一道几何题的解法研究

    朱永

    

    平面几何问题一直是中考的热点，一般从大家常见的几何图形中提出问题，并通过对问题的探索，发现数学规律.题目新颖，难度较大.因此，在平时学习中，如果能对几何题进行适度挖掘，尝试一题多解的训练，往往可以获得一些有价值的解法，进而提高自己的推理和探究能力.本文就一道平面几何题，进行多角度分析，给出多种解法，希望对同学们有所帮助.

    题目：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于F，求证：AE=EF.

    思路一：运用截取法，构造结论中两条线段所需的全等三角形，通过已知条件转化出全等三角形所需的判定条件，由全等三角形的对应边相等证出结论.

    解法一：在AB上取一点M，使得AM=CE，连接EM.

    ∵四边形ABCD为正方形，

    ∴∠B=90°，AB=BC，∠DCG=90°.

    ∴∠MAE+∠AEB=90°.

    ∵∠AEF=90°，

    ∴∠AEB+∠CEF=90°.

    ∴∠MAE=∠CEF.

    ∵AB=BC，AM=CE，

    ∴BM=BE.

    ∴∠BME=∠BEM=45°.

    ∴∠AME=135°.

    ∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，

    ∴∠DCF=45°.

    ∴∠ECF=135°.

    在△AME和△ECF中，∠MAE=∠CEF，AM=EC，∠AME=∠ECF，

    ∴△AME≌△ECF（ASA）.

    ∴AE=EF.

    思路二：运用延长法，构造全等三角形和平行四边形，利用等量代换证出结论.

    解法二：延长AB至点M，使得BM=BE，连接EM、CM.

    ∵四边形ABCD为正方形，

    ∴AB=BC.

    在△ABE与△CBM中，AB=CB，∠ABE=∠CBM=90°，BE=BM，

    ∴△ABE≌△CBM（SAS）.

    ∴AE=CM，∠AEB=∠CMB.

    ∵∠MBC=90°，BM=BE，

    ∴∠BEM=45°.

    ∴∠MEC=135°.

    ∵∠DCG=90°，CF平分∠DCG，

    ∴∠DCF=45°.

    ∴∠FCE=135°.

    ∵∠FCE=∠MEC=135°，

    ∴ME∥CF.

    ∵∠ECM=90°-∠CMB，∠FEC=90°-∠AEB，

    ∴∠ECM=∠FEC.

    ∴EF∥MC.

    ∴四边形MEFC为平行四边形.

    ∴CM=EF.

    ∵CM=EF，AE=CM，

    ∴AE=EF.

    思路三：运用四点共圆，得到A、E、C、F四点在以AF为直径的圆上，利用同弧所对的圆周角相等，得出△AEF为等腰直角三角形，从而证出结论.

    解法三：连接AC、AF.

    ∵四边形ABCD是正方形，

    ∴∠ACD=45°.

    ∵∠DCG=90°，CF平分∠DCG，

    ∴∠DCF=45°.

    ∴∠ACF=∠ACD+∠DCF=45°+45°=90°.

    ∴∠ACF=∠AEF=90°.

    ∴A、E、C、F四點在以AF为直径的圆上.

    ∵AE=AE，

    ∴∠AFE=∠ACE=45°.

    ∴△AEF为等腰直角三角形.

    ∴AE=EF.

    一道多解有利于培养学生的创新思维，能够使学生在面对问题时快速找到解决问题的切入口.因此，教师在进行教学过程中，要加强一题多解的训练，提高学生的解题效率.