观形溯源探全等 悟图抒感寻辅助

    郭小蔚

    

    

    

    摘? ?要：手拉手模型是常见的三角形全等模型，从线段或三角形旋转构建双等边三角形和双等腰直角三角形两个方面，谈构建手拉手全等模型辅助线添加方法，引导学生分辨题型，提高解题效率.

    关键词：手拉手全等型;辅助线

    三角形是初中几何的核心内容.纵览近几年全国中考数学试题，在对学生创新能力和迁移能力的考查中，三角形全等问题成为主要的考核内容，选择题、填空题、证明题都有涉及全等三角形知识的考核，而且全等三角形越来越经常出现在压轴题部分，手拉手模型是全等三角形常见的模型，近几年中考几何压轴题经常出现手拉手的模型.

    当命题的题设无法直接得出结论时，就需要搭桥铺路，构建题设与结论的“小三通”——辅助线了.辅助线就成了连结题设与结论的快速通道.等腰三角形是特殊的几何图形，在解决全等三角形的有关问题时，常常添加辅助线构造两个共顶点的全等的等腰三角形，这两个有共同顶角顶点的全等的等腰三角形俗称“手拉手模型”.但由于含有手拉手条件的问题其辅助线作法灵活，不少学生难以掌握，本文就针对构建手拉手全等模型谈谈辅助线的添加方法.

    1? 线段或三角形旋转构建双等边三角形的手拉手的模型

    1.1? 吟其题，观其形，简图在心中

    数学教学离不开图形，而对图形的掌握和利用又是学生的一个薄弱点.中考复习中设计恰当的数学情境，让学生领悟、理解、发现、总结全等构建法，简图在心中，这对学生来说是一种方向、一种创新，可使学生更熟练掌握构建全等三角形辅助线的添加方法.

    【例题1】江西省2018年中等学校招生考试24题

    菱形ABCD中，∠ABC=60°，P为射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形ΔAPE，点E的位置随点P的位置变化而变化.

    （1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是______________，CE与AD的位置关系是______________ .

    （2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明;若不成立，请说明理由（请选择图2，予以证明或说理）.

    （3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2，BE=2，求四边形ADPE的面积.

    引导学生吟题观形，本题存在共顶点的线段AP，AE，等边ΔAPE及∠ABC=60°，学会一边读题，一边从复杂的图形中抽象出自己熟悉的基本图形，如图4的图4-1，本题的第（1）小题有明显的提示语：BP与CE的数量关系是什么？证明线段相等在初中阶段最常用的方法就是证明三角形全等，再观察可发现，本题小题与小题之间的关系是并列关系，第（2）（3）小题E在菱形ABCD外，图形虽然变了，但是解题方法可以延续，一样连结AC，构建共点旋转，证明ΔBAP与ΔCAE全等即可得证.

    发现基本图形，连结AC构建成完整的手拉手模型，再证ΔBAP与ΔCAE全等，第（2）小题和第（3）小题E点在菱形ABCD外部，虽然图形没有完全一样，但究其根本还是手拉手全等型，剥离出本题的基本图形如图4-2，图4-3所示，延续第（1）小题的辅助线方法，SAS证全等一样可以解决问题.本题是2018年江西中等学校招生考试24题，处于倒数第二题的位置，辅助线的构建是解题的关键.

    1.2? 探其源，感其情，形美在題中

    探索题设与结论之间的快速通道，释题、析图、变换、组合，寻其根本，揭示问题的本质，对数学美的探究与教育，回归教材是关键，即使学生并不能完全说明原题是教材的哪些题目的改编题，但是教师给予他们关注的视角与路径，学生在耳濡目染中，会更关注图形，从图形中发现教材中的基本图形，回归基础，能够领悟到图形美，尽管图形复杂，但心有灵犀一点通.能有意识地套用基本图形，逢山开路，遇水搭桥，构建辅助线，发现问题，解决问题.

    【例题2】2018年广州市初中毕业生考试第25题

    如图5，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=AC

    （1）求∠A+∠C的度数;

    （2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由;

    （3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度.

    本题是2018年广州市初中毕业生考试的最后一题，题目简练，图形干净，很多全等三角形知识贮备提取障碍的同学只做了第（1）小题后直接放弃对第（2）小题，第（3）小题的探索，当然，也有一小部分同学即使在第（2）小题辅助线不会添加，但结合了第（3）小题的AE2=BE2+CE2写出了第（2）小题的结论.这道压轴题虽然题目精练，但图形特征明显，标记一：∠B=60°，标记二：AB=BC，如果根据第（2）小题连结了BD，那么特征就更明显了，ΔBCD就出现了，四边形的问题又转化为三角形来研究，根据题目标记一：∠B=60°，标记二：AB=BC，典型的的手拉手“残疾”模型，把线段BD逆时针（顺时针也行）旋转60°，构建如图6.

    笔者浏览了大量试题发现，解答题中的小题与小题之间的关系基本是这两种情况：一是小题与小题之间是递进关系，第（1）小题为第（2）小题服务，第（2）小题为第（3）小题服务;二是小题与小题之间是并列关系，题与题之间图形不同，条件不同，但是题与题之间延续的是相同的方法.

    本题的第（3）小题与第（2）小题就是并列关系，第（3）小题可以延续第（2）小题的方法再构建一个手拉手全等型.

    把BE逆时针旋转60°得线段BF，连结线段AF，AE，EF，如图7，易得ΔBEF是等边三角形， ΔBFA≌ ΔBEC，

    ∴CE=AF .

    ∵AE2=BE2+CE2，

    ∵AE2=EF2+AF2，

    ∴∠AFE=90°.

    ∵∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°.

    ∵∠BEC=150°，

    E在四边形ABCD内部运动.

    ∴E的运动轨迹是以O为圆心的劣弧BC上，不包括端点B，C，

    ∴l弧BC==.

    本题题目的背景虽然是四边形问题，但是学生如果对构造手拉手模型的应用不是很熟练的话，要做这个压轴题就有一定的难度了。

    1.3? 悟其美，抒其感，辅助在手中

    全等三角形给予学生数学美的享受，作为初中数学的重点，三角形引领学生由浅入深，开启数学美的旅程，随着中考复习对数学活动经验的积累，学生有意识地在题设与结论之间建立条件反射弧，提炼图形美，完成基本图形构造.

    【例题3】（2019年龙岩市九年级学业（升学）质量检查数学试题第16题）

    如图8，ΔABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=5，P是ΔABC 内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为_______.

    这道题其实是一个费马点问题，要让PA+PB+PC取得最小值，常规解法是让PA+PB+PC连成一条线段，根据两点之间线段最短，求出最小值.对于不熟悉费马点的学生来说，这题也有特征性的语言，∠ABC=30°，本题是填空题压轴题，很多考生选择放弃，其实这题我们一样可以把ΔBAP逆时针旋转60°，得ΔBED，如图9易得：

    PA+PB+PC（min）

    =

    =.

    2? 线段或三角形旋转90°构建双等腰直角三角形的手拉手的模型

    2019年南平质检的第8题也是一个手拉手模型，

    【例题4】如图10，在等腰直角ΔABC中，∠ACB=90°，D为ΔABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE， 若∠DAB=10°，则∠ABE是（? ? ? ）.A.75 °? ? ? ?B. 78°? ? ? C. 80°? ? ?D.92°

    这题在2019年南平质检第8题的位置，学生很容易发现ΔCBE≌ ΔCAD，从而得出∠ABE=80 °.

    【例题5】福建省漳州市2019年初中毕业班质量检测数学试题第10题

    如图11，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点F，BH⊥AE于点G，连接OG，则下列结论中

    ①OF=OH? ? ? ? ? ②ΔAOF∽ΔBGF，

    ③ tan∠GOH=2? ④FG+GH=GO，正确的个数是（? ? ? ）.

    A. 1? ? ? B. 2? ? ?C. 3? ? ? ?D.4

    本题是漳州市2019年初中毕业班质量检测的第10小题，是选择题的压轴题，第①②小题利用三角形相似很容易得出，但大多考生对③④束手无策，如果考生们把第①的OF=OH线段相等作为特征一，把正方形ABCD的对角线AC与BD的夹角为90°作为特征二，又是一个手拉手残疾型，过O作OM⊥OG交AG于M，构建 ΔMOF≌ ΔGOH，如图12，可得三个结论：MF=GH，OM=OG，∠OMG=45°，再由MF+FG=GH+FG=GO，可证明结论④是正确的.

    由 ΔMOF和 ΔBFE组成的8字形可得：∠MOF=∠ABC.

    ∴tan∠GOH=tan∠AEB===2.

    又如：已知：如图13，AB=1，BC=2，AC=DC，AC⊥DC，A为动点，求线段BD的最大值.

    本题同样具备两个显著特征：

    特征一：AC=DC.

    特征二：AC⊥DC.

    又是一个手拉手残疾型，如图14，过C作CE⊥BC，连结AE易证ΔACE≌ ΔDCB（SAS）.

    当A，B，E三点共线时，线段BD取得最大值2+1.

    数学的寻美之旅须回归课本，应追根溯源，观其形，探其源，感其美，图形深深处，我自探其美 ，而这一系列寻美悟美的动作之后，终归要回到实践中，学生面对试题由“停杯投箸不能食，拔剑四顾心茫然”到“举杯握箸尽入禳，提笔一挥解疑难”的完美解题境界. 数学课堂上引领学生对三角形的认识与探究，能激发学生对几何辅助线的探索热情.加强审“美”体验，提升审“美”情趣，唤起对图形探究的欲望.引领他们去发掘图形背后的美，增强学生对图形的关注与敏感，激发潜能，启迪智慧，增强趣味，内化图形，直至吸引他们去运用，去寻找 .

    全等三角形是研究图形的重要工具，手拉手模型又是近年中考常见模型，寻找共端点的两条等长线段，寻找题目中隐含的60°、90°角，以其中的一条线段旋转60°，90°度构建全等三角形，可能就是有效解决问题的途径.

    深挖题设中的隐含条件，发现图形秘密，添加辅助线构建特殊的等腰三角形全等，能快速解决线段相等、角相等问题，所以找准触点，几何也能令人怦然心动.

    總之，图形的探究与学习是初中数学学习的重要内容，教师在几何的教学中，注重方向的引领，勿过多越俎代庖，多方面引导学生进入数学学习的“趣”境，在熏陶感染中，加强学生对图形的思考与体验，让学生受到启迪，感受数学美，留足空间、留够时间让学生自己探究，让学生自己去收获成功的喜悦.