谈对折问题
陈 光
近年来，随着新课标的实施，对折问题，越来越受到人们的重视，以对折问题为背景的题目，经常出现于全国各地中考试题、竞赛试题中. 对折问题，它通过日常生活中人们所喜爱的普普通通折纸，隐含了大量的数学知识，体现了数学的妙用. 这些题目，能够训练学生的动手操作能力，培养学生的数形结合思想方法，发展学生想象能力.
其实，在新课标课本中，几何的许多重要定理，如：三角形内角和定理，等腰三角形性质定理，圆的垂径定理等，都是通过对折纸片来验证的. 通过对折，利用对称性质，能解决许多几何问题，现从六个方面，谈对折问题.
1 几何证明题中的对折问题
在初中几何证明题中，通过对折矩形纸片，利用对称性质，证明如“两线段相等，两个角相等”之类的题目随处可见，这样的题目，能够训练学生的动手操作能力、想象能力.
图1例1 把一张矩形纸片，如图1中那样对折，重合部分是等腰三角形吗?为什么?
分析 沿对角线BD对折后，因为△BDC≌△BDE，所以∠2=∠3. 从AD∥BC，得到∠1=∠2，由∠1=∠3可得BF=DF，故△BDF是等腰三角形.
将矩形ABCD沿对角线BD对折，△BDC和△BDE关于对角线BD成轴对称图形，对角线BD所在的直线，是这两个三角形的对称轴，对折后这两个三角形全等. 中考中，利用上图，通过对折，根据轴对称性，证明两线段相等，两个角相等试题，比比皆是.
如哈尔滨市中考题：如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点C落在点E处，求证：AF=EF. 呼和浩特市中考题：如图1，△BDE是矩形纸片ABCD沿对角线BD对折得来的，图中(包括实线、虚线在内)共有几对全等三角形?为什么?
将矩形纸片沿对角线对折，利用对称性质，得到两个三角形全等，根据全等三角形性质，对应角相等，对应边相等，推得其它三角形也全等. 可见，对称性质是对折问题的基本原理，利用对称性质，能解决几何证明题中的对折问题.
2 几何计算题中的对折问题
通过对折矩形纸片，根据对称性质，利用勾股定理，结合已知条件，建立方程，能解决几何中计算问题.
图2例2 如图2，对折矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，折痕AE=55，且tan∠EFC=34，求矩形ABCD的周长?
分析 因为tan∠EFC=34，所以可设EC=3k，CF=4k，则EF=5k. 根据对称性ED=EF=5k，AB=DC=8k，对折后，∠AFE=∠D=90°，从tan∠BAF=tan∠EFC=34得到BF=6k. 由于AD=BC=10k，折痕AE=55，利用勾股定理，列出方程，求得k的值，最后能求矩形ABCD的周长.
对折矩形的一边，使顶点D落在对边BC上，把△ADE对折变为△AFE，翻转后，三角形位置发生变化，但这两个三角形它们的对应角仍相等，对应边仍相等，这体现了数学中转化变换的思想. 通过对折，利用对称性质，建立方程，培养了学生方程思想.
图3例3 如图3，将矩形ABCD沿对角线BD对折，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，求重叠部分的面积.
分析 重叠部分为等腰△BDE，求出对角线BD=45，过点E作EF⊥BD于F，则BF=12BD=25，解得BE=5，利用勾股定理，列出方程，能求得EF=5，最后求出
S△BED=12BD·EF=12×45×5=10.
这样，利用对称性质，对折后两个三角形全等，根据勾股定理，建立方程，解决几何计算题中的求周长、求面积等问题，因此，勾股定理是解决对折问题的基本工具.
3 求最小值的对折问题
在数学中考、竞赛试题中，经常见到，诸如点在线段上运动，求两线段和最小值问题.
图4例4 (古代数学问题——将军饮马)古希腊一位将军要从A地出发到河边(如图4中直线L)去饮马，然后再回到驻地B. 问怎样选择饮马地点，才能使路程最短?
分析 作出点A关于直线L的对称点A′，连结A′B交直线L于点C，点C就是所以求的点. 点A关于直线L的对称点A′，利用对称性质，把AC沿直线L对折成A′C，AC=A′C，使A′、C、B在同一条直线上，所以AC+BC距离最短.
例5 正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PF的最小值.
图5分析 如图5，作点F沿正方形ABCD的对角线AC的对称点F′，F′必落在正方形的边长DC上，则PF=PF′，当E、P、F′在同一条直线上时，PE+PF最小.
作出点F关于正方形对角线的对称点F′，把PF转化为PF′，这又渗透了数学的转化变换思想，当PF′与PE构成一条线段，根据线段公理“两点之间，线段最短”，能求出最小值. 利用对称性质，也能解决求两线段和的最小值问题.
4 直角坐标系中的对折问题
在直角坐标系中，利用对称性质，解决几何问题，也是中考经常出现的题目，一般在压轴题中出现. 直角坐标系中的对折问题，能够培养学生的数形结合思想，函数思想、能发展学生思维，提高探究问题能力.
图6例6 如图6，在矩形OABC中，A、C分别在x轴、y轴上，沿AC把△ABC对折，使点B落在坐标平面内的点D位置上，AD交y轴于点E，已知AE=5，B(k，2k)，求点D的坐标.
分析 沿AC把△ABC对折后，得到AD=AB. 由于∠1=∠2∠1=∠3，得到CE=AE，由于点B坐标为(k，2k)，在Rt△AOE中，列出方程k2+(2k-5)2=52，求得k=4.过点D作DH⊥x轴于点H，利用相似形三角形的对应边成比例，列出比例式，OEDH=AEAD，求得点D的坐标为(-125，245).
图7例7 如图7，把矩形纸片OABC放在直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴正半轴上，连结AC，使AC=4，OC=12OA，若将纸片OABC折叠，使A与点C重合，折痕为EF，求折叠后点B的坐标.
分析 沿EF折叠后，点A与点C重合，则AE=CE，设OE=x，则CE=8-x，列出方程x2+42=(8-x)2，解得OE=3，作PN⊥BC于N，则Rt△CPN∽Rt△CFP∽Rt△PFN，列出比例式CP2=CN·CF，PN2=CN·NF，因此，折叠后点B的坐标为(165，325).
在直角坐标系中，利用对称性质，根据勾股定理，建立方程. 借助相似形三角形的对应边成比例，列出比例式. 求得点的坐标，解决几何中对折问题，从中开拓了学生思维，有利于学生的函数思想、数形结合思想的形成.
5 生活中的对折问题
众所周知，数学来源于生活，与实际生活又紧密相连，在实际生活中，对折问题，随处可见.
例8 如何用矩形纸片，折出一个等边三角形?
如图8，在矩形ABCD中，AB
通过生活中的折纸问题，训练了学生的动手实践能力，逐步形成了学生做数学、用数学的观念，一题多法，激发了学生的求异思维，增强创新意识.
例9 如何通过对折正方形纸片，折出正方形各边的黄金分割点?
黄金分割是几何著名问题，在实际生活中，应用很广，黄金分割点给我们以协调、匀称的美感.
图10如图10，在正方形ABCD中，先沿EF对折，再沿AF对折，把AD边折到AF上，折痕为AG，点G就是DC边上的黄金分割点.
分析 沿着AG对折，则AF⊥GH，过点H作HC′∥BC，△ABF≌△GC′H≌△AD′H.设正方形的边长为1，GH=AF=52D′H=BF=12，D′G=DG=5-12.
因此，按上面方法，通过对折，能折出正方形各边的黄金分割点.
6 探究性的对折问题
探究性的对折问题，在中考试题、竞赛试题也不断涌现，成为近年来中考、数学竞赛的热点，题目设计方式越来越新颖. 探究性的对折问题能够为学生提供更加广阔的思维空间，增强学生创新意识，提高学生自主探究能力，符合新课标的目标要求.
例10 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图11是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是哪个字?
图11分析 以第二列第一个面“0”为下底面，依次对折，0(下面)—0(左面)—6(后面)—快(右面)—乐(上面)，则这个正方体的后面是“6”字. 当然，还有不同的对折方法，本题通过把展开图对折成正方体，发展了学生的空间想象能力，培养了学生自主探究精神.
例11 将正方形纸片由下向上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作如图12.按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角.那么，当展开这张正方形纸片后，所有小孔的个数为多少个?
图12分析 第一次操作，将正方形纸片分成4格，第二次操作，将正方形纸片分成42=16格，依次类推，第五次操作，将正方形纸片分成45=1024格. 剪去所得小正方形的左下角，展开后，每4格有1个小孔，所有小孔的个数为45÷4=256.
将正方形纸片经过多次对折，训练了学生的动手操作能力，发展想象能力，又把几何的小方格与代数中的乘方问题巧妙地揉合在一起，培养学生的数形结合思想方法.
总之，对折问题，随处可见，题目的设计越来越新颖，越来越受到大家的重视. 通过对折，利用对称性质，能解决有关的几何问题，对发展学生思维能力，增强创新意识，提高探究能力将起到了很好的作用. 随着新课标的实施和探究性学习的开展，对折问题，将成为我们不断研究、不断探索的专题.
作者简介：陈光，男，1965年1月出生，中学数学高级教师，二十多年一直从事初中数学教学研究工作，在各类数学刊物发表论文10余篇.
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近年来，随着新课标的实施，对折问题，越来越受到人们的重视，以对折问题为背景的题目，经常出现于全国各地中考试题、竞赛试题中. 对折问题，它通过日常生活中人们所喜爱的普普通通折纸，隐含了大量的数学知识，体现了数学的妙用. 这些题目，能够训练学生的动手操作能力，培养学生的数形结合思想方法，发展学生想象能力.
其实，在新课标课本中，几何的许多重要定理，如：三角形内角和定理，等腰三角形性质定理，圆的垂径定理等，都是通过对折纸片来验证的. 通过对折，利用对称性质，能解决许多几何问题，现从六个方面，谈对折问题.
1 几何证明题中的对折问题
在初中几何证明题中，通过对折矩形纸片，利用对称性质，证明如“两线段相等，两个角相等”之类的题目随处可见，这样的题目，能够训练学生的动手操作能力、想象能力.
图1例1 把一张矩形纸片，如图1中那样对折，重合部分是等腰三角形吗?为什么?
分析 沿对角线BD对折后，因为△BDC≌△BDE，所以∠2=∠3. 从AD∥BC，得到∠1=∠2，由∠1=∠3可得BF=DF，故△BDF是等腰三角形.
将矩形ABCD沿对角线BD对折，△BDC和△BDE关于对角线BD成轴对称图形，对角线BD所在的直线，是这两个三角形的对称轴，对折后这两个三角形全等. 中考中，利用上图，通过对折，根据轴对称性，证明两线段相等，两个角相等试题，比比皆是.
如哈尔滨市中考题：如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点C落在点E处，求证：AF=EF. 呼和浩特市中考题：如图1，△BDE是矩形纸片ABCD沿对角线BD对折得来的，图中(包括实线、虚线在内)共有几对全等三角形?为什么?
将矩形纸片沿对角线对折，利用对称性质，得到两个三角形全等，根据全等三角形性质，对应角相等，对应边相等，推得其它三角形也全等. 可见，对称性质是对折问题的基本原理，利用对称性质，能解决几何证明题中的对折问题.
2 几何计算题中的对折问题
通过对折矩形纸片，根据对称性质，利用勾股定理，结合已知条件，建立方程，能解决几何中计算问题.
图2例2 如图2，对折矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，折痕AE=55，且tan∠EFC=34，求矩形ABCD的周长?
分析 因为tan∠EFC=34，所以可设EC=3k，CF=4k，则EF=5k. 根据对称性ED=EF=5k，AB=DC=8k，对折后，∠AFE=∠D=90°，从tan∠BAF=tan∠EFC=34得到BF=6k. 由于AD=BC=10k，折痕AE=55，利用勾股定理，列出方程，求得k的值，最后能求矩形ABCD的周长.
对折矩形的一边，使顶点D落在对边BC上，把△ADE对折变为△AFE，翻转后，三角形位置发生变化，但这两个三角形它们的对应角仍相等，对应边仍相等，这体现了数学中转化变换的思想. 通过对折，利用对称性质，建立方程，培养了学生方程思想.
图3例3 如图3，将矩形ABCD沿对角线BD对折，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，求重叠部分的面积.
分析 重叠部分为等腰△BDE，求出对角线BD=45，过点E作EF⊥BD于F，则BF=12BD=25，解得BE=5，利用勾股定理，列出方程，能求得EF=5，最后求出
S△BED=12BD·EF=12×45×5=10.
这样，利用对称性质，对折后两个三角形全等，根据勾股定理，建立方程，解决几何计算题中的求周长、求面积等问题，因此，勾股定理是解决对折问题的基本工具.
3 求最小值的对折问题
在数学中考、竞赛试题中，经常见到，诸如点在线段上运动，求两线段和最小值问题.
图4例4 (古代数学问题——将军饮马)古希腊一位将军要从A地出发到河边(如图4中直线L)去饮马，然后再回到驻地B. 问怎样选择饮马地点，才能使路程最短?
分析 作出点A关于直线L的对称点A′，连结A′B交直线L于点C，点C就是所以求的点. 点A关于直线L的对称点A′，利用对称性质，把AC沿直线L对折成A′C，AC=A′C，使A′、C、B在同一条直线上，所以AC+BC距离最短.
例5 正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PF的最小值.
图5分析 如图5，作点F沿正方形ABCD的对角线AC的对称点F′，F′必落在正方形的边长DC上，则PF=PF′，当E、P、F′在同一条直线上时，PE+PF最小.
作出点F关于正方形对角线的对称点F′，把PF转化为PF′，这又渗透了数学的转化变换思想，当PF′与PE构成一条线段，根据线段公理“两点之间，线段最短”，能求出最小值. 利用对称性质，也能解决求两线段和的最小值问题.
4 直角坐标系中的对折问题
在直角坐标系中，利用对称性质，解决几何问题，也是中考经常出现的题目，一般在压轴题中出现. 直角坐标系中的对折问题，能够培养学生的数形结合思想，函数思想、能发展学生思维，提高探究问题能力.
图6例6 如图6，在矩形OABC中，A、C分别在x轴、y轴上，沿AC把△ABC对折，使点B落在坐标平面内的点D位置上，AD交y轴于点E，已知AE=5，B(k，2k)，求点D的坐标.
分析 沿AC把△ABC对折后，得到AD=AB. 由于∠1=∠2∠1=∠3，得到CE=AE，由于点B坐标为(k，2k)，在Rt△AOE中，列出方程k2+(2k-5)2=52，求得k=4.过点D作DH⊥x轴于点H，利用相似形三角形的对应边成比例，列出比例式，OEDH=AEAD，求得点D的坐标为(-125，245).
图7例7 如图7，把矩形纸片OABC放在直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴正半轴上，连结AC，使AC=4，OC=12OA，若将纸片OABC折叠，使A与点C重合，折痕为EF，求折叠后点B的坐标.
分析 沿EF折叠后，点A与点C重合，则AE=CE，设OE=x，则CE=8-x，列出方程x2+42=(8-x)2，解得OE=3，作PN⊥BC于N，则Rt△CPN∽Rt△CFP∽Rt△PFN，列出比例式CP2=CN·CF，PN2=CN·NF，因此，折叠后点B的坐标为(165，325).
在直角坐标系中，利用对称性质，根据勾股定理，建立方程. 借助相似形三角形的对应边成比例，列出比例式. 求得点的坐标，解决几何中对折问题，从中开拓了学生思维，有利于学生的函数思想、数形结合思想的形成.
5 生活中的对折问题
众所周知，数学来源于生活，与实际生活又紧密相连，在实际生活中，对折问题，随处可见.
例8 如何用矩形纸片，折出一个等边三角形?
如图8，在矩形ABCD中，AB
通过生活中的折纸问题，训练了学生的动手实践能力，逐步形成了学生做数学、用数学的观念，一题多法，激发了学生的求异思维，增强创新意识.
例9 如何通过对折正方形纸片，折出正方形各边的黄金分割点?
黄金分割是几何著名问题，在实际生活中，应用很广，黄金分割点给我们以协调、匀称的美感.
图10如图10，在正方形ABCD中，先沿EF对折，再沿AF对折，把AD边折到AF上，折痕为AG，点G就是DC边上的黄金分割点.
分析 沿着AG对折，则AF⊥GH，过点H作HC′∥BC，△ABF≌△GC′H≌△AD′H.设正方形的边长为1，GH=AF=52D′H=BF=12，D′G=DG=5-12.
因此，按上面方法，通过对折，能折出正方形各边的黄金分割点.
6 探究性的对折问题
探究性的对折问题，在中考试题、竞赛试题也不断涌现，成为近年来中考、数学竞赛的热点，题目设计方式越来越新颖. 探究性的对折问题能够为学生提供更加广阔的思维空间，增强学生创新意识，提高学生自主探究能力，符合新课标的目标要求.
例10 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图11是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是哪个字?
图11分析 以第二列第一个面“0”为下底面，依次对折，0(下面)—0(左面)—6(后面)—快(右面)—乐(上面)，则这个正方体的后面是“6”字. 当然，还有不同的对折方法，本题通过把展开图对折成正方体，发展了学生的空间想象能力，培养了学生自主探究精神.
例11 将正方形纸片由下向上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作如图12.按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角.那么，当展开这张正方形纸片后，所有小孔的个数为多少个?
图12分析 第一次操作，将正方形纸片分成4格，第二次操作，将正方形纸片分成42=16格，依次类推，第五次操作，将正方形纸片分成45=1024格. 剪去所得小正方形的左下角，展开后，每4格有1个小孔，所有小孔的个数为45÷4=256.
将正方形纸片经过多次对折，训练了学生的动手操作能力，发展想象能力，又把几何的小方格与代数中的乘方问题巧妙地揉合在一起，培养学生的数形结合思想方法.
总之，对折问题，随处可见，题目的设计越来越新颖，越来越受到大家的重视. 通过对折，利用对称性质，能解决有关的几何问题，对发展学生思维能力，增强创新意识，提高探究能力将起到了很好的作用. 随着新课标的实施和探究性学习的开展，对折问题，将成为我们不断研究、不断探索的专题.
作者简介：陈光，男，1965年1月出生，中学数学高级教师，二十多年一直从事初中数学教学研究工作，在各类数学刊物发表论文10余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
