发挥：
（1）活用相似比系数k几何意义，感悟它能使得解决问题要建立数量的关系变得紧凑、简洁；（2）感悟巧用位似变换，能优化图形结构，发现解题关键；（3）补缺第二比例式教学，展示其独到数学视角与解题功用；（4）展示两种比例式用法各有其妙，体验“数”随形“意”、“形”优“数”精的数形结合思想，能引领我们解题求新创优，观点活才能方法优.2 举例：“教”的点拨与“学”的感悟
问题3 如图3所示，以正方形的顶点A为圆心，边长为半径作弧BD，又以CD边为直径作半圆，两弧交正方形内点I，BI交CD于点P，求证︰PD=1︰2.
教师：两个圆弧操控点I位置，决定︰PD比值，盯着两个圆弧，我们发现不了什么.能否发现有意义的角？
生1：连接两圆弧的圆心AO和两弧公共弦ID.应有AO⊥DI；再连接IC，因DC是⊙O的直径，∠DIC=90°.
教师：直角△AOD有什么特性？
生1：AD=2DO，两直角边是1︰2的关系.
教师：作IS⊥DC，S为垂足.能发现与△AOD相似的三角形吗？
生2：由∠DIC=90°和AO⊥DI，可推△AOD∽△DCI∽△ICS，利用它们两直角边是1︰2的特性，可明确点S位置.
教师：为便于计算分析，不妨设正方形边长为5k……
生2：可得DS=2IS=4SC，得到SC=k，IS=2k，DS=2IS=4k.
教师：若点B看作位似中心，能否绕开点P位置的未知性？去探究……
生3：过点I作TQ⊥BC，TQ与BD交于点T，点Q为垂足.点B看作位似中心，则有CP︰PD=IQ︰TI，注意到TQ=BQ=3k，TI=3k-k=2k，很快得出CP︰PD=k︰2k=1︰2.
感悟 遇复杂图形，通过跟“线”盯“角”发现同类相似三角形.跟“线”：跟踪平行线、垂线和角平分线；盯“角”：发现直角、余角、补角、等角，以及30°、45°、60°特殊角.只要在“相似串”中，明确其中一个三角形边比特性，第二比例式可能将这一特性“传感”到解题的关键部位，问渠哪得清如许，自有源头活水来.
2.4 看得巧——答案脱口出
问题4 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2CA=6.在斜边AB上取一点N，
向两直角边作垂线段NP、NM，使得四边形PCMN为正方形.看图心算以下问题：
（1）求正方形PCMN边长；
（2）若将正方形PCMN绕顶点C作逆时针旋转成正方形P′CM′N′，当M′M=1时，求线段N′N长.
分析法和综合法是中学数学中常用的解题分析方法，是多少年教学实践证明行之有效的解题术.故在初中平几教学中，“分析法”一直以它独有的魅力折服着教师，倾倒着学生.老师碰到几何必讲“分析”，学生听到“分析”是既“喜爱”又“迷惑”.“喜爱”的是“分析法”确是好东西，应用得当，破关斩将、锐不可挡.“迷惑”的是，有些同学面对“分析法”这柄古老的利剑，看着老师用起来得心应手，自己用起来却往往是手忙脚乱，简单些的还好，稍为复杂一点的就不知如何下手，但别人略作提示，却又马到功成，对此可真谓“用之无策，弃之不甘”，用着乐着，用着烦着，痛苦并快乐着.笔者执教过多年初中，个中滋味体会尤深.那么，为什么经过两年多的学习，有的学生还是没有学会问题的分析呢？是学生学得不认真吗？是教师强调不够吗？显然这不是主要原因.笔者认为，主要原因是教师没有教给学生一个明确可行的分析途径，简单有序的思维方法.
试想：对初中教材或教参中的大部分平几习题，绝大多数老师是做了多遍，讲了多回，也就是说对“分析法”这套剑法，在讲解例题前老师不知操练了多少遍，对之是熟之又熟.可对学生来讲，大部分是第一次遇见，尽管老师讲得头头是道，他们听着却不一定津津有味.有的老师在分析问题时没有从学生的角度去想、去理解，而是根据自己对习题的认识去编织解题脉络，拔高了学生的思维，造成学生认知上的脱节，对平几学习失去信心.
平几中的分析，就是仔细审阅已知条件及结论，寻求条件与结论间的联系，联想学过的概念、公理、性质、判定方法等，找到从条件出发推得结论的途径的一个思维过程.
具体分析一个问题，各人有各人的思维方法.但不外从两个方面去考虑：一是从已知出发，看看由每个条件能推出哪些结果（必需有充足的理由），再看把所得结果作为条件又能推出什么，……，如此下去，逐步向结论逼近.这一思维过程称为“从条件联想”，可简记为“由已知，想可知，推末知”.二是由结论入手，考虑结论成立所需的条件，逐渐与已知或所学过的概念、公理、性质、判定方法靠拢.这一思维过程称为“由结论分析”，可简记为“由结论，找需知，达已知”.
“从条件联想”和“由结论分析”，便是分析的途径.
“由已知，想可知，推末知”；“由结论，找需知，达已知”.便是分析的具体方法.
笔者在后来的教学中，严格按以上的分析途径和方法训练学生，使学生分析问题的途径从无意变为有意，方法从无序变为有序，收到了较好的教学效果.若从初一开始便如此有意识地训练学生，效果将更为明显.
下面举例说明在解题中，如何按上述方法进行思维分析.本着从基础抓起，所举例题均为初一内容.
1.2 数学地位
第一比例式在教材中处于显赫地位.“主演”了相似三角形的定义、判定和性质总过程，“续演”了相似多边形的周长、面积以及对应线段之比与相似比系数k的关系，为学位似变换做了铺垫；第二比例式在教材中很少露面，只是在建立“锐角三角函数”概念时，有“客串”角色：相似直角三角形“相等锐角的对边与斜边”比是定值，阐明建立正弦函数概念合理性.高中阶段继深化为：AB︰BC︰CA=sinC︰sinA︰sinB（正弦定理）.因而，从初中数学知识体系建构过程看，前者的地位高于后者.加之从初中所涉与相似有关问题，大多限于两个相似三角形之间展开，这也是第二比例式被淡化受冷落的缘由.
1.3 空间视角
第一比例式注重的是两个相似三角形边的对应关系和度量关系，数学视角易固着于静态的对应型结构，但能演绎与相似比系数k有关的诸多几何意义.不足在于：“视野”狭隘，盯住的仅是两个三角形，也易忽视自身三角形条件特性.遇复杂图形时，数学视角灵活性较弱.只是发展到位似变换时，才显出平面空间具有运动、动态生成的变化；第二比例式显示具相似关系的三角形，因它们的三边比固定，看成同类，特性化后优点在于：能利用三角形自身条件参与到具体问题分析中.尤其遇复杂图形时，若有很多同类相似三角形存在，则数学视角可灵活将特性“携带”其中，利于发现隐含其中的数量关系.弱点是不易觉识与相似比系数k有关几何量，但采用变式形式：△ABC∽△A′B′C′若AB=λBC，则A′B′=λB′C′，为三角形自身边的互换提供方便，也有它的独到之处.
可见两种比例式虽都立足于相似，但不同的数式形式对平面空间数学化的立意有别，在解具体问题时，各有特色.
1.4 价值提升
两种比例式对发展学生空间数学意识，培养数学观点与视角多元化，以及优化数形结合能力很有教益.在教学中，应给予以下方面拓展与发挥：
（1）活用相似比系数k几何意义，感悟它能使得解决问题要建立数量的关系变得紧凑、简洁；（2）感悟巧用位似变换，能优化图形结构，发现解题关键；（3）补缺第二比例式教学，展示其独到数学视角与解题功用；（4）展示两种比例式用法各有其妙，体验“数”随形“意”、“形”优“数”精的数形结合思想，能引领我们解题求新创优，观点活才能方法优.2 举例：“教”的点拨与“学”的感悟
问题3 如图3所示，以正方形的顶点A为圆心，边长为半径作弧BD，又以CD边为直径作半圆，两弧交正方形内点I，BI交CD于点P，求证︰PD=1︰2.
教师：两个圆弧操控点I位置，决定︰PD比值，盯着两个圆弧，我们发现不了什么.能否发现有意义的角？
生1：连接两圆弧的圆心AO和两弧公共弦ID.应有AO⊥DI；再连接IC，因DC是⊙O的直径，∠DIC=90°.
教师：直角△AOD有什么特性？
生1：AD=2DO，两直角边是1︰2的关系.
教师：作IS⊥DC，S为垂足.能发现与△AOD相似的三角形吗？
生2：由∠DIC=90°和AO⊥DI，可推△AOD∽△DCI∽△ICS，利用它们两直角边是1︰2的特性，可明确点S位置.
教师：为便于计算分析，不妨设正方形边长为5k……
生2：可得DS=2IS=4SC，得到SC=k，IS=2k，DS=2IS=4k.
教师：若点B看作位似中心，能否绕开点P位置的未知性？去探究……
生3：过点I作TQ⊥BC，TQ与BD交于点T，点Q为垂足.点B看作位似中心，则有CP︰PD=IQ︰TI，注意到TQ=BQ=3k，TI=3k-k=2k，很快得出CP︰PD=k︰2k=1︰2.
感悟 遇复杂图形，通过跟“线”盯“角”发现同类相似三角形.跟“线”：跟踪平行线、垂线和角平分线；盯“角”：发现直角、余角、补角、等角，以及30°、45°、60°特殊角.只要在“相似串”中，明确其中一个三角形边比特性，第二比例式可能将这一特性“传感”到解题的关键部位，问渠哪得清如许，自有源头活水来.
2.4 看得巧——答案脱口出
问题4 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2CA=6.在斜边AB上取一点N，
向两直角边作垂线段NP、NM，使得四边形PCMN为正方形.看图心算以下问题：
（1）求正方形PCMN边长；
（2）若将正方形PCMN绕顶点C作逆时针旋转成正方形P′CM′N′，当M′M=1时，求线段N′N长.
分析法和综合法是中学数学中常用的解题分析方法，是多少年教学实践证明行之有效的解题术.故在初中平几教学中，“分析法”一直以它独有的魅力折服着教师，倾倒着学生.老师碰到几何必讲“分析”，学生听到“分析”是既“喜爱”又“迷惑”.“喜爱”的是“分析法”确是好东西，应用得当，破关斩将、锐不可挡.“迷惑”的是，有些同学面对“分析法”这柄古老的利剑，看着老师用起来得心应手，自己用起来却往往是手忙脚乱，简单些的还好，稍为复杂一点的就不知如何下手，但别人略作提示，却又马到功成，对此可真谓“用之无策，弃之不甘”，用着乐着，用着烦着，痛苦并快乐着.笔者执教过多年初中，个中滋味体会尤深.那么，为什么经过两年多的学习，有的学生还是没有学会问题的分析呢？是学生学得不认真吗？是教师强调不够吗？显然这不是主要原因.笔者认为，主要原因是教师没有教给学生一个明确可行的分析途径，简单有序的思维方法.
试想：对初中教材或教参中的大部分平几习题，绝大多数老师是做了多遍，讲了多回，也就是说对“分析法”这套剑法，在讲解例题前老师不知操练了多少遍，对之是熟之又熟.可对学生来讲，大部分是第一次遇见，尽管老师讲得头头是道，他们听着却不一定津津有味.有的老师在分析问题时没有从学生的角度去想、去理解，而是根据自己对习题的认识去编织解题脉络，拔高了学生的思维，造成学生认知上的脱节，对平几学习失去信心.
平几中的分析，就是仔细审阅已知条件及结论，寻求条件与结论间的联系，联想学过的概念、公理、性质、判定方法等，找到从条件出发推得结论的途径的一个思维过程.
具体分析一个问题，各人有各人的思维方法.但不外从两个方面去考虑：一是从已知出发，看看由每个条件能推出哪些结果（必需有充足的理由），再看把所得结果作为条件又能推出什么，……，如此下去，逐步向结论逼近.这一思维过程称为“从条件联想”，可简记为“由已知，想可知，推末知”.二是由结论入手，考虑结论成立所需的条件，逐渐与已知或所学过的概念、公理、性质、判定方法靠拢.这一思维过程称为“由结论分析”，可简记为“由结论，找需知，达已知”.
“从条件联想”和“由结论分析”，便是分析的途径.
“由已知，想可知，推末知”；“由结论，找需知，达已知”.便是分析的具体方法.
笔者在后来的教学中，严格按以上的分析途径和方法训练学生，使学生分析问题的途径从无意变为有意，方法从无序变为有序，收到了较好的教学效果.若从初一开始便如此有意识地训练学生，效果将更为明显.
下面举例说明在解题中，如何按上述方法进行思维分析.本着从基础抓起，所举例题均为初一内容.
1.2 数学地位
第一比例式在教材中处于显赫地位.“主演”了相似三角形的定义、判定和性质总过程，“续演”了相似多边形的周长、面积以及对应线段之比与相似比系数k的关系，为学位似变换做了铺垫；第二比例式在教材中很少露面，只是在建立“锐角三角函数”概念时，有“客串”角色：相似直角三角形“相等锐角的对边与斜边”比是定值，阐明建立正弦函数概念合理性.高中阶段继深化为：AB︰BC︰CA=sinC︰sinA︰sinB（正弦定理）.因而，从初中数学知识体系建构过程看，前者的地位高于后者.加之从初中所涉与相似有关问题，大多限于两个相似三角形之间展开，这也是第二比例式被淡化受冷落的缘由.
1.3 空间视角
第一比例式注重的是两个相似三角形边的对应关系和度量关系，数学视角易固着于静态的对应型结构，但能演绎与相似比系数k有关的诸多几何意义.不足在于：“视野”狭隘，盯住的仅是两个三角形，也易忽视自身三角形条件特性.遇复杂图形时，数学视角灵活性较弱.只是发展到位似变换时，才显出平面空间具有运动、动态生成的变化；第二比例式显示具相似关系的三角形，因它们的三边比固定，看成同类，特性化后优点在于：能利用三角形自身条件参与到具体问题分析中.尤其遇复杂图形时，若有很多同类相似三角形存在，则数学视角可灵活将特性“携带”其中，利于发现隐含其中的数量关系.弱点是不易觉识与相似比系数k有关几何量，但采用变式形式：△ABC∽△A′B′C′若AB=λBC，则A′B′=λB′C′，为三角形自身边的互换提供方便，也有它的独到之处.
可见两种比例式虽都立足于相似，但不同的数式形式对平面空间数学化的立意有别，在解具体问题时，各有特色.
1.4 价值提升
两种比例式对发展学生空间数学意识，培养数学观点与视角多元化，以及优化数形结合能力很有教益.在教学中，应给予以下方面拓展与发挥：
（1）活用相似比系数k几何意义，感悟它能使得解决问题要建立数量的关系变得紧凑、简洁；（2）感悟巧用位似变换，能优化图形结构，发现解题关键；（3）补缺第二比例式教学，展示其独到数学视角与解题功用；（4）展示两种比例式用法各有其妙，体验“数”随形“意”、“形”优“数”精的数形结合思想，能引领我们解题求新创优，观点活才能方法优.2 举例：“教”的点拨与“学”的感悟
问题3 如图3所示，以正方形的顶点A为圆心，边长为半径作弧BD，又以CD边为直径作半圆，两弧交正方形内点I，BI交CD于点P，求证︰PD=1︰2.
教师：两个圆弧操控点I位置，决定︰PD比值，盯着两个圆弧，我们发现不了什么.能否发现有意义的角？
生1：连接两圆弧的圆心AO和两弧公共弦ID.应有AO⊥DI；再连接IC，因DC是⊙O的直径，∠DIC=90°.
教师：直角△AOD有什么特性？
生1：AD=2DO，两直角边是1︰2的关系.
教师：作IS⊥DC，S为垂足.能发现与△AOD相似的三角形吗？
生2：由∠DIC=90°和AO⊥DI，可推△AOD∽△DCI∽△ICS，利用它们两直角边是1︰2的特性，可明确点S位置.
教师：为便于计算分析，不妨设正方形边长为5k……
生2：可得DS=2IS=4SC，得到SC=k，IS=2k，DS=2IS=4k.
教师：若点B看作位似中心，能否绕开点P位置的未知性？去探究……
生3：过点I作TQ⊥BC，TQ与BD交于点T，点Q为垂足.点B看作位似中心，则有CP︰PD=IQ︰TI，注意到TQ=BQ=3k，TI=3k-k=2k，很快得出CP︰PD=k︰2k=1︰2.
感悟 遇复杂图形，通过跟“线”盯“角”发现同类相似三角形.跟“线”：跟踪平行线、垂线和角平分线；盯“角”：发现直角、余角、补角、等角，以及30°、45°、60°特殊角.只要在“相似串”中，明确其中一个三角形边比特性，第二比例式可能将这一特性“传感”到解题的关键部位，问渠哪得清如许，自有源头活水来.
2.4 看得巧——答案脱口出
问题4 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2CA=6.在斜边AB上取一点N，
向两直角边作垂线段NP、NM，使得四边形PCMN为正方形.看图心算以下问题：
（1）求正方形PCMN边长；
（2）若将正方形PCMN绕顶点C作逆时针旋转成正方形P′CM′N′，当M′M=1时，求线段N′N长.
分析法和综合法是中学数学中常用的解题分析方法，是多少年教学实践证明行之有效的解题术.故在初中平几教学中，“分析法”一直以它独有的魅力折服着教师，倾倒着学生.老师碰到几何必讲“分析”，学生听到“分析”是既“喜爱”又“迷惑”.“喜爱”的是“分析法”确是好东西，应用得当，破关斩将、锐不可挡.“迷惑”的是，有些同学面对“分析法”这柄古老的利剑，看着老师用起来得心应手，自己用起来却往往是手忙脚乱，简单些的还好，稍为复杂一点的就不知如何下手，但别人略作提示，却又马到功成，对此可真谓“用之无策，弃之不甘”，用着乐着，用着烦着，痛苦并快乐着.笔者执教过多年初中，个中滋味体会尤深.那么，为什么经过两年多的学习，有的学生还是没有学会问题的分析呢？是学生学得不认真吗？是教师强调不够吗？显然这不是主要原因.笔者认为，主要原因是教师没有教给学生一个明确可行的分析途径，简单有序的思维方法.
试想：对初中教材或教参中的大部分平几习题，绝大多数老师是做了多遍，讲了多回，也就是说对“分析法”这套剑法，在讲解例题前老师不知操练了多少遍，对之是熟之又熟.可对学生来讲，大部分是第一次遇见，尽管老师讲得头头是道，他们听着却不一定津津有味.有的老师在分析问题时没有从学生的角度去想、去理解，而是根据自己对习题的认识去编织解题脉络，拔高了学生的思维，造成学生认知上的脱节，对平几学习失去信心.
平几中的分析，就是仔细审阅已知条件及结论，寻求条件与结论间的联系，联想学过的概念、公理、性质、判定方法等，找到从条件出发推得结论的途径的一个思维过程.
具体分析一个问题，各人有各人的思维方法.但不外从两个方面去考虑：一是从已知出发，看看由每个条件能推出哪些结果（必需有充足的理由），再看把所得结果作为条件又能推出什么，……，如此下去，逐步向结论逼近.这一思维过程称为“从条件联想”，可简记为“由已知，想可知，推末知”.二是由结论入手，考虑结论成立所需的条件，逐渐与已知或所学过的概念、公理、性质、判定方法靠拢.这一思维过程称为“由结论分析”，可简记为“由结论，找需知，达已知”.
“从条件联想”和“由结论分析”，便是分析的途径.
“由已知，想可知，推末知”；“由结论，找需知，达已知”.便是分析的具体方法.
笔者在后来的教学中，严格按以上的分析途径和方法训练学生，使学生分析问题的途径从无意变为有意，方法从无序变为有序，收到了较好的教学效果.若从初一开始便如此有意识地训练学生，效果将更为明显.
下面举例说明在解题中，如何按上述方法进行思维分析.本着从基础抓起，所举例题均为初一内容.
1.2 数学地位
第一比例式在教材中处于显赫地位.“主演”了相似三角形的定义、判定和性质总过程，“续演”了相似多边形的周长、面积以及对应线段之比与相似比系数k的关系，为学位似变换做了铺垫；第二比例式在教材中很少露面，只是在建立“锐角三角函数”概念时，有“客串”角色：相似直角三角形“相等锐角的对边与斜边”比是定值，阐明建立正弦函数概念合理性.高中阶段继深化为：AB︰BC︰CA=sinC︰sinA︰sinB（正弦定理）.因而，从初中数学知识体系建构过程看，前者的地位高于后者.加之从初中所涉与相似有关问题，大多限于两个相似三角形之间展开，这也是第二比例式被淡化受冷落的缘由.
1.3 空间视角
第一比例式注重的是两个相似三角形边的对应关系和度量关系，数学视角易固着于静态的对应型结构，但能演绎与相似比系数k有关的诸多几何意义.不足在于：“视野”狭隘，盯住的仅是两个三角形，也易忽视自身三角形条件特性.遇复杂图形时，数学视角灵活性较弱.只是发展到位似变换时，才显出平面空间具有运动、动态生成的变化；第二比例式显示具相似关系的三角形，因它们的三边比固定，看成同类，特性化后优点在于：能利用三角形自身条件参与到具体问题分析中.尤其遇复杂图形时，若有很多同类相似三角形存在，则数学视角可灵活将特性“携带”其中，利于发现隐含其中的数量关系.弱点是不易觉识与相似比系数k有关几何量，但采用变式形式：△ABC∽△A′B′C′若AB=λBC，则A′B′=λB′C′，为三角形自身边的互换提供方便，也有它的独到之处.
可见两种比例式虽都立足于相似，但不同的数式形式对平面空间数学化的立意有别，在解具体问题时，各有特色.
1.4 价值提升
两种比例式对发展学生空间数学意识，培养数学观点与视角多元化，以及优化数形结合能力很有教益.在教学中，应给予以下方面拓展与发挥：
（1）活用相似比系数k几何意义，感悟它能使得解决问题要建立数量的关系变得紧凑、简洁；（2）感悟巧用位似变换，能优化图形结构，发现解题关键；（3）补缺第二比例式教学，展示其独到数学视角与解题功用；（4）展示两种比例式用法各有其妙，体验“数”随形“意”、“形”优“数”精的数形结合思想，能引领我们解题求新创优，观点活才能方法优.2 举例：“教”的点拨与“学”的感悟
问题3 如图3所示，以正方形的顶点A为圆心，边长为半径作弧BD，又以CD边为直径作半圆，两弧交正方形内点I，BI交CD于点P，求证︰PD=1︰2.
教师：两个圆弧操控点I位置，决定︰PD比值，盯着两个圆弧，我们发现不了什么.能否发现有意义的角？
生1：连接两圆弧的圆心AO和两弧公共弦ID.应有AO⊥DI；再连接IC，因DC是⊙O的直径，∠DIC=90°.
教师：直角△AOD有什么特性？
生1：AD=2DO，两直角边是1︰2的关系.
教师：作IS⊥DC，S为垂足.能发现与△AOD相似的三角形吗？
生2：由∠DIC=90°和AO⊥DI，可推△AOD∽△DCI∽△ICS，利用它们两直角边是1︰2的特性，可明确点S位置.
教师：为便于计算分析，不妨设正方形边长为5k……
生2：可得DS=2IS=4SC，得到SC=k，IS=2k，DS=2IS=4k.
教师：若点B看作位似中心，能否绕开点P位置的未知性？去探究……
生3：过点I作TQ⊥BC，TQ与BD交于点T，点Q为垂足.点B看作位似中心，则有CP︰PD=IQ︰TI，注意到TQ=BQ=3k，TI=3k-k=2k，很快得出CP︰PD=k︰2k=1︰2.
感悟 遇复杂图形，通过跟“线”盯“角”发现同类相似三角形.跟“线”：跟踪平行线、垂线和角平分线；盯“角”：发现直角、余角、补角、等角，以及30°、45°、60°特殊角.只要在“相似串”中，明确其中一个三角形边比特性，第二比例式可能将这一特性“传感”到解题的关键部位，问渠哪得清如许，自有源头活水来.
2.4 看得巧——答案脱口出
问题4 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2CA=6.在斜边AB上取一点N，
向两直角边作垂线段NP、NM，使得四边形PCMN为正方形.看图心算以下问题：
（1）求正方形PCMN边长；
（2）若将正方形PCMN绕顶点C作逆时针旋转成正方形P′CM′N′，当M′M=1时，求线段N′N长.
分析法和综合法是中学数学中常用的解题分析方法，是多少年教学实践证明行之有效的解题术.故在初中平几教学中，“分析法”一直以它独有的魅力折服着教师，倾倒着学生.老师碰到几何必讲“分析”，学生听到“分析”是既“喜爱”又“迷惑”.“喜爱”的是“分析法”确是好东西，应用得当，破关斩将、锐不可挡.“迷惑”的是，有些同学面对“分析法”这柄古老的利剑，看着老师用起来得心应手，自己用起来却往往是手忙脚乱，简单些的还好，稍为复杂一点的就不知如何下手，但别人略作提示，却又马到功成，对此可真谓“用之无策，弃之不甘”，用着乐着，用着烦着，痛苦并快乐着.笔者执教过多年初中，个中滋味体会尤深.那么，为什么经过两年多的学习，有的学生还是没有学会问题的分析呢？是学生学得不认真吗？是教师强调不够吗？显然这不是主要原因.笔者认为，主要原因是教师没有教给学生一个明确可行的分析途径，简单有序的思维方法.
试想：对初中教材或教参中的大部分平几习题，绝大多数老师是做了多遍，讲了多回，也就是说对“分析法”这套剑法，在讲解例题前老师不知操练了多少遍，对之是熟之又熟.可对学生来讲，大部分是第一次遇见，尽管老师讲得头头是道，他们听着却不一定津津有味.有的老师在分析问题时没有从学生的角度去想、去理解，而是根据自己对习题的认识去编织解题脉络，拔高了学生的思维，造成学生认知上的脱节，对平几学习失去信心.
平几中的分析，就是仔细审阅已知条件及结论，寻求条件与结论间的联系，联想学过的概念、公理、性质、判定方法等，找到从条件出发推得结论的途径的一个思维过程.
具体分析一个问题，各人有各人的思维方法.但不外从两个方面去考虑：一是从已知出发，看看由每个条件能推出哪些结果（必需有充足的理由），再看把所得结果作为条件又能推出什么，……，如此下去，逐步向结论逼近.这一思维过程称为“从条件联想”，可简记为“由已知，想可知，推末知”.二是由结论入手，考虑结论成立所需的条件，逐渐与已知或所学过的概念、公理、性质、判定方法靠拢.这一思维过程称为“由结论分析”，可简记为“由结论，找需知，达已知”.
“从条件联想”和“由结论分析”，便是分析的途径.
“由已知，想可知，推末知”；“由结论，找需知，达已知”.便是分析的具体方法.
笔者在后来的教学中，严格按以上的分析途径和方法训练学生，使学生分析问题的途径从无意变为有意，方法从无序变为有序，收到了较好的教学效果.若从初一开始便如此有意识地训练学生，效果将更为明显.
下面举例说明在解题中，如何按上述方法进行思维分析.本着从基础抓起，所举例题均为初一内容.
1.2 数学地位
第一比例式在教材中处于显赫地位.“主演”了相似三角形的定义、判定和性质总过程，“续演”了相似多边形的周长、面积以及对应线段之比与相似比系数k的关系，为学位似变换做了铺垫；第二比例式在教材中很少露面，只是在建立“锐角三角函数”概念时，有“客串”角色：相似直角三角形“相等锐角的对边与斜边”比是定值，阐明建立正弦函数概念合理性.高中阶段继深化为：AB︰BC︰CA=sinC︰sinA︰sinB（正弦定理）.因而，从初中数学知识体系建构过程看，前者的地位高于后者.加之从初中所涉与相似有关问题，大多限于两个相似三角形之间展开，这也是第二比例式被淡化受冷落的缘由.
1.3 空间视角
第一比例式注重的是两个相似三角形边的对应关系和度量关系，数学视角易固着于静态的对应型结构，但能演绎与相似比系数k有关的诸多几何意义.不足在于：“视野”狭隘，盯住的仅是两个三角形，也易忽视自身三角形条件特性.遇复杂图形时，数学视角灵活性较弱.只是发展到位似变换时，才显出平面空间具有运动、动态生成的变化；第二比例式显示具相似关系的三角形，因它们的三边比固定，看成同类，特性化后优点在于：能利用三角形自身条件参与到具体问题分析中.尤其遇复杂图形时，若有很多同类相似三角形存在，则数学视角可灵活将特性“携带”其中，利于发现隐含其中的数量关系.弱点是不易觉识与相似比系数k有关几何量，但采用变式形式：△ABC∽△A′B′C′若AB=λBC，则A′B′=λB′C′，为三角形自身边的互换提供方便，也有它的独到之处.
可见两种比例式虽都立足于相似，但不同的数式形式对平面空间数学化的立意有别，在解具体问题时，各有特色.
1.4 价值提升
两种比例式对发展学生空间数学意识，培养数学观点与视角多元化，以及优化数形结合能力很有教益.在教学中，应给予以下方面拓展与发挥：
（1）活用相似比系数k几何意义，感悟它能使得解决问题要建立数量的关系变得紧凑、简洁；（2）感悟巧用位似变换，能优化图形结构，发现解题关键；（3）补缺第二比例式教学，展示其独到数学视角与解题功用；（4）展示两种比例式用法各有其妙，体验“数”随形“意”、“形”优“数”精的数形结合思想，能引领我们解题求新创优，观点活才能方法优.2 举例：“教”的点拨与“学”的感悟
问题3 如图3所示，以正方形的顶点A为圆心，边长为半径作弧BD，又以CD边为直径作半圆，两弧交正方形内点I，BI交CD于点P，求证︰PD=1︰2.
教师：两个圆弧操控点I位置，决定︰PD比值，盯着两个圆弧，我们发现不了什么.能否发现有意义的角？
生1：连接两圆弧的圆心AO和两弧公共弦ID.应有AO⊥DI；再连接IC，因DC是⊙O的直径，∠DIC=90°.
教师：直角△AOD有什么特性？
生1：AD=2DO，两直角边是1︰2的关系.
教师：作IS⊥DC，S为垂足.能发现与△AOD相似的三角形吗？
生2：由∠DIC=90°和AO⊥DI，可推△AOD∽△DCI∽△ICS，利用它们两直角边是1︰2的特性，可明确点S位置.
教师：为便于计算分析，不妨设正方形边长为5k……
生2：可得DS=2IS=4SC，得到SC=k，IS=2k，DS=2IS=4k.
教师：若点B看作位似中心，能否绕开点P位置的未知性？去探究……
生3：过点I作TQ⊥BC，TQ与BD交于点T，点Q为垂足.点B看作位似中心，则有CP︰PD=IQ︰TI，注意到TQ=BQ=3k，TI=3k-k=2k，很快得出CP︰PD=k︰2k=1︰2.
感悟 遇复杂图形，通过跟“线”盯“角”发现同类相似三角形.跟“线”：跟踪平行线、垂线和角平分线；盯“角”：发现直角、余角、补角、等角，以及30°、45°、60°特殊角.只要在“相似串”中，明确其中一个三角形边比特性，第二比例式可能将这一特性“传感”到解题的关键部位，问渠哪得清如许，自有源头活水来.
2.4 看得巧——答案脱口出
问题4 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2CA=6.在斜边AB上取一点N，
向两直角边作垂线段NP、NM，使得四边形PCMN为正方形.看图心算以下问题：
（1）求正方形PCMN边长；
（2）若将正方形PCMN绕顶点C作逆时针旋转成正方形P′CM′N′，当M′M=1时，求线段N′N长.
