好风凭借力 助我上青云
楚秉晶
1 问题的提出
浙教版初中数学教科书（2013年版）设置了“课题学习”这一栏目，着重体现课程内容中“综合与实践”的要求，是本次课程改革的新增内容，希望通过对新颖材料的分析、对具体活动的体验，增强学生数学学习的探究性和实践性.但当前“课题学习”的开展状况不容乐观.一方面由于不少教师对“课题学习”的特点、方式、方法缺乏了解，认为课题学习既费时又麻烦，而且也没有涉及到新增知识点，还不如做几道数学题目更有用，因此对其视而不见、束之高阁，忽视了对学生学习兴趣和态度的培养.另一方面，新课标下的“课题学习”内容缺乏具体的、可操作的活动方案及案例，使得任教老师感到很难具体实施，更难以考查学生掌握情况，因而在教学实施中简单地跳过.下面笔者结合浙教版七年级上册第五章的课题学习《问题解决的基本步骤》，谈谈对“课题学习”教学设计的几点思考.
2 “课题学习”教学设计示例
2.1 教学目标
（1）了解问题解决的四个基本步骤.
（2）会初步按问题解决的四个基本步骤，对应用题进行审题、分析数量关系、选择数学模型、设元、列方程、解方程，并进行检验与反思.
2.2 教学重点和难点
本节课教学的重点是按问题解决的四个基本步骤列方程解应用题，其中理解问题和回顾反思是本节的教学难点.
2.3 教学过程
2.31 创设情境，以趣激情
教师：同学们，元旦假期快要到了，老师想出去放松一下.我想听听同学们有什么好建议？
生1：可以旅游，比如说去雁荡山.
生2：去电影院.
生3：shopping.
生4：去宁海泡温泉.
同学们积极踊跃，纷纷为老师的出行出谋划策.
教师：谢谢同学们，旅游是个好建议，比如说我可以去东北看雪，还可以去爬爬山，去海边看海，当然江南的一些古镇也别有一番风韵（幻灯片播放图片）.鉴于元旦假期只有三天，老师安排了一个目的地——香港.决定之后，请同学们帮我考虑一下我应该准备些什么.
生5：准备一张交通图.
生6：准备些生活中的必需品，比如说牙刷、牙膏、毛巾等等.
生7：准备一张飞机票.
教师：同学们想的都很周到，除了以上这些老师还准备了一些衣服、通行证、住的宾馆等等.这些都准备的差不多了，那么接下来我该干些什么事情？
生8：设计好路线.
教师：太棒了，这点老师也想到了.我在网上查了一些关于香港的攻略，好列一下大致的行程.现在我们来回顾一下，刚才同学们所说的去哪里、包括准备些什么，这实际上就是我们解决实际问题的第一步——理解问题.至于刚才我们所说的查攻略、定行程则属于制定计划.请同学们想一想，接下来我们要干什么呢？
学生：（齐声回答）执行计划.
教师：好，接下来我们执行计划，去香港游玩.那玩好之后呢？
生9：回家.
教师：回家之后呢？
生10：我们可以回忆一下，写写日记和游记
教师：生10真是生活中的有心人，这其实是解决实际问题的第四步——回顾.
设计意图 通过为老师设计一个出门旅行的实例来引入问题解决的四个基本步骤，使学生感觉亲近、熟悉，在唤起学生的好奇心，调动学生的思维积极性的同时，也使枯燥的文字理解变得简单明了.
232 知识迁移，感悟新知
教师：对于实际问题我们可以按照理解问题、制定计划、执行计划、回顾这四个基本步骤来解决.那么可不可以把这四个步骤应用到数学问题中呢？比如，去香港之后老师考虑要将手机服务换一下，我在网上查到了这样一份资料：在香港使用内地手机卡在07：00-22：00按004元/6秒收费；在22：00-次日07：00按002元/6秒收费；而香港本地卡24小时都按003元/6秒收费.
问题1：能不能将文字进行整理，使得理解更加清晰？
生11：列表格.
教师：很好，通过这张表格（幻灯片呈现），你读到什么内容，请把下面这句话补充完整.
问题2：我在 点，用 卡，打了 时间，花了 元.
设计意图 经过学生自主动手、动脑，将生活中比较复杂繁琐的文字形式转化成形象直观的表格的形式，使本题所涉及的数量和数量关系一目了然.再通过学生举例说明，进一步加深了学生对题目的理解，既为后续学习埋下伏笔，又有利于学生感悟知识的形成过程.
233 师生互动，继续探究
教师：同学们的思维很踊跃，老师这里也举了一些例子，请同学们来一起解决.
问题3：我在21：00，用内地手机卡，打了 时间，花了34元.
问题4：我在21：00，用香港手机卡打了510秒，花了 元.
学生经过片刻沉思后，根据通话时间、话费标准、话费三个基本关系量之间的关系，分别列出算式和方程进行解答.
设计意图 引导学生观察、分析题目中三个基本关系量及它们之间的关系，会将实际问题抽象成为数学模型，并将所得的数学模型通过列方程和算式的方法进行转换和运算.让学生在积极思考中感受知识的产生和发展过程.
问题5：我在21：00，用 卡，打了75分钟，花了 元.
问题6：我在21：00，用内地卡，花了30元，打了 时间，若改用香港卡，花了 元.
设计意图 通过问题串的形式，对问题的已知条件进行适当地转化，使问题由浅入深，循序渐进，更符合学生的认知规律.在求解过程中逐步渗透分类讨论的思想方法，同时也使学生感受到回顾检验和反思的必要性，有利于培养学生思维的严谨性.
教师：实际问题中的问题解决的四个基本步骤在数学问题中仍适用吗？
众生：（点头示意）能.
教师：问题解决的四个基本步骤与运用方程解决实际问题的一般过程有什么联系？
学生合作交流，共同探讨得出结论，教师板书.
设计意图 学生各抒己见表达自己看法，对于不完整的地方，教师予以启发引导，充分体现了学生的主体地位.在小组合作交流中，培养了学生的语言表达能力和合作交流能力.
2.34 延伸理解，深化拓展
教师：香港之行即将结束，老师计划用900元（恰好用完）给全班50位同学每人买一件礼物.
问题7：已知A、B、C三种商品的单价分别为15元、21元、25元.请同学们帮助老师设计购买的方案.
学生经过动手实践、合作交流、讨论验证得出应该分类讨论，即可购买两种或三种商品.
问题8：以四人小组为单位，结合本题背景，设计一个可用方程求解的实际问题.
设计意图 进一步挖掘、拓展用方程解决的实际问题，在问题深化的过程中，通过动手实践、自主探索、合作交流，开阔学生的思维，调动学习的积极性，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力和勇于探索的精神.
3 对“课题学习”教学设计的几点思考
“课题学习”作为初中数学课程新设置的数学学习领域，也是一种新型的学习方式.它改变了传统教学模式，让学生通过实践与探索，体验数学与生活的广泛联系，学会综合运用所学知识和方法解决实际问题，加深对所学知识的理解，获得数学解决问题的能力和方法，全面提升学生的数学素养.它需要创设一种“微课研”环境，让学生的个性和创造力在这里尽情发挥发展，它关注数学学习过程中凸现的“社会能力”——数学知识和方法对社会活动进行计算和评估，以帮助人们做出更加合理的决策，它提倡参与、探索、思考、实践的学习方式，真正体现了新课程所倡导的自主、探究、合作、交流等理念，是一片等待开发的沃土.
31 “课题学习”须着眼于问题情境
爱因斯坦有句名言：兴趣是最好的老师.教师所创设的问题情境应当具备如下一些特征：学生熟悉的、简明的、必然引向学科本质的、真实的或合理的[1].一节好课的情景创设不但可以将枯燥的、抽象的数学知识以生动活泼的生活情境来代替，最大程度的吸引了学生的注意力，引发学生积极参与的愿望，还可以直击“课题”，聚焦教学内层.
本课例以学生感兴趣的为老师设计旅行路线为背景，立足于“简而不减”的思维层面，创设了有利于调动学生积极思维的问题情境，快速的揭开了课题学习的篇章，直击课题学习的主题——问题解决的基本步骤，使比较复杂的内容变得简单明了，让学生体会到数学来源于生活也应用于生活，同时也为后续活动的定向展开做了必不可少的奠基.
3.2 “课题学习”须着眼于教学的路径
前苏联著名心理学家维果茨基的“最近发展区”理论指出：教育要关注儿童发展的两种水平，一种是已经达到的发展水平，另一种是可能达到的发展水平.同时，《义务教育数学课程标准（2011版）》也指出教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础.也就是说，教学应从“已有的发展水平”出发，不断地创造“新的发展区”，为激发学生“可能达到的发展水平”搭建阶梯.
本课例站在学生思维“最近发展区”的平台上，审视学生的思维潜力，以学生现有的知识经验为起点，为激发学生的“可能达到的发展水平”搭建了三个阶梯：（1）环节一以学生感兴趣的、通俗易懂的出门旅游为背景，让学生感知现实生活中问题解决的四个基本步骤及其具体含义；（2）环节二、三以问题串的形式，层层深入，让学生了解和体会问题解决的四个步骤在解决数学问题中的具体应用，学会运用数学建模的思想解决问题；（3）环节四以前两个阶梯为载体，让学生自主探索、合作交流用不定方程模型来解决比较复杂的问题，并将所得的方程赋予实际背景，不断开阔学生的思维，既操练了解题“技术”，又修炼了思维层面的“道”（分类思想、数学建模思想）.
3.3 “课题学习”须着眼于培养思维张力
美国学者布鲁巴克说：最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是让学生提出问题.因为“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，解决一个问题也许是一个数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步（爱因斯坦）.”
本课例笔者改变了以往教学中满堂灌、满堂练的教学方法，环节一逐步引导学生提出问题，使学生的思维始终处在积极的思维状态下.环节二极具竞争性和开放性，有效地发展了学生的思维能力.环节三、四采取问题串的形式，层层递进，使学生体会理解问题、制定计划需要转化思想的帮助和模型思想的指导，执行计划需要分类讨论思想的参与和计算能力的谐振，回顾需要判断思维的参与.课堂中到处流动着思维的声音和快乐的味道，有效地发展了学生的思维张力.
3.4 “课题学习”须着眼于知识建构
数学家吴文俊先生坦言：“我们独创的东西不够.开创一个领域，让全世界的人跟着你，这类东西不够.然而，学生蕴藏着极为丰富和巨大的创造潜能，关键是我们的教育者能否提供他们发挥其创造潜能的机会.”[2]《义务教育数学课程标准（2011版）》中重点指出创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中.而以“课题学习”为载体进行数学实践活动教学正是培养学生的创新意识和实践能力的重要方式之一.
本课例，笔者在新课标的要求指导下，吸取教材的有效资源，从构造数学模型、设计求解模型方法等方面着手，引导学生自己去发现、去设计、去创新、去完成.通过学生自主探索、合作交流，促进知识的同化和迁移，实现课堂的创造性教学，从而培养并发展学生的实践能力与创新精神.
4 结束语
课堂研究没有终点，永远行走在路上.这里笔者只是粗略地勾画了对于“课题学习”教学设计的几点微思考，希望能抛砖引玉，让我们的课题学习教学内容更加充实，形式更加丰富.参考文献
[1] 杨裕前.基于《数学课程标准（2011版）》的课堂教学改革[J].初中数学教育学（中旬），2012（4）：18-20.
[2] 郑玉兵，孙彦. 中线数学“课题学习”的教学实践与探究[J].中学数学教学参考（中旬），2014（3）：66-69.
1 问题的提出
浙教版初中数学教科书（2013年版）设置了“课题学习”这一栏目，着重体现课程内容中“综合与实践”的要求，是本次课程改革的新增内容，希望通过对新颖材料的分析、对具体活动的体验，增强学生数学学习的探究性和实践性.但当前“课题学习”的开展状况不容乐观.一方面由于不少教师对“课题学习”的特点、方式、方法缺乏了解，认为课题学习既费时又麻烦，而且也没有涉及到新增知识点，还不如做几道数学题目更有用，因此对其视而不见、束之高阁，忽视了对学生学习兴趣和态度的培养.另一方面，新课标下的“课题学习”内容缺乏具体的、可操作的活动方案及案例，使得任教老师感到很难具体实施，更难以考查学生掌握情况，因而在教学实施中简单地跳过.下面笔者结合浙教版七年级上册第五章的课题学习《问题解决的基本步骤》，谈谈对“课题学习”教学设计的几点思考.
2 “课题学习”教学设计示例
2.1 教学目标
（1）了解问题解决的四个基本步骤.
（2）会初步按问题解决的四个基本步骤，对应用题进行审题、分析数量关系、选择数学模型、设元、列方程、解方程，并进行检验与反思.
2.2 教学重点和难点
本节课教学的重点是按问题解决的四个基本步骤列方程解应用题，其中理解问题和回顾反思是本节的教学难点.
2.3 教学过程
2.31 创设情境，以趣激情
教师：同学们，元旦假期快要到了，老师想出去放松一下.我想听听同学们有什么好建议？
生1：可以旅游，比如说去雁荡山.
生2：去电影院.
生3：shopping.
生4：去宁海泡温泉.
同学们积极踊跃，纷纷为老师的出行出谋划策.
教师：谢谢同学们，旅游是个好建议，比如说我可以去东北看雪，还可以去爬爬山，去海边看海，当然江南的一些古镇也别有一番风韵（幻灯片播放图片）.鉴于元旦假期只有三天，老师安排了一个目的地——香港.决定之后，请同学们帮我考虑一下我应该准备些什么.
生5：准备一张交通图.
生6：准备些生活中的必需品，比如说牙刷、牙膏、毛巾等等.
生7：准备一张飞机票.
教师：同学们想的都很周到，除了以上这些老师还准备了一些衣服、通行证、住的宾馆等等.这些都准备的差不多了，那么接下来我该干些什么事情？
生8：设计好路线.
教师：太棒了，这点老师也想到了.我在网上查了一些关于香港的攻略，好列一下大致的行程.现在我们来回顾一下，刚才同学们所说的去哪里、包括准备些什么，这实际上就是我们解决实际问题的第一步——理解问题.至于刚才我们所说的查攻略、定行程则属于制定计划.请同学们想一想，接下来我们要干什么呢？
学生：（齐声回答）执行计划.
教师：好，接下来我们执行计划，去香港游玩.那玩好之后呢？
生9：回家.
教师：回家之后呢？
生10：我们可以回忆一下，写写日记和游记
教师：生10真是生活中的有心人，这其实是解决实际问题的第四步——回顾.
设计意图 通过为老师设计一个出门旅行的实例来引入问题解决的四个基本步骤，使学生感觉亲近、熟悉，在唤起学生的好奇心，调动学生的思维积极性的同时，也使枯燥的文字理解变得简单明了.
232 知识迁移，感悟新知
教师：对于实际问题我们可以按照理解问题、制定计划、执行计划、回顾这四个基本步骤来解决.那么可不可以把这四个步骤应用到数学问题中呢？比如，去香港之后老师考虑要将手机服务换一下，我在网上查到了这样一份资料：在香港使用内地手机卡在07：00-22：00按004元/6秒收费；在22：00-次日07：00按002元/6秒收费；而香港本地卡24小时都按003元/6秒收费.
问题1：能不能将文字进行整理，使得理解更加清晰？
生11：列表格.
教师：很好，通过这张表格（幻灯片呈现），你读到什么内容，请把下面这句话补充完整.
问题2：我在 点，用 卡，打了 时间，花了 元.
设计意图 经过学生自主动手、动脑，将生活中比较复杂繁琐的文字形式转化成形象直观的表格的形式，使本题所涉及的数量和数量关系一目了然.再通过学生举例说明，进一步加深了学生对题目的理解，既为后续学习埋下伏笔，又有利于学生感悟知识的形成过程.
233 师生互动，继续探究
教师：同学们的思维很踊跃，老师这里也举了一些例子，请同学们来一起解决.
问题3：我在21：00，用内地手机卡，打了 时间，花了34元.
问题4：我在21：00，用香港手机卡打了510秒，花了 元.
学生经过片刻沉思后，根据通话时间、话费标准、话费三个基本关系量之间的关系，分别列出算式和方程进行解答.
设计意图 引导学生观察、分析题目中三个基本关系量及它们之间的关系，会将实际问题抽象成为数学模型，并将所得的数学模型通过列方程和算式的方法进行转换和运算.让学生在积极思考中感受知识的产生和发展过程.
问题5：我在21：00，用 卡，打了75分钟，花了 元.
问题6：我在21：00，用内地卡，花了30元，打了 时间，若改用香港卡，花了 元.
设计意图 通过问题串的形式，对问题的已知条件进行适当地转化，使问题由浅入深，循序渐进，更符合学生的认知规律.在求解过程中逐步渗透分类讨论的思想方法，同时也使学生感受到回顾检验和反思的必要性，有利于培养学生思维的严谨性.
教师：实际问题中的问题解决的四个基本步骤在数学问题中仍适用吗？
众生：（点头示意）能.
教师：问题解决的四个基本步骤与运用方程解决实际问题的一般过程有什么联系？
学生合作交流，共同探讨得出结论，教师板书.
设计意图 学生各抒己见表达自己看法，对于不完整的地方，教师予以启发引导，充分体现了学生的主体地位.在小组合作交流中，培养了学生的语言表达能力和合作交流能力.
2.34 延伸理解，深化拓展
教师：香港之行即将结束，老师计划用900元（恰好用完）给全班50位同学每人买一件礼物.
问题7：已知A、B、C三种商品的单价分别为15元、21元、25元.请同学们帮助老师设计购买的方案.
学生经过动手实践、合作交流、讨论验证得出应该分类讨论，即可购买两种或三种商品.
问题8：以四人小组为单位，结合本题背景，设计一个可用方程求解的实际问题.
设计意图 进一步挖掘、拓展用方程解决的实际问题，在问题深化的过程中，通过动手实践、自主探索、合作交流，开阔学生的思维，调动学习的积极性，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力和勇于探索的精神.
3 对“课题学习”教学设计的几点思考
“课题学习”作为初中数学课程新设置的数学学习领域，也是一种新型的学习方式.它改变了传统教学模式，让学生通过实践与探索，体验数学与生活的广泛联系，学会综合运用所学知识和方法解决实际问题，加深对所学知识的理解，获得数学解决问题的能力和方法，全面提升学生的数学素养.它需要创设一种“微课研”环境，让学生的个性和创造力在这里尽情发挥发展，它关注数学学习过程中凸现的“社会能力”——数学知识和方法对社会活动进行计算和评估，以帮助人们做出更加合理的决策，它提倡参与、探索、思考、实践的学习方式，真正体现了新课程所倡导的自主、探究、合作、交流等理念，是一片等待开发的沃土.
31 “课题学习”须着眼于问题情境
爱因斯坦有句名言：兴趣是最好的老师.教师所创设的问题情境应当具备如下一些特征：学生熟悉的、简明的、必然引向学科本质的、真实的或合理的[1].一节好课的情景创设不但可以将枯燥的、抽象的数学知识以生动活泼的生活情境来代替，最大程度的吸引了学生的注意力，引发学生积极参与的愿望，还可以直击“课题”，聚焦教学内层.
本课例以学生感兴趣的为老师设计旅行路线为背景，立足于“简而不减”的思维层面，创设了有利于调动学生积极思维的问题情境，快速的揭开了课题学习的篇章，直击课题学习的主题——问题解决的基本步骤，使比较复杂的内容变得简单明了，让学生体会到数学来源于生活也应用于生活，同时也为后续活动的定向展开做了必不可少的奠基.
3.2 “课题学习”须着眼于教学的路径
前苏联著名心理学家维果茨基的“最近发展区”理论指出：教育要关注儿童发展的两种水平，一种是已经达到的发展水平，另一种是可能达到的发展水平.同时，《义务教育数学课程标准（2011版）》也指出教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础.也就是说，教学应从“已有的发展水平”出发，不断地创造“新的发展区”，为激发学生“可能达到的发展水平”搭建阶梯.
本课例站在学生思维“最近发展区”的平台上，审视学生的思维潜力，以学生现有的知识经验为起点，为激发学生的“可能达到的发展水平”搭建了三个阶梯：（1）环节一以学生感兴趣的、通俗易懂的出门旅游为背景，让学生感知现实生活中问题解决的四个基本步骤及其具体含义；（2）环节二、三以问题串的形式，层层深入，让学生了解和体会问题解决的四个步骤在解决数学问题中的具体应用，学会运用数学建模的思想解决问题；（3）环节四以前两个阶梯为载体，让学生自主探索、合作交流用不定方程模型来解决比较复杂的问题，并将所得的方程赋予实际背景，不断开阔学生的思维，既操练了解题“技术”，又修炼了思维层面的“道”（分类思想、数学建模思想）.
3.3 “课题学习”须着眼于培养思维张力
美国学者布鲁巴克说：最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是让学生提出问题.因为“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，解决一个问题也许是一个数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步（爱因斯坦）.”
本课例笔者改变了以往教学中满堂灌、满堂练的教学方法，环节一逐步引导学生提出问题，使学生的思维始终处在积极的思维状态下.环节二极具竞争性和开放性，有效地发展了学生的思维能力.环节三、四采取问题串的形式，层层递进，使学生体会理解问题、制定计划需要转化思想的帮助和模型思想的指导，执行计划需要分类讨论思想的参与和计算能力的谐振，回顾需要判断思维的参与.课堂中到处流动着思维的声音和快乐的味道，有效地发展了学生的思维张力.
3.4 “课题学习”须着眼于知识建构
数学家吴文俊先生坦言：“我们独创的东西不够.开创一个领域，让全世界的人跟着你，这类东西不够.然而，学生蕴藏着极为丰富和巨大的创造潜能，关键是我们的教育者能否提供他们发挥其创造潜能的机会.”[2]《义务教育数学课程标准（2011版）》中重点指出创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中.而以“课题学习”为载体进行数学实践活动教学正是培养学生的创新意识和实践能力的重要方式之一.
本课例，笔者在新课标的要求指导下，吸取教材的有效资源，从构造数学模型、设计求解模型方法等方面着手，引导学生自己去发现、去设计、去创新、去完成.通过学生自主探索、合作交流，促进知识的同化和迁移，实现课堂的创造性教学，从而培养并发展学生的实践能力与创新精神.
4 结束语
课堂研究没有终点，永远行走在路上.这里笔者只是粗略地勾画了对于“课题学习”教学设计的几点微思考，希望能抛砖引玉，让我们的课题学习教学内容更加充实，形式更加丰富.参考文献
[1] 杨裕前.基于《数学课程标准（2011版）》的课堂教学改革[J].初中数学教育学（中旬），2012（4）：18-20.
[2] 郑玉兵，孙彦. 中线数学“课题学习”的教学实践与探究[J].中学数学教学参考（中旬），2014（3）：66-69.
