在一题多解中渗透初中数学核心素养的培养

    苏明海 王兴成

    

    

    

    [摘? 要] 文章对一道经典几何题目证法进行剖析与总结,增强学生对中点问题的理解,并在证法中融入初中数学核心素养的培养,不断提升学生的模型思想与推理能力,切实提升学生的数学学科素养.

    [关键词] 一题多解;初中数学核心素养;几何证明

    《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下面简称《课程标准》)是基础教育和课程改革的方向,其明确规定了义务教育阶段的课程目标与考试内容. 《课程标准》中明确要求,数学课应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想. 在初中学习阶段,几何证明题能培养学生的几何直观、推理能力和模型思想. 其中,推理主要包含两类:一类是从特殊到一般的推理,主要形式是归纳类比;另一类是从一般到特殊的推理,主要形式是演绎. 剖析经典题目的多种证法,能使学生的图形感更强,能进一步增强学生的结构意识,提升他们的演绎推理能力. 在讲解中对典型结构进行多方向思考,依据已有经验寻找突破口,这是合情推理,能使学生对一类题目的理解更深刻. 提炼结构,形成较强的模型意识,关注几何证明的通性通法,这是培养优秀学生的重要途径.

    ■ 经典题目

    试题?摇 如图1,△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,连接AD,CE,过点B作BG⊥CE,垂足为G,GB的延长线交AD于点F,求证:AF=FD.

    ■

    ■ 结构分析

    对于几何证明题,解题开始时需要具备结构意识与角度意识. 具备结构意识,能快速理清图形结构,对于常规结构,便可快速得到辅助线;具备角度意识,能使学生在初始状态下尽可能地找到隐藏条件,于是可能得到线段相等的结论.

    由已知,图形由两个共直角顶点的等腰直角三角形构成,已构成常见的旋转全等结构,如图2,由此本题可考虑连接AE,CD,构造出△ABE≌△CBD.

    ■

    从角度出发,如图3,∠ABD+∠CBE=180°,这是周角背景下典型的互补结构;如图4,可由三角形外角和定理推得∠ABF=∠BCG. 推导角度时重点考虑这两种结构.

    ■

    由结论,本题要证明两条线段相等,通常可以转化为证明线段所在的两个三角形全等,因此构造全等三角形,所以联系条件证明全等是解题关键. 除此之外,对于中点问题,经常还会考虑中位线、斜中半、三线合一等.

    ■ 题目解析

    1. 推理辅助线,找准基准三角形

    证法1:如图5,过点A作AN∥BD交BF的延长线于点N. 因为AN∥BD,所以∠NAB+∠ABD=180°,∠N=∠NBD. 因为∠ABC=∠EBD=90°,所以∠ABD+∠CBE=180°. 所以∠NAB=∠CBE. 因为BG⊥CE,所以∠BGC=90°. 因为∠BCG+∠BGC=∠CBF,∠ABC=∠BGC=90°,所以∠BCG=∠ABN. 因为△ABC是等腰直角三角形,所以AB=BC. 所以△ABN≌△BCE(ASA). 所以AN=BE. 因为△BDE是等腰直角三角形,所以BD=BE. 所以AN=BE=BD. 所以△AFN≌△DFB(AAS). 所以AF=DF.

    ■

    分析?搖 要证明线段相等,优先考虑转化为证明三角形全等,再思考能否利用已知条件或转化已知条件,其目的是为证明全等提供条件. 在本题中,FD所处的基准三角形为△FBD,但AF所处的基准三角形△ABF与△FBD不全等,于是不妨依托△FBD构造全等.

    此法的核心在于转化结论后全等的构造,构造△AFN所需要的辅助线需要选择与对比,而培养学生推理能力的关键也在于此. 一般而言,辅助线应尽可能提供证明全等所需要的条件,其次,构造平行后产生了互补结构,这与已知的互补结构产生联系,从而得到了核心角之间的等量关系. 若选择倍长BF,辅助线就与已知条件无法关联,已知的互补结构就无法给后续全等的证明提供角的等量关系. 教师在讲解时,一定要融入对比,通过推理产生最优的解题路径.

    2. 推理线段角色,巧用旋转背景

    证法2:如图6,延长AB至点M,使得AB=BM,连接DM. 因为∠ABC=∠EBD=90°,所以∠ABD+∠CBE=180°. 因为∠ABD+∠DBM=180°,所以∠DBM=∠CBE. 因为△ABC是等腰直角三角形,所以AB=BC=BM. 因为△BDE是等腰直角三角形,所以BD=BE. 所以△BCE≌△BMD(SAS). 所以∠BCE=∠M. 因为BG⊥CE,所以∠BGC=90°. 因为∠BCE+∠BGC=∠CBF,∠ABC=∠BGC=90°,所以∠BCE=∠ABF=∠M. 所以BF∥DM. 又AB=BM,所以BF为△AMD的中位线. 所以F为AD的中点,即AF=FD.

    ■

    分析?摇 此证法的核心在于理解线段BF的角色,由结论要证明F是中点,因此BF可理解为中位线. 中位线的构造一定由倍长AB产生,此刻问题转化为证明BF∥DM. 证明平行的本质是证明角相等,即∠ABF=∠M. 由∠BCE=∠ABF,问题转化为证明∠BCE=∠M. 通过角去寻找三角形,可推理出需要证明△BCE≌△BMD. 这是一组旋转全等,旋转中心为点B,由辅助线的构造得两组对边相等,此时可推理出只要证得两组对应边的夹角相等即可. 此处,由两个互补结构完成角相等的证明、全等三角形的证明后,结论得证. 教师在讲解时,一定要深度挖掘结论所包含的隐藏信息,构造以BF为中位线的三角形. 其中,结构意识能帮助学生快速推导角相等,从而完成证明.

    3. 找准核心角以转化问题

    证法3:如图7,在CE上取一点H,使得CH=BF,连接BH. 因为△ABC为等腰直角三角形,所以AB=BC. 因为BG⊥CE,所以∠BGC=90°. 因为∠BCE+∠BGC=∠CBF,∠ABC=∠BGC=90°,所以∠BCE=∠ABF. 所以△ABF≌△BCH(SAS). 所以AF=BH,∠AFB=∠BHC. 又∠AFB+∠BFD=180°,∠BHC+∠BHE=180°,所以∠BFD=∠BHE. 容易证得∠DBF=∠BEC,又△BDE是等腰直角三角形,所以BD=BE. 所以△BFD≌△EHB(AAS). 所以BH=FD. 所以AF=FD.

    分析? 此证法的核心在于转移核心线段AF的位置. 由结构分析可得到∠BCE=∠ABF,AB=BC,由此推理出通过构造全等转移AF的位置是可行的. 接下来的辅助线可直接构造出证明全等所需要的第三个条件,此时问题变为证明BH=FD. 同理,可得到BD=BE,∠DBF=∠BEC,这两个等量关系使得BH,FD所处的三角形可能全等,最后由互补结构完成证明. 教师在讲解时,应重点分析转移核心线段AF位置的可能性以及此法最终能够证明的可行性.

    4. 找准核心比例来转化问题

    证法4:如图8,过点F作FQ∥BD交AB于点Q. 因为FQ∥BD,所以∠AFQ=∠ADB,∠AQF=∠ABD,∠QFB=∠FBD. 所以△AQF∽△ABD. 因为BG⊥CE,所以∠BGC=90°. 因为∠BCE+∠BGC=∠CBF,∠ABC=∠BGC=90°,所以∠BCE=∠ABF. 同理,∠FBD=∠BEC,因此∠QFB=∠BEC. 所以△BCE∽△QBF. 因为△BDE和△ABC都是等腰直角三角形,所以BD=BE,AB=BC. 设BD=x,AB=y,QF=a,QB=b,由△AQF∽△ABD,得■=■①,由△BCE∽△QBF,可得■=■②,将②代入①可得y=2b,因此■=■. 又FQ∥BD,所以■=■. 所以AF=FD.

    分析?此证法的核心在于通过平行线转化AF=FD,将线段相等理解为1 ∶ 1. 相似所得的比例式含有4个字母,而最终的结论需要证明AF和AD的2倍关系或AQ与AB的2倍关系,即x与a的数量关系或y与b的数量关系,因此推理出需要利用基本结构进行代数消元. 依托互补结构定位相等角的位置,由此定位△BCE,△BQF,由相似得到等量关系,代入消去x,a后结论得证. 由此法,教师还可将平行线转化比例进行一般化推广.

    基于几何一题多解与核心素养

    培养的思考

    1. 回归基础,强化基本概念,确定解题方向

    几何图形的基本定义、基本性质、基本定理和判定,是学习几何的基础. 对于本题,学生要对等腰直角三角形的基本概念十分清楚,等腰直角三角形可提供角相等与边相等. 从对称性来看,等腰直角三角形是轴对称图形,对称轴是斜边的中垂线;从旋转性来看,在等腰直角三角形BDE中,直角边BD绕直角顶点B顺时针旋转90°后可与BE重合. 一般而言,邊的旋转实则是三角形的旋转. 本题的证法2就可以从旋转的角度来理解,通过旋转做等线段转化. 教师在讲解时,融入这些内容,可使学生对基本几何图形形成一个完整的思维体系. 学生对图形的认识越深刻,解题时的方向感就越强.

    2. 找准核心,提炼基本结构,形成模型意识

    本题的核心在于理解中点,利用中点,转化中点,通过转化中点来转化问题,这是本题的第一个推理点,与中点相关联的基本结构有中位线、倍长中线、三线合一、斜中半. 解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒(G·波利亚语),因此选择构造何种基本结构来解题,依据是能否与已知条件相关联. 本题的第二个推理点是全等或相似的证明,本题中出现的互补结构能够提供角相等,等腰直角三角形可提供边相等,因此可通过等角与等边的位置定位两个三角形,完成全等与相似的证明后即可证明结论.

    对细节结构的推理可精准定位解决问题的方向,从而切实提高学生的解题能力. 因此,教师在讲解时,一定要融入细节结构分析,这是解题方法的指导. 没有对细节结构的理解,解题时学生是盲目的,缺乏方向感. 学生在完成多种解法的梳理时,对中点条件的理解能更加深刻,对基本结构的应用会更加熟练. 我们的目的是让中点问题模型化,让学生以通解通法应对题目万变.

    3. 在过程中提升能力,让能力内化为核心素养

    在学生逻辑推理能力的培养中,几何证明的演绎推理扮演着重要的角色,因此《课程标准》中要求从小学的实验几何要逐步过渡到初中的推理几何. 在几何教学中,教师应引导学生掌握几何基本模型结构,提炼几何证明的通法通性,让学生具备模型意识,从而增强学生的演绎推理能力. 通过对解题方向的归纳与思考,即本题中对中点的理解,能增强学生的合情推理能力.

    几何中一题多解的过程就是合情推理与演绎推理的最好体现,“多”字的内核是合情推理,它提供证明的起点,“解”字的内核是演绎推理,它提供证明的动力,两者相辅相成,辩证统一. 归纳和演绎,正如分析和综合一样,是相互联系着的. 我们不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去,应当把每一个都用到该用的地方. 要做到这一点,就只有注意它们的相互联系、它们的相互补充(恩格斯语). 这里的归纳就是合情推理的一种形式. 因此,在几何教学中,以一题多解为载体,重视学生推理能力的培养,可切实提升学生的学科核心素养.

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