钟表里的数学学问
时钟是必不可少的日常生活用具以时钟为载体构建的数学考赛题较为常见，且有一定难度今分类例析，供大家参考
1 时钟盘面构造与基本工作原理
1.时钟盘面被等分为12个大格，每个大格所对的圆心角为360°÷12=30°；每个大格又被分成5个小格，每个小格所对的圆心角为30°÷5=6°；时针与分针同时运动，时针转一大格为1小时，转一小格为12分钟分针转一小格为1分钟
2.时针一小时转过30°角，转速为：30°/h=0.5°/min；分针一小时转过360°角，转速为：360°/h=6°/min.
3.当时间为h时m分（为方便应用，规定0≤h＜12，0≤m＜60）时，设时针从“指向0时0分”到“指向h时m分”转过的角度为α（0°≤α＜360°），则α=30°·(h+m60)；分针从“指向h时0分”到“指向h时m分”转过的角度为β（0°≤β＜360°），则β=30°·m5.
图1例1 （2007年，台湾中考）如图1，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线刻度是整点时时针(短针)所指的位置根据图中时针与分针(长针)的位置，该钟面所显示的时刻在下列哪一范围内？
A 3点～4点
B6点～7点
C 8点～9点
D10点～11点
析解 设此时此刻为h时m分，观察图中时针与分针的位置可知，时针从“h时0分”到“h时m分”转过了4个小格，则m=48，分针应指向48分钟处，图中点A处所示刻度应为“9”，由此推知所示时间为10:48，在10点～11点范围内，选D.
例2 （2007年，广东中山中考）由2:15到2:30，时钟的分针转过的角度是.
析解 分针每分钟转6°，从2:15到2:30共15分钟，分针转过的角度是6°×15=90°.
例3 （2006年，枣庄中考）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（）
A10π3cm B20π3cm
C25π3cm D50π3cm
析解 分针每分钟转6°，40分钟转过的角度是6°×40=240°，分针针端转过的弧长是2·π·5360·240=20π3cm，选B.
例4 在5点到6点之间的什么时刻，钟面上时针和分针在“5”的两旁并且到“5”的距离相等？
析解 设5点m分时，时针和分针到“5”的距离相等.由题意，根据“角平分线的判定定理”可知，点“5”应在时针和分针夹角的平分线上时针从“指向5点0分”到“指向5点m分”转过的角度为30°·m60，而分针从“指向5点0分”到“指向5点m分”转过的角度为30°·m5由题意应有：30°·m60=5×30°-30°·m5，解得m=30013.答略.
例5 如果现在钟表的时针与分针正好重合，那么再过至少多长时间时针与分针会成为一条直线？
析解 时针与分针同时运动，时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，设至少x分钟后时针与分针成为一条直线，则应有6x-0.5x=180,解之，得x=32811.答略.
例6 8点后，时针与分针第一次重合在什么时间？
析解 设8点m分时针与分针第一次重合，8:00时，时针与分针夹角为120°，从8:00到8点m分时针转过了m·0.5°，而分针转过了m·6°，应有6m-0.5m=360-120，得m=48011.
例7 （2005年，江西中考）某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图2所示
图2（1）问长方形的长应为多少？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字
析解 （1）时针、分针都是匀速转动的，设1，2，3，…，11，12这些时刻所对应的点分别为A,B,C, …,K,L,
则∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠KOL=∠LOA=30°,在Rt△BOC中, 由三角函数可得OC=BC·cot∠BOC =10·cot30°=103,则长方形的长为203.
（2）作出∠LOB的平分线，交LB于A，点A即为数字1的位置
（3）同（2）之理可得钟面上其余数字的位置，作图略
以上七个例题涉及各色题型，在求解分析过程中，把“时钟盘面构造与基本工作原理”充分释放出来，同学们要认真体会
2 时针与分针的夹角公式
析解 平面镜里看到的物体与实际物体左右倒置，解决此类问题可把写有数字的纸反过来，从反面透过纸去读数，可得实际时间为21:05,选A．当然，此题还有“作出数字关于表盘左（或右）边界的对称图去读数”等方法
4 创新型钟表问题
例14 有两个钟表A、B，其中A每小时比标准时间快5分钟，B每小时比标准时间慢5分钟现把A、B两钟表时间调成与标准时间一致，那么过多长时间后，A钟表会比B钟表快1小时？
析解A每小时比B快5+5=10分钟，当A钟表比B钟表快1小时（60分钟）时，时间已过了60÷10=6小时.
例15 萌萌有一个小闹钟，每小时比标准时间快1分钟晚上9点睡觉时，萌萌把闹钟调成与标准时间一致，她想第二天早上6点起床，那么闹铃应当定成几点几分？
析解 从“晚上9点”到“第二天早上6点”经过了9小时，由于闹钟每小时比标准时间快1分钟，则标准时间为早上6点时，闹钟时间为6点9分.答略.
钟表出了毛病走不准是常事，例14、例15以此为背景命题，情境新颖，考查了学生的思维品质与思维层次
例16 一位物理教师设计了一只新式钟表，这只钟表每昼夜时间长为12小时，每小时长100分┲拥闭庵恍率街颖硐允驹缟6点时，标准时间为中午12点那么标准时间为下午6点时，这只新式钟表显示的时间是几点几分？
析解 标准时间每昼夜长24×60=1@440分钟，这只新式钟表每昼夜“时间”长为12×100=1@200“分钟”，每昼夜标准时间是新式钟表“时间”的1@440÷1@200=1.2倍，从“中午12点”到“下午6点”共6×60=360分钟（标准时间），相当于新式钟表“时间”的360÷1.2=300“分钟”，即300÷100=3“小时”，故标准时间为下午6点时，这只新式钟表显示的“时间”是6+3=9“点”整
作者简介 苑建广，1973～ ，中学一级教师，数学教研组长. 勤于中学数学教学研究，已有四十余篇文章发表于《中学数学教学参考》、《数学大世界》、《上海中学数学》、《中小学数学》、《中学数学研究》等十几种数学期刊.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
1 时钟盘面构造与基本工作原理
1.时钟盘面被等分为12个大格，每个大格所对的圆心角为360°÷12=30°；每个大格又被分成5个小格，每个小格所对的圆心角为30°÷5=6°；时针与分针同时运动，时针转一大格为1小时，转一小格为12分钟分针转一小格为1分钟
2.时针一小时转过30°角，转速为：30°/h=0.5°/min；分针一小时转过360°角，转速为：360°/h=6°/min.
3.当时间为h时m分（为方便应用，规定0≤h＜12，0≤m＜60）时，设时针从“指向0时0分”到“指向h时m分”转过的角度为α（0°≤α＜360°），则α=30°·(h+m60)；分针从“指向h时0分”到“指向h时m分”转过的角度为β（0°≤β＜360°），则β=30°·m5.
图1例1 （2007年，台湾中考）如图1，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线刻度是整点时时针(短针)所指的位置根据图中时针与分针(长针)的位置，该钟面所显示的时刻在下列哪一范围内？
A 3点～4点
B6点～7点
C 8点～9点
D10点～11点
析解 设此时此刻为h时m分，观察图中时针与分针的位置可知，时针从“h时0分”到“h时m分”转过了4个小格，则m=48，分针应指向48分钟处，图中点A处所示刻度应为“9”，由此推知所示时间为10:48，在10点～11点范围内，选D.
例2 （2007年，广东中山中考）由2:15到2:30，时钟的分针转过的角度是.
析解 分针每分钟转6°，从2:15到2:30共15分钟，分针转过的角度是6°×15=90°.
例3 （2006年，枣庄中考）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（）
A10π3cm B20π3cm
C25π3cm D50π3cm
析解 分针每分钟转6°，40分钟转过的角度是6°×40=240°，分针针端转过的弧长是2·π·5360·240=20π3cm，选B.
例4 在5点到6点之间的什么时刻，钟面上时针和分针在“5”的两旁并且到“5”的距离相等？
析解 设5点m分时，时针和分针到“5”的距离相等.由题意，根据“角平分线的判定定理”可知，点“5”应在时针和分针夹角的平分线上时针从“指向5点0分”到“指向5点m分”转过的角度为30°·m60，而分针从“指向5点0分”到“指向5点m分”转过的角度为30°·m5由题意应有：30°·m60=5×30°-30°·m5，解得m=30013.答略.
例5 如果现在钟表的时针与分针正好重合，那么再过至少多长时间时针与分针会成为一条直线？
析解 时针与分针同时运动，时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，设至少x分钟后时针与分针成为一条直线，则应有6x-0.5x=180,解之，得x=32811.答略.
例6 8点后，时针与分针第一次重合在什么时间？
析解 设8点m分时针与分针第一次重合，8:00时，时针与分针夹角为120°，从8:00到8点m分时针转过了m·0.5°，而分针转过了m·6°，应有6m-0.5m=360-120，得m=48011.
例7 （2005年，江西中考）某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图2所示
图2（1）问长方形的长应为多少？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字
析解 （1）时针、分针都是匀速转动的，设1，2，3，…，11，12这些时刻所对应的点分别为A,B,C, …,K,L,
则∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠KOL=∠LOA=30°,在Rt△BOC中, 由三角函数可得OC=BC·cot∠BOC =10·cot30°=103,则长方形的长为203.
（2）作出∠LOB的平分线，交LB于A，点A即为数字1的位置
（3）同（2）之理可得钟面上其余数字的位置，作图略
以上七个例题涉及各色题型，在求解分析过程中，把“时钟盘面构造与基本工作原理”充分释放出来，同学们要认真体会
2 时针与分针的夹角公式
析解 平面镜里看到的物体与实际物体左右倒置，解决此类问题可把写有数字的纸反过来，从反面透过纸去读数，可得实际时间为21:05,选A．当然，此题还有“作出数字关于表盘左（或右）边界的对称图去读数”等方法
4 创新型钟表问题
例14 有两个钟表A、B，其中A每小时比标准时间快5分钟，B每小时比标准时间慢5分钟现把A、B两钟表时间调成与标准时间一致，那么过多长时间后，A钟表会比B钟表快1小时？
析解A每小时比B快5+5=10分钟，当A钟表比B钟表快1小时（60分钟）时，时间已过了60÷10=6小时.
例15 萌萌有一个小闹钟，每小时比标准时间快1分钟晚上9点睡觉时，萌萌把闹钟调成与标准时间一致，她想第二天早上6点起床，那么闹铃应当定成几点几分？
析解 从“晚上9点”到“第二天早上6点”经过了9小时，由于闹钟每小时比标准时间快1分钟，则标准时间为早上6点时，闹钟时间为6点9分.答略.
钟表出了毛病走不准是常事，例14、例15以此为背景命题，情境新颖，考查了学生的思维品质与思维层次
例16 一位物理教师设计了一只新式钟表，这只钟表每昼夜时间长为12小时，每小时长100分┲拥闭庵恍率街颖硐允驹缟6点时，标准时间为中午12点那么标准时间为下午6点时，这只新式钟表显示的时间是几点几分？
析解 标准时间每昼夜长24×60=1@440分钟，这只新式钟表每昼夜“时间”长为12×100=1@200“分钟”，每昼夜标准时间是新式钟表“时间”的1@440÷1@200=1.2倍，从“中午12点”到“下午6点”共6×60=360分钟（标准时间），相当于新式钟表“时间”的360÷1.2=300“分钟”，即300÷100=3“小时”，故标准时间为下午6点时，这只新式钟表显示的“时间”是6+3=9“点”整
作者简介 苑建广，1973～ ，中学一级教师，数学教研组长. 勤于中学数学教学研究，已有四十余篇文章发表于《中学数学教学参考》、《数学大世界》、《上海中学数学》、《中小学数学》、《中学数学研究》等十几种数学期刊.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
