简介分形几何
屈艳霞
在中学阶段，我们学习的几何是欧几里得几何，它是用一些简单而规则的基本元素(诸如点、线、平面、空间、三角形、正多边形、圆等等)来描述我们这个生存的世界，例如我们可以用欧几里得几何来描述晶体和蜂房等类似这样规则的对象. 但是自然界的随机性常常产生出许多无法用欧几里得几何来描述的不规则对象，比如山岭不是锥体、海岸线不是圆周、闪电也不是沿直线传播的等等. 在这种场合，欧几里得几何就无能为力了，分形成了其最好的描述工具.
什么是分形呢?以下我们来通过分析分形几何的一个典型例子——科赫雪花曲线来对其做一个简单介绍. 雪花曲线因其形状类似雪花而得名，这个美丽的几何分形是由瑞典数学家科赫(H.von Koch)在1904年创造的. 他是这样创造：第一步先给出图1那样一个正三角形E1，然后把三角形E1的每一条边三等分，以居中的一条线段为边向外作正三角形，像图2那样并把居中的线段去掉，这一操作称作迭代规则，于是生成了一个6个角12条边的对象图E2. 第二步，在图E2的基础上，将每条小边三等分，然后以居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉，又生成一新对象图E3. 以后无限重复此操作，如此一直进行下去——最后生成了一个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪花曲线”E.
1 分形的定义
什么是分形呢?目前它还没有其确切定义. 粗略地说，就是一些杂乱无章、极不规则的形状，如云彩、山川、海岸等曲线，都可以看成一种分形. 从以上雪花曲线的生成来看，我们也可以这样定义分形：在数学上说，分形是一种形式，它从一个对象——例如线段、点、三角形——开始，重复应用一个规则连续不断地改变直至无穷. 这个规则可以用一个数学公式或者用文字来描述. 分形的两个主要特征：1.分数维，即维数是分数. 2.自相似性，我们把图形的每一部分都和它本身的形状相同，大小不一定相同，这一相似特性叫做自相似性.
2 Koch雪花曲线E的特性
从Koch雪花曲线E的生成来看，它有如下特性：
(1) 曲线E具有局部与整体的对称，即把对象的任意一块细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样，这说明曲线E的复杂性不随尺度的减小而消失，即曲线E满足自相似性.
(2)曲线E难以用经典的方法刻画，从整体上看，它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹，亦不能作为任意简单方程的解的集合；从局部上看，它不能通过切线来描述(事实上，曲线E上每点均无切线).
(3)曲线E的“长度”为无穷大，而“面积”有限，雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，实际上其面积等于原三角形的85倍，因此我们不能用通常的测度(测量长度的单位)来量度它的“大小”.
(4)尽管E具有复杂的细结构，但它的定义非常直接. 特别地，E可以由简单的递归方式生成，而且，它的逐阶迭代E璳给出E的越来越好的近似.
(5)曲线E的维数既不是一维的，也不是二维的，而是1.26维. 即它的维数是个分数.
3 分形几何与欧氏几何的几点区别
由Koch雪花曲线E的特性，我们可看出分形几何与欧氏几何图形的几点区别：
(1)欧氏图形是规则的，而分形是不规则的，即欧氏图形一般是逐段光滑的，而分形往往在任何区间内都不具有光滑性.
(2)欧氏图形层次是有限的，而分形从数学角度上讲，层次是无限的.
(3)欧氏图形一般不会从局部得到整体的信息，而分形往往可以从局部“看到”整体.
(4)欧氏图形越复杂，其背后的规则越复杂，而分形图形，看上去十分复杂，但背后的规则却相当简单.
(5)在欧氏几何中，点是零维的，直线是一维的，平面是二维的，立体是三维的，以及抽象到n维欧氏空间中，维数总是整数. 但在分形几何里维数是个分数.
4 分形几何的创立
1967年，曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)在美国《科学》杂志上发表的“英国的海岸线有多长”的论文，并解释了这一问题：如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来. 由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性，曼德尔布罗特认为这种现象造成了海岸线的“无限曲折”，并用积分的思想来说明长度不是海岸线所具有的特征. 这篇划时代论文标志着分形思想的萌芽. 1975年，曼德尔布罗特引入英文的“分形(Fractal)”一词，两年后，曼德尔布罗特出版了分形学的奠基性著作《分形：形状、偶然性和维数》，人们把这本重要著作的出版看成是分形几何学诞生的标志. 1982年，曼德尔布罗特又出版了著名的专著《自然界的分形几何》，分形这个概念便在全世界不胫而走，并迅速深入到自然科学、工程技术及社会科学的各个领域.
有了分形，我们的几何学就能描述不断变化的宇宙. 无论是起伏跌宕的地貌、弯弯曲曲的海岸线、浮动的云朵、飞扬的雪花，还是杂乱无章的粉尘、无规则运动的分子、原子的轨迹、万物生长和演化……都具有分形的特点. 英国物理学家约翰.惠勒(J.A.Wheeler)说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人. ”
参考文献
[1] [英]肯尼思·法尔科内. 分形几何[M]. 沈阳：东北大学出版社，1991.
[2] 张维忠. 文化视野中的数学与数学教育[M]. 北京：人民教育出版社，2005.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
在中学阶段，我们学习的几何是欧几里得几何，它是用一些简单而规则的基本元素(诸如点、线、平面、空间、三角形、正多边形、圆等等)来描述我们这个生存的世界，例如我们可以用欧几里得几何来描述晶体和蜂房等类似这样规则的对象. 但是自然界的随机性常常产生出许多无法用欧几里得几何来描述的不规则对象，比如山岭不是锥体、海岸线不是圆周、闪电也不是沿直线传播的等等. 在这种场合，欧几里得几何就无能为力了，分形成了其最好的描述工具.
什么是分形呢?以下我们来通过分析分形几何的一个典型例子——科赫雪花曲线来对其做一个简单介绍. 雪花曲线因其形状类似雪花而得名，这个美丽的几何分形是由瑞典数学家科赫(H.von Koch)在1904年创造的. 他是这样创造：第一步先给出图1那样一个正三角形E1，然后把三角形E1的每一条边三等分，以居中的一条线段为边向外作正三角形，像图2那样并把居中的线段去掉，这一操作称作迭代规则，于是生成了一个6个角12条边的对象图E2. 第二步，在图E2的基础上，将每条小边三等分，然后以居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉，又生成一新对象图E3. 以后无限重复此操作，如此一直进行下去——最后生成了一个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪花曲线”E.
1 分形的定义
什么是分形呢?目前它还没有其确切定义. 粗略地说，就是一些杂乱无章、极不规则的形状，如云彩、山川、海岸等曲线，都可以看成一种分形. 从以上雪花曲线的生成来看，我们也可以这样定义分形：在数学上说，分形是一种形式，它从一个对象——例如线段、点、三角形——开始，重复应用一个规则连续不断地改变直至无穷. 这个规则可以用一个数学公式或者用文字来描述. 分形的两个主要特征：1.分数维，即维数是分数. 2.自相似性，我们把图形的每一部分都和它本身的形状相同，大小不一定相同，这一相似特性叫做自相似性.
2 Koch雪花曲线E的特性
从Koch雪花曲线E的生成来看，它有如下特性：
(1) 曲线E具有局部与整体的对称，即把对象的任意一块细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样，这说明曲线E的复杂性不随尺度的减小而消失，即曲线E满足自相似性.
(2)曲线E难以用经典的方法刻画，从整体上看，它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹，亦不能作为任意简单方程的解的集合；从局部上看，它不能通过切线来描述(事实上，曲线E上每点均无切线).
(3)曲线E的“长度”为无穷大，而“面积”有限，雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，实际上其面积等于原三角形的85倍，因此我们不能用通常的测度(测量长度的单位)来量度它的“大小”.
(4)尽管E具有复杂的细结构，但它的定义非常直接. 特别地，E可以由简单的递归方式生成，而且，它的逐阶迭代E璳给出E的越来越好的近似.
(5)曲线E的维数既不是一维的，也不是二维的，而是1.26维. 即它的维数是个分数.
3 分形几何与欧氏几何的几点区别
由Koch雪花曲线E的特性，我们可看出分形几何与欧氏几何图形的几点区别：
(1)欧氏图形是规则的，而分形是不规则的，即欧氏图形一般是逐段光滑的，而分形往往在任何区间内都不具有光滑性.
(2)欧氏图形层次是有限的，而分形从数学角度上讲，层次是无限的.
(3)欧氏图形一般不会从局部得到整体的信息，而分形往往可以从局部“看到”整体.
(4)欧氏图形越复杂，其背后的规则越复杂，而分形图形，看上去十分复杂，但背后的规则却相当简单.
(5)在欧氏几何中，点是零维的，直线是一维的，平面是二维的，立体是三维的，以及抽象到n维欧氏空间中，维数总是整数. 但在分形几何里维数是个分数.
4 分形几何的创立
1967年，曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)在美国《科学》杂志上发表的“英国的海岸线有多长”的论文，并解释了这一问题：如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来. 由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性，曼德尔布罗特认为这种现象造成了海岸线的“无限曲折”，并用积分的思想来说明长度不是海岸线所具有的特征. 这篇划时代论文标志着分形思想的萌芽. 1975年，曼德尔布罗特引入英文的“分形(Fractal)”一词，两年后，曼德尔布罗特出版了分形学的奠基性著作《分形：形状、偶然性和维数》，人们把这本重要著作的出版看成是分形几何学诞生的标志. 1982年，曼德尔布罗特又出版了著名的专著《自然界的分形几何》，分形这个概念便在全世界不胫而走，并迅速深入到自然科学、工程技术及社会科学的各个领域.
有了分形，我们的几何学就能描述不断变化的宇宙. 无论是起伏跌宕的地貌、弯弯曲曲的海岸线、浮动的云朵、飞扬的雪花，还是杂乱无章的粉尘、无规则运动的分子、原子的轨迹、万物生长和演化……都具有分形的特点. 英国物理学家约翰.惠勒(J.A.Wheeler)说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人. ”
参考文献
[1] [英]肯尼思·法尔科内. 分形几何[M]. 沈阳：东北大学出版社，1991.
[2] 张维忠. 文化视野中的数学与数学教育[M]. 北京：人民教育出版社，2005.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
