新课标下数学“课题学习”的作用分析与策略思考
韩春见
おず北襄樊市第十九中学 441000
オ
1 问题的提出
新课程标准的出台和新教材的实验与推广，加大了教学改革的力度，也为教学改革提供了广阔的前景，为培养学生的创新意识和实践能力提供了良好的空间. 新教材无论从内容设计上还是呈现形式上，都给传统的教学模式以冲击，也给从事教育事业的教师们带来了一个新课题──如何上好“课题学习”课. 课题学习活动的主要目的是让学生在解决问题的过程中经历合作学习、多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考问题、尝试解释不同答案合理性的活动，加深对相关知识的理解、发展其创新意识和实践能力，而不是学习新知识或者获得问题的结论. 新《课标》也给我们明确提出：数学教学的最终目的是学生的整体发展. 对不同的学生而言，由于他们在所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式等方面存在着差异，因此，他们头脑中所理解的数学带有明显的“个性色彩”，他们的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．在这个意义之下，数学教材需要改变原有的内涵和形式 —— 不再是学生从事数学学习活动时的模仿对象，或者说，她向学生提供的不再是一种“不容改变”的、定论式的客观数学知识结构，而应当具备新的含义：以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式 —— 课题学习实践活动教学. 而新教材中的课题学习课改变传统教学模式中以知识记忆为特征的陈旧方法，让学生在解决具体问题的过程中和对数学本身的探索中理解、掌握和应用数学. 为此，笔者提出：要以“课题学习”为载体推动初中数学实践活动教学，从而提高学生解决生活实际问题的实践能力和创新意识.
2 课题学习的意义和作用
课题学习是根据我国的国情和教学现状，改“学数学”为“做数学”，与国际教学接轨的一项举措，是一种全新的课程理念. 开展数学课题学习，有助于扩大学生的视野，拓宽学生的知识面，促进学生思维的发展；是培养学生数学的应用能力，大众化普及数学教育，全面提高学生综合数学素质，培养学生创新实践能力的较好手段之一. 我认为“课题学习”虽然在教材的整个课时中占的比例不大，却为满足学生以上需要搭建了一个平台，而且它将对人才培养模式的改变，促进全面发展、提高学生的综合素质影响深远. 这应该是教材安排这一内容的出发点和落脚点.
2.1 课题学习有利于改变学生的学习方式
新课标理念下的数学教学，是师生之间、学生之间交流互动与共同发展的过程. 根据初中学生年龄特点和新课改的要求，整个初中数学教学都是在进行初步的探究性、创造性教学活动. 特别是新增“课题学习”这一内容，更是一个实验、探索、交流的过程，体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，由此发展自己的思维能力，根据要求设计实施最佳数学活动方案. 这样的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，传统的接受学习已不能适应课题学习，这就要求学生采取不同以往的学习方式. 动手实践、自主探索与合作交流已成为学生学习数学的重要方式.
例如：在七年级上册《探索规律》一课后，我设计了这样的一个课题学习：“包装的样式与表面积有什么关系，怎样包装，使包装纸最省呢？” 现有6盒磁带，你认为怎样包装好，大约需要多少包装纸？每种包装方法与表面积有什么关系，哪个样式用的纸最少？要求学生先通过测量一个磁带盒的长、宽、高并计算出表面积. 然后课后调查研究、合作学习，写出发现的结论，在班级里交流. 学生汇报时，共发现9种不同的包法（如图1），同时发现了两个关键点：（1）重叠的面积越大，包装的表面积就越小，用的纸也就越少. （2）根据不同的需要，可选择不同的包装方法.
又如，在学习有理数的计算时，我设计了一道双休日作业《存款利息的计算》：随着生活水平的提高，大部分家庭在银行有了存款. 下面请你参加有关利息的调查与计算 ：（1）到学校附近的各家银行，了解定期储蓄半年期、1年期、2年期、3年期、5年期的年利率. 了解本金、利息、本息和、利息税等名称的含义. （2）不同的银行，年利率是否相同？（3）小明同学的家长为他准备了1万元，作为5年后读大学的费用. 家长打算把这1万元存在银行，5年后一次性支取本息，可有如下几种存款方案供他选择： a.“1+1+1+1+1”型，即：存1年期，到期后连同本息再续存1年期，如此重复，直至5年. b.“2+3”型，即：先存2年期，到期后连同本息再续存3年期. c.“3+2”型，即：先存3年期，到期后连同本息再续存2年期. d.“5+0”型，即：直接存5年期. 但在上述各方案中，5年后所得的本息和都相等吗？若不相等，那么哪一种方案的本息和最大？你从中能否得到一些结论？这是一个开放的课题，学生需要走出课堂进行调查，还可以通过查资料等多种途径获得全市、全国各大银行的利率情况，为自己制定决策提供依据.
走出课堂、走向社会，从生活中收集、整理、运用与数学有关的知识，在形式和实质上都改变了学生的学习方式. 提倡多样化的学习方式，使学生成为学习的真正主人，通过合作交流，有助于培养学生合作的精神和竞争意识，使学生的主体意识、能动性和创造性得到发展.
2.2 课题学习有利于培养学生的数学意识
我们生活在一个大千世界，有着各种各样的困惑，有着千奇百怪的问题等着我们去解决，它需要我们用数学的知识去解答. 课题学习目的之一就是为了沟通生活中的数学与课堂上的数学的联系，让学生在课题学习过程中接触到一些有研究和探索价值的题材和方法，有利于学生全面认识数学、了解数学，使数学在学生未来的职业和生活中发挥重要作用.
比如在学习“概率”一章时，我针对班级有部分同学买体育彩票、福利彩票等现象，设计了研究性课题，让学生在研究性课题中理解古典概率的定义，收到了较好的效果.
下面是湖北省第18期体育彩票的中奖情况：
说明：（1）每注由7个号码组成，每个号码均从0—9共十个数字中开出，例如中奖号码：3277381.
（2）每一个投注号只能兑最高奖级，不设兼中兼得.
（3）购买数量不限（一个号码2元），单注奖金最高限额 500万元.
根据以上材料回答以下问题：
ア 中一等奖、二等奖和三等奖的概率分别是多少？
② 某人分别花100元、1@000元、10@000元买彩票，中一等奖的概率各是多少？
③ 你愿意花10@000元买彩票吗？
通过计算学生明白了中一等奖、二等奖和三等奖的概率极低，要想在一夜之间成为“巨富”简直比登天还难. 因此我告诉同学们，买彩票要有一颗平常心，买彩票的主要目的是献爱心，而不是赢利，倘若孤注一掷，极有可能得不偿失，后悔莫及. 使学生知道数学无处不在，生活离不开数学，学好数学又能应用于实践，学好数学能使你更聪明.
2.3 课题学习有利于向学生渗透数学思想方法
在数学教学中，适时适度地向学生渗透数学思想方法，是初中数学的任务之一. 课题学习中蕴涵着大量的数学思想、数学方法. 面对生活、生产中的实际问题，通过抽象、概括、分析、综合将生活问题转化为数学问题. 再运用数学方法通过猜想、假设，再推翻假设，重新建立猜想，验证猜想，修正猜想，一步一步探索，最后得到正确的结论. 在课题学习中有一定量的数学思想方法有待于我们去挖掘、去渗透. 如：七（上）“制成一个尽可能大的无盖长方体”研究过程中的“逼近思想”；八（上）“拼图与勾股定理”中的“数形结合”思想；九（下）“设计遮阳蓬”的数学建模思想等.
如在七年级新教材出现了《可能性》，我从学生喜闻乐见的摸球游戏开始，通过实验，使学生体验有些事件发生的不确定性，并通过实例丰富对不确定事件的认识. 在教学过程中，要适当渗透概率思想，使学生体会到有的事件发生的随机性，并在自己实际生活中能够找到相关的事例. 如“福利彩票中奖率”，“玩转盘”，“转硬币”等等，并对事件发生的可能性有较为深刻的认识. 通过“转盘游戏”，让学生进一步体会事件发生的概率是有大小的，同时复习一些基本统计量（平均数）的意义，为今后进一步学习概率统计打下坚实的基础.
2. 4 课题学习有利于培养学生的探究能力
和接受性学习相比，课题学习具有更强的问题性、实践性、参与性和开放性. 课题学习可以从学科领域或现实社会生活中选择和确定研究主题，在教学中创设一种类似于科学（或学术）研究的情境，通过学生自主独立地发现问题、实验、操作、调查、信息搜集与处理、表达与交流等探索活动，获得知识、技能、情感与态度的发展，特别是探索精神和创新能力发展有很大的帮助.
如八年级数学（下）第四章第四节《相似多边形》中有这样一道题：一块长3m，宽1.5m的矩形黑板如图2所示：镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么?
当时同学们是这样做的：
300300+15=300315;150150+15=150165=300330;
ハ匀唬300315≠300330,所以：300300+15≠150150+15.
ね2图3
所以边框的内外边缘所成的矩形不相似.
本题是一道简单的多边形相似概念题，我把它改成学生课后作业题进行思考、探究，“请同学们，利用课余时间探索一下：镶在外围木质边框的宽为多少时，边框的内外边缘所成的矩形可以相似？”第二天，使我意想不到的是作业上交批改后，我惊奇地发现：学生的解法各种各样，精彩纷呈. 方法有：
学生1：无论边框宽为多少，边框的内外边缘所成的矩形都不可能相似. 他的解法如下：
如图3，设镶在外围木质边框宽为xm，则外围边框长为3+2x，宽为1.5+2x，若两个矩形要相似，则必有33+2x=1.51.5+2x,
ソ庵得：x=0.
这说明要使边框的内外边缘所成的矩形相似，这时镶在外围木质边框的宽只能为0，显然这种情况是不成立的.
学生2：如图4，若外围木质边框宽度不一样时，则可以得到边框内外矩形相似. 比如说：若横向扩宽1m，纵向扩宽0.5m则扩充后的矩形的长为5m，宽为2.5m.
因为：1.52.5=35且四个角对应相等，所以扩宽前后两个矩形相似.
学生3：只要满足宽扩宽的宽度∶长扩宽宽度=原矩形的长∶宽，则两个矩形必定相似.
图4图5
证明 如图5,设原矩形长为a，宽为b,左右扩宽 x, 上下扩宽y,要使两个矩形相似则必有：
aa+2x=bb+2y整理得：
ay=bx,所以：xy=ab.
所以满足宽扩宽宽度∶长扩宽宽度=原矩形的长∶宽，则两个矩形必定相似.
学生4：从上面结果中，还得出当a=b时，要使两个矩形相似则必须有即当原矩形为正方形时，只要外围的边框宽度都一样时，则边框内外的矩形（正方形）必定相似，否则不相似.
学生5：若边框四周的宽度都不一样时：则只要满足左右边框宽度之和∶上下边框
宽度之和=原矩形长∶宽，边框内外矩形相似.
图6
证明 如图6，设原矩形长为a，宽为b,边框宽度依次为x1,x2,x3,x4要使两个矩形相似则必有：
aa+x4+x2=bb+x1+x3整理得：ab+a(x1+x3)=ab+b(x2+x4)所以有：a(x1+x3)=b(x2+x4),即：(x2+x4)(x1+x3)=ab.
所以当左右边框宽度之和∶上下边框宽度之和 = 原矩形长∶宽，则边框内外矩形相似.
数学教育要着眼于学生的发展，强调学生是发现者，让学生感受和理解知识形成和发展的过程，掌握基本的科学方法，能通过自己的探索与发现得出结论、找到答案. 我想，这样的学习成果，只有在课题学习的基础上才会出现，学生的探究能力，自然在学习中得以培养和提高.
2.5 课题学习有利于培养学生的动手实践能力
“课题学习”改变了常规的学习方式，也改变了常规的教学方式. 它是学生在比较广泛教育资源的背景下所开展的自主的、开放的、探究式的学习活动. 让学生学会用自己的眼睛去观察，用自己的头脑去判断，用自己的语言去表达，能够成为独特的自我. 例如：在九（下）的《设计遮阳蓬》一课中，我根据座位的远近、学生程度的优劣把学生分成几组（以后可以随着学生对这一活动的熟悉自愿组合），一般是5人一组，选出小组长. 布置遮阳蓬的设计任务，让学生在小组间进行讨论：对问题进行分析；提出解决问题的方案；概括出所用的数学知识和方法. 小组间进行分工，并进行现场操作. 又如：在课题学习《制作视力表》时，就要求学习小组在课后制作一张可供使用的视力表；在《测量建筑物的高度》一课时，我是把学生带出课堂，在学校的操场上完成这节课的. 学生表现出比课堂更高的学习热情，研究出各种各样的测量方法，课后整理成测量方案，这要比教师在教室里“纸上谈兵”效果好得多，学生的动手能力自然地在活动中得到提高.
3 加强课题学习的三点措施
3.1 更新观念，提高对课题学习活动课的认识
①实践活动加强了学生创新精神和实践能力的培养
实践活动教学是指在教学过程中，以直接经验和综合信息为主要内容，以具有教育性、创造性、实践性、操作性的学生主体活动为主要形式，以激励学生主动参与、主动思考、主动探索、主动创造为基本特征，以促进学生整体素质全面提高为目的的一种新型的教学观念和教学形式. 例如，七年级（下）学生在学习了轴对称后，设计“美丽的图画”操作性实践活动课，开展“折一折，拼一拼，剪一剪，画一画，说一说”等系列活动，使学生形象地看到当两个或几个图形拼起来会出现一个新的图形，这样易于发展学生的形象思维，培养学生的想象力和动手实践能力
② 实践活动关注“过程”的教育价值
我们的教学往往让学生去记忆现成的知识，有意无意地压缩了学生对新知识的认识过程，造成学生“知其然，不知其所以然”. 然而，学生素质中最重要的态度、情感、意志等个性品质特征的培养大多是在学习活动的过程中逐步实现的. 实践活动倡导“让学生去经历”，强调学生活动对学习数学的重要性，认为学生的实践、探索与思考是学生理解数学的重要条件. 学生在探索中不断发现，在交流中不断碰撞，在思考中相互接纳. 学生不仅能体验到进步的快乐、成功的喜悦，有时也会受到一定的挫折教育. 实现了智力与能力的共同发展. 可以这样说，实践活动的价值并不仅仅体现在活动结束时所获得的某种有形的成果（知识理解的对或错、完成作业的优或差等），更体现在活动过程之中易于被人们所忽视的一些无形的东西，如情感体验等.
③实践活动重视学生对知识的主动建构
建构主义学习理论认为，数学学习不是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程，即通过内部认识结构与周围环境之间的相互作用来建构知识. 这就是说，我们的教学必须建立在学生已有的知识和经验的基础上，创设条件使新的学习材料与学生原有的认知结构相互作用，让学生主动地建构新的数学认知结构.
实践活动提倡“做中学”也就是让学生在各种各样的操作探究、体验活动中，去参与知识的生成过程、发展过程，主动地发现知识，体会数学知识的来龙去脉，培养主动获取知识的能力. 例如，教学圆锥的体积计算公式一课，传统的教学一般是教师演示学具，得出V=13Sh,然后应用公式进行计算. 根据“做中学”的指导思想，我在教学此课时，采用小组操作探究的方法. 首先让学生操作学具，（等底等高和不等底不等高的圆锥圆柱装沙子），写出实验报告单，然后让学生分析报告单，发现规律，得出圆锥体的体积公式V= 13Sh. 在应用中出示了一圆锥体沙堆，让学生用不同的方法去测量，计算出其体积，整个过程都是学生主体活动的过程. 实践证明，其效果是传统教学不能比拟的.
3.2 精心设计实践活动，培养学生的实践能力
数学教学中的实践活动一般分为课内实践活动和课外实践活动两种方式. 课内实践活动以解决单一知识点为主，活动内容一般课内完成. 课外实践活动相对范围较宽，多用于众多知识点的学习和综合能力的训练等，而且活动时间较长. 教师设计实践活动一般要从紧密联系教材内容和学生生活来考虑，中学阶段常用的实践活动一般可分为以下几种:ア俨僮饔胫谱魇导活动
苏霍姆林斯基说过: 手和脑之间有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更明智；脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子. 操作与制作实践活动就是把学生手的动作和脑的思维结合起来，以活动促思维，调动学生各种感官参与学习活动. 这类实践活动在数学教学中应用较为普遍. 例如：教学“同类项”，让学生操作学具，在大量的具体事物中，抽象出同类项的概念；再如：教学三角形的认识后，让学生观察生活中哪些物体使用了三角形的稳定性（修理家中或班级中坏了的课桌椅等）；教学生活中的立体图形之后，让学生制作各种纸盒等. 这些教学改变了“耳听口说”的简单化学习模式，让学生多种感官参与学习，使学生更容易理解和接受知识
②游戏竞赛实践活动
数学有较强的趣味性，如果把它和游戏、竞赛活动巧妙地结合起来，将会起到事半功倍的效果. 例如：教学“游戏对双方公平”一课现实性的生活内容，能够赋予数学足够的活力和灵性. 对许多学生来说，“扑克”和“游戏”是很感兴趣的内容，因此，也具有现实性，即回归生活（抛硬币、骰子）——让学生感知学习数学可以让生活增添许多乐趣，同时也让学生感知到数学就在我们身边，学生学习的数学应当是生活中的数学，是学生“自己身边的数学”.
③观察、调查实践活动ナ学来源于实践. 现实生活、生产中处处蕴涵着数学问题，教师应创设条件，让学生走出校门、走向社会. 了解数学在生活中的应用，体验数学的价值，树立学好数学的信心. 例如“红灯与绿灯”一课，这是一个与交通法规的宣传教育相结合的课题学习，让学生从真实数据中寻求问题的答案. 使学生尝试着在实际生活中用数学的眼光发现和提出问题，锻炼用数据、图表等表达自己观点的能力.
④小课题研究实践活动
21世纪是信息时代，学会收集、分析、处理信息愈来愈显得重要，教师要善于引导学生把发生在自己身边的一些问题抽象出来，转换成数学问题设计实践活动课. 例如：针对学生“零花钱过多，乱花零花钱”的现象，可设计“手中的零花钱”一节实践活动课，让学生调查零花钱的来源、支出情况，分析零花钱的利弊，最后提出“培养勤俭节约，不乱花钱”的倡议和可行性方案. 针对春游中路线的设计、乘车方案、购买门票等问题让学生进行科学的规划、设计，培养学生解决实际问题的能力，也可设计：“春游中的数学问题”一节实践活动课.
3.3 设计“生活数学”系列活动，养成学生自觉运用数学知识的习惯与能力
强调数学与现实生活的联系现已成为各发达国家课程内容改革的共同取向. 国外一些专家提出“用数学于现实世界”的口号，对实用性的知识十分重视，力求学不在多，而在有用. 为帮助学生了解数学知识应用于现实生活中的形态，掌握实践中常用的一些数学知识与方法，会用书本知识进行实践操作和初步具备把现实生活中的实际问题转化为数学问题，我为学生开设了“生活数学”系列活动，架起了理论与实践之间的桥梁，有效地促进了学生自觉运用数学知识的习惯和能力的培养. 书本知识运用于现实生活，往往以不同的活动形式为载体，在实践活动中完成的. 所以，我总是配合教学进度，有意识、有目的、有计划地为学生设计一些“生活数学”的系列活动，让学生根据自身的知识水平与能力去完成，可以独立完成，也可以合作参与，完成其中的某一方面. 还可开展如“购物”、“租车”等生活数学活动. 这样，通过从日常生活中寻找、发现数学问题，设计“生活数学”系列活动，为学生自觉运用数学知识于现实生活之中，为学生展示自己的聪明才智搭设一个舞台. 不仅有效地培养了学生自觉运用数学知识的习惯与能力，更重要的是把数学知识与其他学科、生活情境有机地结合在了一起，让数学教学焕发出应有的生命活力.
げ慰嘉南:
ぃ1］ 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社，2001,7.
ぃ2］ 刘兼，孙晓天.数学课程标准解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2002,5.
ぃ3］ 刘谦.数学课程标准解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2002.
おず北襄樊市第十九中学 441000
オ
1 问题的提出
新课程标准的出台和新教材的实验与推广，加大了教学改革的力度，也为教学改革提供了广阔的前景，为培养学生的创新意识和实践能力提供了良好的空间. 新教材无论从内容设计上还是呈现形式上，都给传统的教学模式以冲击，也给从事教育事业的教师们带来了一个新课题──如何上好“课题学习”课. 课题学习活动的主要目的是让学生在解决问题的过程中经历合作学习、多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考问题、尝试解释不同答案合理性的活动，加深对相关知识的理解、发展其创新意识和实践能力，而不是学习新知识或者获得问题的结论. 新《课标》也给我们明确提出：数学教学的最终目的是学生的整体发展. 对不同的学生而言，由于他们在所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式等方面存在着差异，因此，他们头脑中所理解的数学带有明显的“个性色彩”，他们的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．在这个意义之下，数学教材需要改变原有的内涵和形式 —— 不再是学生从事数学学习活动时的模仿对象，或者说，她向学生提供的不再是一种“不容改变”的、定论式的客观数学知识结构，而应当具备新的含义：以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式 —— 课题学习实践活动教学. 而新教材中的课题学习课改变传统教学模式中以知识记忆为特征的陈旧方法，让学生在解决具体问题的过程中和对数学本身的探索中理解、掌握和应用数学. 为此，笔者提出：要以“课题学习”为载体推动初中数学实践活动教学，从而提高学生解决生活实际问题的实践能力和创新意识.
2 课题学习的意义和作用
课题学习是根据我国的国情和教学现状，改“学数学”为“做数学”，与国际教学接轨的一项举措，是一种全新的课程理念. 开展数学课题学习，有助于扩大学生的视野，拓宽学生的知识面，促进学生思维的发展；是培养学生数学的应用能力，大众化普及数学教育，全面提高学生综合数学素质，培养学生创新实践能力的较好手段之一. 我认为“课题学习”虽然在教材的整个课时中占的比例不大，却为满足学生以上需要搭建了一个平台，而且它将对人才培养模式的改变，促进全面发展、提高学生的综合素质影响深远. 这应该是教材安排这一内容的出发点和落脚点.
2.1 课题学习有利于改变学生的学习方式
新课标理念下的数学教学，是师生之间、学生之间交流互动与共同发展的过程. 根据初中学生年龄特点和新课改的要求，整个初中数学教学都是在进行初步的探究性、创造性教学活动. 特别是新增“课题学习”这一内容，更是一个实验、探索、交流的过程，体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，由此发展自己的思维能力，根据要求设计实施最佳数学活动方案. 这样的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，传统的接受学习已不能适应课题学习，这就要求学生采取不同以往的学习方式. 动手实践、自主探索与合作交流已成为学生学习数学的重要方式.
例如：在七年级上册《探索规律》一课后，我设计了这样的一个课题学习：“包装的样式与表面积有什么关系，怎样包装，使包装纸最省呢？” 现有6盒磁带，你认为怎样包装好，大约需要多少包装纸？每种包装方法与表面积有什么关系，哪个样式用的纸最少？要求学生先通过测量一个磁带盒的长、宽、高并计算出表面积. 然后课后调查研究、合作学习，写出发现的结论，在班级里交流. 学生汇报时，共发现9种不同的包法（如图1），同时发现了两个关键点：（1）重叠的面积越大，包装的表面积就越小，用的纸也就越少. （2）根据不同的需要，可选择不同的包装方法.
又如，在学习有理数的计算时，我设计了一道双休日作业《存款利息的计算》：随着生活水平的提高，大部分家庭在银行有了存款. 下面请你参加有关利息的调查与计算 ：（1）到学校附近的各家银行，了解定期储蓄半年期、1年期、2年期、3年期、5年期的年利率. 了解本金、利息、本息和、利息税等名称的含义. （2）不同的银行，年利率是否相同？（3）小明同学的家长为他准备了1万元，作为5年后读大学的费用. 家长打算把这1万元存在银行，5年后一次性支取本息，可有如下几种存款方案供他选择： a.“1+1+1+1+1”型，即：存1年期，到期后连同本息再续存1年期，如此重复，直至5年. b.“2+3”型，即：先存2年期，到期后连同本息再续存3年期. c.“3+2”型，即：先存3年期，到期后连同本息再续存2年期. d.“5+0”型，即：直接存5年期. 但在上述各方案中，5年后所得的本息和都相等吗？若不相等，那么哪一种方案的本息和最大？你从中能否得到一些结论？这是一个开放的课题，学生需要走出课堂进行调查，还可以通过查资料等多种途径获得全市、全国各大银行的利率情况，为自己制定决策提供依据.
走出课堂、走向社会，从生活中收集、整理、运用与数学有关的知识，在形式和实质上都改变了学生的学习方式. 提倡多样化的学习方式，使学生成为学习的真正主人，通过合作交流，有助于培养学生合作的精神和竞争意识，使学生的主体意识、能动性和创造性得到发展.
2.2 课题学习有利于培养学生的数学意识
我们生活在一个大千世界，有着各种各样的困惑，有着千奇百怪的问题等着我们去解决，它需要我们用数学的知识去解答. 课题学习目的之一就是为了沟通生活中的数学与课堂上的数学的联系，让学生在课题学习过程中接触到一些有研究和探索价值的题材和方法，有利于学生全面认识数学、了解数学，使数学在学生未来的职业和生活中发挥重要作用.
比如在学习“概率”一章时，我针对班级有部分同学买体育彩票、福利彩票等现象，设计了研究性课题，让学生在研究性课题中理解古典概率的定义，收到了较好的效果.
下面是湖北省第18期体育彩票的中奖情况：
说明：（1）每注由7个号码组成，每个号码均从0—9共十个数字中开出，例如中奖号码：3277381.
（2）每一个投注号只能兑最高奖级，不设兼中兼得.
（3）购买数量不限（一个号码2元），单注奖金最高限额 500万元.
根据以上材料回答以下问题：
ア 中一等奖、二等奖和三等奖的概率分别是多少？
② 某人分别花100元、1@000元、10@000元买彩票，中一等奖的概率各是多少？
③ 你愿意花10@000元买彩票吗？
通过计算学生明白了中一等奖、二等奖和三等奖的概率极低，要想在一夜之间成为“巨富”简直比登天还难. 因此我告诉同学们，买彩票要有一颗平常心，买彩票的主要目的是献爱心，而不是赢利，倘若孤注一掷，极有可能得不偿失，后悔莫及. 使学生知道数学无处不在，生活离不开数学，学好数学又能应用于实践，学好数学能使你更聪明.
2.3 课题学习有利于向学生渗透数学思想方法
在数学教学中，适时适度地向学生渗透数学思想方法，是初中数学的任务之一. 课题学习中蕴涵着大量的数学思想、数学方法. 面对生活、生产中的实际问题，通过抽象、概括、分析、综合将生活问题转化为数学问题. 再运用数学方法通过猜想、假设，再推翻假设，重新建立猜想，验证猜想，修正猜想，一步一步探索，最后得到正确的结论. 在课题学习中有一定量的数学思想方法有待于我们去挖掘、去渗透. 如：七（上）“制成一个尽可能大的无盖长方体”研究过程中的“逼近思想”；八（上）“拼图与勾股定理”中的“数形结合”思想；九（下）“设计遮阳蓬”的数学建模思想等.
如在七年级新教材出现了《可能性》，我从学生喜闻乐见的摸球游戏开始，通过实验，使学生体验有些事件发生的不确定性，并通过实例丰富对不确定事件的认识. 在教学过程中，要适当渗透概率思想，使学生体会到有的事件发生的随机性，并在自己实际生活中能够找到相关的事例. 如“福利彩票中奖率”，“玩转盘”，“转硬币”等等，并对事件发生的可能性有较为深刻的认识. 通过“转盘游戏”，让学生进一步体会事件发生的概率是有大小的，同时复习一些基本统计量（平均数）的意义，为今后进一步学习概率统计打下坚实的基础.
2. 4 课题学习有利于培养学生的探究能力
和接受性学习相比，课题学习具有更强的问题性、实践性、参与性和开放性. 课题学习可以从学科领域或现实社会生活中选择和确定研究主题，在教学中创设一种类似于科学（或学术）研究的情境，通过学生自主独立地发现问题、实验、操作、调查、信息搜集与处理、表达与交流等探索活动，获得知识、技能、情感与态度的发展，特别是探索精神和创新能力发展有很大的帮助.
如八年级数学（下）第四章第四节《相似多边形》中有这样一道题：一块长3m，宽1.5m的矩形黑板如图2所示：镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么?
当时同学们是这样做的：
300300+15=300315;150150+15=150165=300330;
ハ匀唬300315≠300330,所以：300300+15≠150150+15.
ね2图3
所以边框的内外边缘所成的矩形不相似.
本题是一道简单的多边形相似概念题，我把它改成学生课后作业题进行思考、探究，“请同学们，利用课余时间探索一下：镶在外围木质边框的宽为多少时，边框的内外边缘所成的矩形可以相似？”第二天，使我意想不到的是作业上交批改后，我惊奇地发现：学生的解法各种各样，精彩纷呈. 方法有：
学生1：无论边框宽为多少，边框的内外边缘所成的矩形都不可能相似. 他的解法如下：
如图3，设镶在外围木质边框宽为xm，则外围边框长为3+2x，宽为1.5+2x，若两个矩形要相似，则必有33+2x=1.51.5+2x,
ソ庵得：x=0.
这说明要使边框的内外边缘所成的矩形相似，这时镶在外围木质边框的宽只能为0，显然这种情况是不成立的.
学生2：如图4，若外围木质边框宽度不一样时，则可以得到边框内外矩形相似. 比如说：若横向扩宽1m，纵向扩宽0.5m则扩充后的矩形的长为5m，宽为2.5m.
因为：1.52.5=35且四个角对应相等，所以扩宽前后两个矩形相似.
学生3：只要满足宽扩宽的宽度∶长扩宽宽度=原矩形的长∶宽，则两个矩形必定相似.
图4图5
证明 如图5,设原矩形长为a，宽为b,左右扩宽 x, 上下扩宽y,要使两个矩形相似则必有：
aa+2x=bb+2y整理得：
ay=bx,所以：xy=ab.
所以满足宽扩宽宽度∶长扩宽宽度=原矩形的长∶宽，则两个矩形必定相似.
学生4：从上面结果中，还得出当a=b时，要使两个矩形相似则必须有即当原矩形为正方形时，只要外围的边框宽度都一样时，则边框内外的矩形（正方形）必定相似，否则不相似.
学生5：若边框四周的宽度都不一样时：则只要满足左右边框宽度之和∶上下边框
宽度之和=原矩形长∶宽，边框内外矩形相似.
图6
证明 如图6，设原矩形长为a，宽为b,边框宽度依次为x1,x2,x3,x4要使两个矩形相似则必有：
aa+x4+x2=bb+x1+x3整理得：ab+a(x1+x3)=ab+b(x2+x4)所以有：a(x1+x3)=b(x2+x4),即：(x2+x4)(x1+x3)=ab.
所以当左右边框宽度之和∶上下边框宽度之和 = 原矩形长∶宽，则边框内外矩形相似.
数学教育要着眼于学生的发展，强调学生是发现者，让学生感受和理解知识形成和发展的过程，掌握基本的科学方法，能通过自己的探索与发现得出结论、找到答案. 我想，这样的学习成果，只有在课题学习的基础上才会出现，学生的探究能力，自然在学习中得以培养和提高.
2.5 课题学习有利于培养学生的动手实践能力
“课题学习”改变了常规的学习方式，也改变了常规的教学方式. 它是学生在比较广泛教育资源的背景下所开展的自主的、开放的、探究式的学习活动. 让学生学会用自己的眼睛去观察，用自己的头脑去判断，用自己的语言去表达，能够成为独特的自我. 例如：在九（下）的《设计遮阳蓬》一课中，我根据座位的远近、学生程度的优劣把学生分成几组（以后可以随着学生对这一活动的熟悉自愿组合），一般是5人一组，选出小组长. 布置遮阳蓬的设计任务，让学生在小组间进行讨论：对问题进行分析；提出解决问题的方案；概括出所用的数学知识和方法. 小组间进行分工，并进行现场操作. 又如：在课题学习《制作视力表》时，就要求学习小组在课后制作一张可供使用的视力表；在《测量建筑物的高度》一课时，我是把学生带出课堂，在学校的操场上完成这节课的. 学生表现出比课堂更高的学习热情，研究出各种各样的测量方法，课后整理成测量方案，这要比教师在教室里“纸上谈兵”效果好得多，学生的动手能力自然地在活动中得到提高.
3 加强课题学习的三点措施
3.1 更新观念，提高对课题学习活动课的认识
①实践活动加强了学生创新精神和实践能力的培养
实践活动教学是指在教学过程中，以直接经验和综合信息为主要内容，以具有教育性、创造性、实践性、操作性的学生主体活动为主要形式，以激励学生主动参与、主动思考、主动探索、主动创造为基本特征，以促进学生整体素质全面提高为目的的一种新型的教学观念和教学形式. 例如，七年级（下）学生在学习了轴对称后，设计“美丽的图画”操作性实践活动课，开展“折一折，拼一拼，剪一剪，画一画，说一说”等系列活动，使学生形象地看到当两个或几个图形拼起来会出现一个新的图形，这样易于发展学生的形象思维，培养学生的想象力和动手实践能力
② 实践活动关注“过程”的教育价值
我们的教学往往让学生去记忆现成的知识，有意无意地压缩了学生对新知识的认识过程，造成学生“知其然，不知其所以然”. 然而，学生素质中最重要的态度、情感、意志等个性品质特征的培养大多是在学习活动的过程中逐步实现的. 实践活动倡导“让学生去经历”，强调学生活动对学习数学的重要性，认为学生的实践、探索与思考是学生理解数学的重要条件. 学生在探索中不断发现，在交流中不断碰撞，在思考中相互接纳. 学生不仅能体验到进步的快乐、成功的喜悦，有时也会受到一定的挫折教育. 实现了智力与能力的共同发展. 可以这样说，实践活动的价值并不仅仅体现在活动结束时所获得的某种有形的成果（知识理解的对或错、完成作业的优或差等），更体现在活动过程之中易于被人们所忽视的一些无形的东西，如情感体验等.
③实践活动重视学生对知识的主动建构
建构主义学习理论认为，数学学习不是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程，即通过内部认识结构与周围环境之间的相互作用来建构知识. 这就是说，我们的教学必须建立在学生已有的知识和经验的基础上，创设条件使新的学习材料与学生原有的认知结构相互作用，让学生主动地建构新的数学认知结构.
实践活动提倡“做中学”也就是让学生在各种各样的操作探究、体验活动中，去参与知识的生成过程、发展过程，主动地发现知识，体会数学知识的来龙去脉，培养主动获取知识的能力. 例如，教学圆锥的体积计算公式一课，传统的教学一般是教师演示学具，得出V=13Sh,然后应用公式进行计算. 根据“做中学”的指导思想，我在教学此课时，采用小组操作探究的方法. 首先让学生操作学具，（等底等高和不等底不等高的圆锥圆柱装沙子），写出实验报告单，然后让学生分析报告单，发现规律，得出圆锥体的体积公式V= 13Sh. 在应用中出示了一圆锥体沙堆，让学生用不同的方法去测量，计算出其体积，整个过程都是学生主体活动的过程. 实践证明，其效果是传统教学不能比拟的.
3.2 精心设计实践活动，培养学生的实践能力
数学教学中的实践活动一般分为课内实践活动和课外实践活动两种方式. 课内实践活动以解决单一知识点为主，活动内容一般课内完成. 课外实践活动相对范围较宽，多用于众多知识点的学习和综合能力的训练等，而且活动时间较长. 教师设计实践活动一般要从紧密联系教材内容和学生生活来考虑，中学阶段常用的实践活动一般可分为以下几种:ア俨僮饔胫谱魇导活动
苏霍姆林斯基说过: 手和脑之间有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更明智；脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子. 操作与制作实践活动就是把学生手的动作和脑的思维结合起来，以活动促思维，调动学生各种感官参与学习活动. 这类实践活动在数学教学中应用较为普遍. 例如：教学“同类项”，让学生操作学具，在大量的具体事物中，抽象出同类项的概念；再如：教学三角形的认识后，让学生观察生活中哪些物体使用了三角形的稳定性（修理家中或班级中坏了的课桌椅等）；教学生活中的立体图形之后，让学生制作各种纸盒等. 这些教学改变了“耳听口说”的简单化学习模式，让学生多种感官参与学习，使学生更容易理解和接受知识
②游戏竞赛实践活动
数学有较强的趣味性，如果把它和游戏、竞赛活动巧妙地结合起来，将会起到事半功倍的效果. 例如：教学“游戏对双方公平”一课现实性的生活内容，能够赋予数学足够的活力和灵性. 对许多学生来说，“扑克”和“游戏”是很感兴趣的内容，因此，也具有现实性，即回归生活（抛硬币、骰子）——让学生感知学习数学可以让生活增添许多乐趣，同时也让学生感知到数学就在我们身边，学生学习的数学应当是生活中的数学，是学生“自己身边的数学”.
③观察、调查实践活动ナ学来源于实践. 现实生活、生产中处处蕴涵着数学问题，教师应创设条件，让学生走出校门、走向社会. 了解数学在生活中的应用，体验数学的价值，树立学好数学的信心. 例如“红灯与绿灯”一课，这是一个与交通法规的宣传教育相结合的课题学习，让学生从真实数据中寻求问题的答案. 使学生尝试着在实际生活中用数学的眼光发现和提出问题，锻炼用数据、图表等表达自己观点的能力.
④小课题研究实践活动
21世纪是信息时代，学会收集、分析、处理信息愈来愈显得重要，教师要善于引导学生把发生在自己身边的一些问题抽象出来，转换成数学问题设计实践活动课. 例如：针对学生“零花钱过多，乱花零花钱”的现象，可设计“手中的零花钱”一节实践活动课，让学生调查零花钱的来源、支出情况，分析零花钱的利弊，最后提出“培养勤俭节约，不乱花钱”的倡议和可行性方案. 针对春游中路线的设计、乘车方案、购买门票等问题让学生进行科学的规划、设计，培养学生解决实际问题的能力，也可设计：“春游中的数学问题”一节实践活动课.
3.3 设计“生活数学”系列活动，养成学生自觉运用数学知识的习惯与能力
强调数学与现实生活的联系现已成为各发达国家课程内容改革的共同取向. 国外一些专家提出“用数学于现实世界”的口号，对实用性的知识十分重视，力求学不在多，而在有用. 为帮助学生了解数学知识应用于现实生活中的形态，掌握实践中常用的一些数学知识与方法，会用书本知识进行实践操作和初步具备把现实生活中的实际问题转化为数学问题，我为学生开设了“生活数学”系列活动，架起了理论与实践之间的桥梁，有效地促进了学生自觉运用数学知识的习惯和能力的培养. 书本知识运用于现实生活，往往以不同的活动形式为载体，在实践活动中完成的. 所以，我总是配合教学进度，有意识、有目的、有计划地为学生设计一些“生活数学”的系列活动，让学生根据自身的知识水平与能力去完成，可以独立完成，也可以合作参与，完成其中的某一方面. 还可开展如“购物”、“租车”等生活数学活动. 这样，通过从日常生活中寻找、发现数学问题，设计“生活数学”系列活动，为学生自觉运用数学知识于现实生活之中，为学生展示自己的聪明才智搭设一个舞台. 不仅有效地培养了学生自觉运用数学知识的习惯与能力，更重要的是把数学知识与其他学科、生活情境有机地结合在了一起，让数学教学焕发出应有的生命活力.
げ慰嘉南:
ぃ1］ 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社，2001,7.
ぃ2］ 刘兼，孙晓天.数学课程标准解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2002,5.
ぃ3］ 刘谦.数学课程标准解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2002.
