机械能是否守恒及其思维建模
戴静华
一、机械能守恒的判断
1.机械能守恒的条件：只有重力或系统内弹簧的弹力做功。
可以从以下两个方面理解：（1）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒。（2）受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒。
2.判断方法
（1）当研究对象（除地球外）只有一个物体时，一般根据是否“只有重力（或弹簧弹力）做功”来判定机械能守恒。
（2）当研究对象（除地球外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有介质阻力和摩擦力”来判定机械能守恒。
（3）注意以下几点：
①“只有重力（或弹簧弹力）做功”不等于“只受重力（或弹簧弹力）作用”；
②势能具有相对性，一般以解决问题简便为原则选取零势能面；
③对于绳子突然绷紧、物体间碰撞等相关的问题，除题中说明无能量损失或弹性碰撞外，机械能一定不守恒。
例1 木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度，如图1所示，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.子弹的机械能守恒
B.木块的机械能守恒
C.子弹和木块的总机械能守恒
D.以上说法都不对
解析 分析子弹的运动过程，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度应看成两个过程，即子弹射入木块过程和子弹射入木块后一起摆动到最大高度，在子弹射入木块的过程中机械能不守恒，有一部分机械能转化为热能，子弹射入木块后一起摆动到最大高度，子弹和木块的机械能守恒。针对本题，只要正确理解机械能守恒的条件，就能很快排除A、B、C选项，从而确定正确选项为D。
例2 如图2所示，质量为m的钩码在弹簧秤的作用下竖直向上运动。设弹簧秤的示数为T，不计空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A.T=mg时，钩码的机械能不变
B.T>mg时，钩码的机械能减小
C.T>mg时，钩码的机械能增加
D.T>mg时，钩码的机械能增加
解析 无论T与mg的关系如何，T与钩码位移的方向一致，T做正功，钩码的机械能增加，选项C、D正确。
例3 如图3所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与木块m连接，且m与M及M与地面间光滑。开始时，m与M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中，对m、M和弹簧组成的系统（整个过程弹簧形变不超过其弹性限度），下列说法正确的是（ ）
A.由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒
B.由于F1、F2分别对m、M做正功，故系统的动能不断增加
C.由于F1、F2分别对m、M做正功，故系统的机械能不断增加
D.当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M的动能最大
解析 开始拉力大于弹力，F1、F2对木块和木板做正功，所以机械能增加。当拉力等于弹力时，木块和木板速度最大，故动能最大；当拉力小于弹力时，木块和木板做减速运动，速度减小到零以后，木块和木板反向运动，拉力F1、F2均做负功，故机械能减少。故正确选项为D。
规律总结：
1.机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；只有重力做功不等于只受重力作用。
2.对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
3.对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。
二、机械能守恒定律的几种表达形式
1.守恒观点
（1）表达式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2。
（2）意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
（3）注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。
2.转化观点
（1）表达式：△Ek=-△Ep。
（2）意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。
（3）注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面。
3.转移观点
（1）表达式：△EA增=△EB减。
（2）意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分物体机械能的增加量等于B部分物体机械能的减少量。
（3）注意问题：4部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B初状态的机械能减末状态的机械能。
例4 如图4所示，一质量m=0.4kg的滑块（可视为质点）静止于动摩擦因数μ=0.1的水平轨道上的A点。现对滑块施加一水平外力，使其向右运动，外力的功率恒为P=10.0 W。经过一段时间后撤去外力，滑块继续滑行至B点后水平飞出，恰好在C点沿切线方向进入固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道，轨道的最低点D处装有压力传感器，当滑块到达传感器上方时，传感器的示数为25.6N。已知轨道AB的长度L=2.0m，半径OC和竖直方向的夹角α=37°，圆形轨道的半径R=0.5m。（空气阻力可忽略，重力加速度g=10m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8），求：
（1）滑块运动到C点时速度vC的大小；
（2）B、C两点的高度差h及水平距离x；
（3）水平外力作用在滑块上的时间t。
一、机械能守恒的判断
1.机械能守恒的条件：只有重力或系统内弹簧的弹力做功。
可以从以下两个方面理解：（1）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒。（2）受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒。
2.判断方法
（1）当研究对象（除地球外）只有一个物体时，一般根据是否“只有重力（或弹簧弹力）做功”来判定机械能守恒。
（2）当研究对象（除地球外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有介质阻力和摩擦力”来判定机械能守恒。
（3）注意以下几点：
①“只有重力（或弹簧弹力）做功”不等于“只受重力（或弹簧弹力）作用”；
②势能具有相对性，一般以解决问题简便为原则选取零势能面；
③对于绳子突然绷紧、物体间碰撞等相关的问题，除题中说明无能量损失或弹性碰撞外，机械能一定不守恒。
例1 木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度，如图1所示，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.子弹的机械能守恒
B.木块的机械能守恒
C.子弹和木块的总机械能守恒
D.以上说法都不对
解析 分析子弹的运动过程，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度应看成两个过程，即子弹射入木块过程和子弹射入木块后一起摆动到最大高度，在子弹射入木块的过程中机械能不守恒，有一部分机械能转化为热能，子弹射入木块后一起摆动到最大高度，子弹和木块的机械能守恒。针对本题，只要正确理解机械能守恒的条件，就能很快排除A、B、C选项，从而确定正确选项为D。
例2 如图2所示，质量为m的钩码在弹簧秤的作用下竖直向上运动。设弹簧秤的示数为T，不计空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A.T=mg时，钩码的机械能不变
B.T>mg时，钩码的机械能减小
C.T>mg时，钩码的机械能增加
D.T>mg时，钩码的机械能增加
解析 无论T与mg的关系如何，T与钩码位移的方向一致，T做正功，钩码的机械能增加，选项C、D正确。
例3 如图3所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与木块m连接，且m与M及M与地面间光滑。开始时，m与M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中，对m、M和弹簧组成的系统（整个过程弹簧形变不超过其弹性限度），下列说法正确的是（ ）
A.由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒
B.由于F1、F2分别对m、M做正功，故系统的动能不断增加
C.由于F1、F2分别对m、M做正功，故系统的机械能不断增加
D.当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M的动能最大
解析 开始拉力大于弹力，F1、F2对木块和木板做正功，所以机械能增加。当拉力等于弹力时，木块和木板速度最大，故动能最大；当拉力小于弹力时，木块和木板做减速运动，速度减小到零以后，木块和木板反向运动，拉力F1、F2均做负功，故机械能减少。故正确选项为D。
规律总结：
1.机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；只有重力做功不等于只受重力作用。
2.对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
3.对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。
二、机械能守恒定律的几种表达形式
1.守恒观点
（1）表达式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2。
（2）意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
（3）注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。
2.转化观点
（1）表达式：△Ek=-△Ep。
（2）意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。
（3）注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面。
3.转移观点
（1）表达式：△EA增=△EB减。
（2）意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分物体机械能的增加量等于B部分物体机械能的减少量。
（3）注意问题：4部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B初状态的机械能减末状态的机械能。
例4 如图4所示，一质量m=0.4kg的滑块（可视为质点）静止于动摩擦因数μ=0.1的水平轨道上的A点。现对滑块施加一水平外力，使其向右运动，外力的功率恒为P=10.0 W。经过一段时间后撤去外力，滑块继续滑行至B点后水平飞出，恰好在C点沿切线方向进入固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道，轨道的最低点D处装有压力传感器，当滑块到达传感器上方时，传感器的示数为25.6N。已知轨道AB的长度L=2.0m，半径OC和竖直方向的夹角α=37°，圆形轨道的半径R=0.5m。（空气阻力可忽略，重力加速度g=10m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8），求：
（1）滑块运动到C点时速度vC的大小；
（2）B、C两点的高度差h及水平距离x；
（3）水平外力作用在滑块上的时间t。
