新高考理念下的反证法在解题中的应用

2024.03.22

陈镇伟

摘? ?要：反证法和分析法的证明过程其实是一种综合法，它每步是推演其必然结果.分析法每步是追溯其充分条件.“否定式的分析法”，这种提法在有关资料书籍中也没有发现过，按字面理解“否定式的分析法”还是一种分析法.

关键词：数学模型;抓住主要特征;矛盾律;培养创新能力

反证法是中学解题中常用的一种方法，这种思维方法在生活中说理与争论过程被应用，初次接触都比较让人难以接受，如果证“若A则B”这个命题，你先假设B不对，那么……，你也许会嘀咕：人家正要你证B是对的，你却说B是不对的，岂非不战自败吗？其实，只要在证明过程中每一步到下一步完全合乎逻辑，但每一步的结论却其实不能发生.这种证法就叫反证法，亦称归谬法，有关反证法论述很多，但我觉得还是有很多问题值得一谈：

1? 反证法的逻辑依据

证题方法的依据，可以通过追究这种证法具体步骤的理由而获得，分析通常所用反证法的根据，便可知反证法的依据是逻辑基本体中的矛盾律和排中律.用反证法证明命题“若A则有B”的过程可写为：①假设无B，根据本题条件和已有的定义、公理、定理推出的一对矛盾的结果，即与矛盾律对立：②根据矛盾律，断言无B不能成立;③根据排中律，无B不成立，则必有B成立，故本命题得证;

在许多有关反证法的资料中都有提到逆否命题，并似乎都有一种共识，认为反证法就是改证论题的逆否命题，它的依据是逆否命题的等价性，这种说法是否妥当呢？如果把逆否命题仅限于命题本身的条件和结论的否定，换位而得，那上述提法显然不正确，若把已知的定义、公理、定理都算入本体的条件，则一个命题的逆否命题为：

结论的否定：与本题条件对立或与已知定义成立或与已知公理对立或与已知定理对立时

用这种观点来看反证法的步骤1，那就是结论B的否定，矛盾体（已知公理）的否定.

因此，反证法的第一步就是证明论题的一个逆否命题，由于反证法的具体工作都在第一步，可以说反证法就是改证论题的逆否命题，虽然不全面，也算是抓到了问题的本质.但说“反证法的依据是逆否命题的等价性，情况则不同了，人们将会问，在推理系统中逆否命题的等价性的证明，是如何证明的呢？在八年级下学期几何第二章上给出了逆否命题等价性的证明.下面我们按相同的方法由逆否命题为真，来证明原命题成立.

已知命题? ?若无B则无A

求证命题? ?若有A则有B

证明：假设无B，则可以一直命题推出无A，这与求证命题的条件有A成立，为矛盾律所不容，故无B不能成立，有排中律必有B.这个证明过程显然和反证法的步骤完全一致，由此可见，反证法的结构本身就是由逆命题为真，证明原命题成立的过程，再根据互为逆否命题的性质，在确定认定反证法的同时，也就确定了逆否命题的等价性.反证法和逆否命题的等价性就相当于自己依据自己一样，是不成立的，不妥当的.

还有一种较为离谱的说法，认为反证法就是通过证明逆否命题的成立，从而得出原命题成立的一种方法，而在这之前证明了逆否命题的等价性，若要问证明逆否命题等价采用的是什么证题方法，容易看出这是出现了循环论证的逻辑毛病.

2? 反证法的分析法特点

数学通报2015年11期《漫谈反证法》中提出“反证法具有的特点，它们都是从结论推演开来，不同的是第二个从结论开始，另一个是从否定结论开始”.在作出举例对照表后进一步提出“反证法实际上是否定式的分析法”.

我们知道反证法证题时，由于推出什么类型的矛盾结果事先并不知道.不可能从欲证的结论出发逆证追溯条件.因此，反证法根本缺少分析思维的条件，从结论反面出发进行综合推演，这是反证法的一个显著特点.

这里用反证法和分析法的证明过程其实是一种综合法，它每个步骤都是推演其必然结果.分析法每步是追溯其充分条件。“否定式的分析法”，這种题法我在有关资料书籍中也没有发现过，按字面理解“否定式的分析法”还是一种分析法. 因此把“从结论推演开来”作为判断分析法的依据，这是不妥当的，那样一来，用综合法证明在一逆命题就是从原命题的结论推演出来.全部都成了分析法，根据互逆的关系，每一命题也是逆命题的逆命题，于是用综合法证明任一命题也可叫分析法了，这就使得综合法和分析法完全混为一谈了.

3? 反证法证题

很多数学命题当正面推证有困难时可考虑反面入手，用直接法来推证主要有2个办法：（1）用分析法从肯定结论入手，找出充分条件; （2）用反证法从否定结论入手，找出矛盾.怎样的数学命题宜用反证法证明呢？一般地说，（1）在命题的形式上结论由否定形式给出;（2）在证明的方法上命题用直接法较困难;（3）在证明的方向从结论的反面着手较易论证，往往可用反证法.

参考文献：

[1]黄道金.数学模型法解决数学问题[J].新课程，2015（1）.