例析构造法解三角题
宋 波
“构造法”是指为解决某个问题先构造一种数学形式(如几何图形、代数式、方程式等)，寻求与问题的某种内在联系，使之直观明了，起到化简、转化和桥梁作用，从而找到解决问题的思路、方法.此法重在“构造”、深刻分析、正确思维和丰富联想.它体现了数学中发现、类比、化归的思想，渗透着猜想、试验、探索、概括等重要的数学方法，是一种富有创造性的解决问题的方法.
三角问题千变万化，题型丰富，某些问题的解答技巧性强，如果只用常规方法去处理可能很复杂，甚至难以奏效.若能根据题设条件和题型结构特点，恰当地运用构造法，能使问题迎刃而解.
一、构造几何图形解三角题
例1 已知θ，φ均为锐角，且θ+φ<π2,化简cos2φ+cos2(θ+φ)-2cosφcosθcos(θ+φ).
析解：构造外接圆直径为1且三内角分别为90°+φ,90°-(θ+φ)，θ的三角形，则由余弦定理，原式=sin2(90°+φ)+sin2［90°-(θ+φ)］-2sin(90°+φ)sin［90°-(θ+φ)］cosθ=sin2θ.
例2 已知锐角α，β，γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证：tanα+tanβ+tanγ≥32.
析证：构造长、宽、高分别为a、b、c的长方体，使其同一个顶点处的对角线与三条棱所成的夹角分别为α、β、γ，显然锐角α，β，γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1，且tanα=b2+c2a,tanβ=c2+a2b,tanγ=a2+b2c,所以tanα+tanβ+tanγ=b2+c2a+c2+a2b+a2+b2c≥22(b+ca+c+ab+a+bc)=22·［(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)］≥22(2+2+2)=32,当且仅当a=b=c时，即α=β=γ=arctan2时，等号成立.
评注：“构图”是构造法中的一个重要方法，如能挖掘三角问题中所具有的图形特征，正确有效地构造几何图形，明确反映各量之间的关系，就能准确快速地作出解答.
二、构造代数(或函数)式解三角题
例3 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.
析解：设x=sin220°+cos250°+sin20°·cos50°，
构造x的对偶式y=cos220°+sin250°+cos20°sin50°,则x+y=2+sin70°,x-y=-cos40°+cos100°-sin30°=-12-sin70°,两式联立解得x=34.
例4 求证：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.
析证：设A=cosπ7-cos2π7+cos3π7，构造A的对偶式B=sinπ7-sin2π7+sin3π7,
令z=cosπ7+isinπ7,易知z7=-1,且z3≠-1，则A+Bi=z-z2+z3=z(1+z3)1+z=z(1+z3)-z7+z=1+z31-z6=11-z3
=11-cos3π7-isin3π7=12+sin3π72(1-cos3π7)i,所以A=12.
评注：数学美无处不在，三角函数中尤其如此，而对称美在数学解题中具有重要作用.在构造代数式或函数式解题时，常构造“对偶式”、“对称式”，有利于重组问
题中各元素，汇聚题目条件，收到事半功倍的效果.
三、构造方程解三角题
例5 求sin18°和cos36°的值.
析解：因为sin18°·cos36°=sin36°·cos36°2cos18°=sin72°4cos18°=14,-sin18°+cos36°=sin54°-sin18°=2cos36°·sin18°=12,所以将-sin18°和cos36°看作一元二次方程x2-12x-14=0的两根，解这个方程得x=1±54,又因为cos36°>sin18°>0,所以sin18°=5-14,cos36°=1+54.
评注：对于某些三角求值问题，直接计算很难入手，可运用根与系数的关系，联想构造一元二次方程来求解.
四、构造平面解析几何模型解三角题
例6 求函数f(x)=1+sinx3+cosx的最值.
析解：三角函数的最值转化为过单位圆u2+v2=1上任一点P(-cosx,-sinx)与定点C(3，1)连线斜率的最值.如图1所示，由切线性质可求得，kAC=0,kBC=34，由图可知，kAC≤kPC≤kBC，所以fmax(x)=kBC=34,fmin(x)=kAC=0.
评注：有些问题具有几何背景，用常规方法较难解决，而类比构造其几何意义，运用数形结合的数学思想，通过构造平面解析几何模型，直观地反映元素之间的关系，使问题快速获解.
例7 已知sinA+sin(A+B)+cos(A+B)=3,B∈［π4,π］，求B的值.
析解：由已知可得(sinB+cosB)cosA+(1+cosB-sinB)sinA-3=0,构造直线(sinB+cosB)x+(1+cosB-sinB)y-3=0和圆x2+y2=1，显然点(cosA,sinA)既在直线上又在圆上，所以圆心(0，0)到直线的距离小于等于半径，即
|0+0-3|(sinB+cosB)2+(1+cosB-sinB)2≤1，得cosB≥sinB,又B∈［π4,π］，所以cosB≤sinB,得cosB=sinB,故B=π4.
评注：对各量关系不明确的问题，创造性地构造与之相关的平面解析几何模型，凸现各元素之间的内在联系，揭示问题的实质，使问题变得简单明了.
例8 解不等式组：
12<2cosθ+sinθ<1(θ∈R).
析解 考虑到(2cosθ)24+sin2θ=1,故可构造椭圆模型来解.
设x=2cosθ,y=sinθ，则原不等式化为
x24+y2=1,
12
评注：将求解三角不等式(组)的计算问题转化为两曲线之间的位置关系，借助图形求解，具有直观、简单的优点.
三角函数是中学数学的重要内容之一，其特点是脉络清晰、结构严谨、公式众多，解题方法技巧性强，数学思想要求高，而且与其他数学分支联系紧密.构造法为解释这种内在联系提供了方法上的保证，有意识地进行训练，能加深学生对所学知识的理解，提高学生运用知识解决问题的能力.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
“构造法”是指为解决某个问题先构造一种数学形式(如几何图形、代数式、方程式等)，寻求与问题的某种内在联系，使之直观明了，起到化简、转化和桥梁作用，从而找到解决问题的思路、方法.此法重在“构造”、深刻分析、正确思维和丰富联想.它体现了数学中发现、类比、化归的思想，渗透着猜想、试验、探索、概括等重要的数学方法，是一种富有创造性的解决问题的方法.
三角问题千变万化，题型丰富，某些问题的解答技巧性强，如果只用常规方法去处理可能很复杂，甚至难以奏效.若能根据题设条件和题型结构特点，恰当地运用构造法，能使问题迎刃而解.
一、构造几何图形解三角题
例1 已知θ，φ均为锐角，且θ+φ<π2,化简cos2φ+cos2(θ+φ)-2cosφcosθcos(θ+φ).
析解：构造外接圆直径为1且三内角分别为90°+φ,90°-(θ+φ)，θ的三角形，则由余弦定理，原式=sin2(90°+φ)+sin2［90°-(θ+φ)］-2sin(90°+φ)sin［90°-(θ+φ)］cosθ=sin2θ.
例2 已知锐角α，β，γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证：tanα+tanβ+tanγ≥32.
析证：构造长、宽、高分别为a、b、c的长方体，使其同一个顶点处的对角线与三条棱所成的夹角分别为α、β、γ，显然锐角α，β，γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1，且tanα=b2+c2a,tanβ=c2+a2b,tanγ=a2+b2c,所以tanα+tanβ+tanγ=b2+c2a+c2+a2b+a2+b2c≥22(b+ca+c+ab+a+bc)=22·［(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)］≥22(2+2+2)=32,当且仅当a=b=c时，即α=β=γ=arctan2时，等号成立.
评注：“构图”是构造法中的一个重要方法，如能挖掘三角问题中所具有的图形特征，正确有效地构造几何图形，明确反映各量之间的关系，就能准确快速地作出解答.
二、构造代数(或函数)式解三角题
例3 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.
析解：设x=sin220°+cos250°+sin20°·cos50°，
构造x的对偶式y=cos220°+sin250°+cos20°sin50°,则x+y=2+sin70°,x-y=-cos40°+cos100°-sin30°=-12-sin70°,两式联立解得x=34.
例4 求证：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.
析证：设A=cosπ7-cos2π7+cos3π7，构造A的对偶式B=sinπ7-sin2π7+sin3π7,
令z=cosπ7+isinπ7,易知z7=-1,且z3≠-1，则A+Bi=z-z2+z3=z(1+z3)1+z=z(1+z3)-z7+z=1+z31-z6=11-z3
=11-cos3π7-isin3π7=12+sin3π72(1-cos3π7)i,所以A=12.
评注：数学美无处不在，三角函数中尤其如此，而对称美在数学解题中具有重要作用.在构造代数式或函数式解题时，常构造“对偶式”、“对称式”，有利于重组问
题中各元素，汇聚题目条件，收到事半功倍的效果.
三、构造方程解三角题
例5 求sin18°和cos36°的值.
析解：因为sin18°·cos36°=sin36°·cos36°2cos18°=sin72°4cos18°=14,-sin18°+cos36°=sin54°-sin18°=2cos36°·sin18°=12,所以将-sin18°和cos36°看作一元二次方程x2-12x-14=0的两根，解这个方程得x=1±54,又因为cos36°>sin18°>0,所以sin18°=5-14,cos36°=1+54.
评注：对于某些三角求值问题，直接计算很难入手，可运用根与系数的关系，联想构造一元二次方程来求解.
四、构造平面解析几何模型解三角题
例6 求函数f(x)=1+sinx3+cosx的最值.
析解：三角函数的最值转化为过单位圆u2+v2=1上任一点P(-cosx,-sinx)与定点C(3，1)连线斜率的最值.如图1所示，由切线性质可求得，kAC=0,kBC=34，由图可知，kAC≤kPC≤kBC，所以fmax(x)=kBC=34,fmin(x)=kAC=0.
评注：有些问题具有几何背景，用常规方法较难解决，而类比构造其几何意义，运用数形结合的数学思想，通过构造平面解析几何模型，直观地反映元素之间的关系，使问题快速获解.
例7 已知sinA+sin(A+B)+cos(A+B)=3,B∈［π4,π］，求B的值.
析解：由已知可得(sinB+cosB)cosA+(1+cosB-sinB)sinA-3=0,构造直线(sinB+cosB)x+(1+cosB-sinB)y-3=0和圆x2+y2=1，显然点(cosA,sinA)既在直线上又在圆上，所以圆心(0，0)到直线的距离小于等于半径，即
|0+0-3|(sinB+cosB)2+(1+cosB-sinB)2≤1，得cosB≥sinB,又B∈［π4,π］，所以cosB≤sinB,得cosB=sinB,故B=π4.
评注：对各量关系不明确的问题，创造性地构造与之相关的平面解析几何模型，凸现各元素之间的内在联系，揭示问题的实质，使问题变得简单明了.
例8 解不等式组：
12<2cosθ+sinθ<1(θ∈R).
析解 考虑到(2cosθ)24+sin2θ=1,故可构造椭圆模型来解.
设x=2cosθ,y=sinθ，则原不等式化为
x24+y2=1,
12
评注：将求解三角不等式(组)的计算问题转化为两曲线之间的位置关系，借助图形求解，具有直观、简单的优点.
三角函数是中学数学的重要内容之一，其特点是脉络清晰、结构严谨、公式众多，解题方法技巧性强，数学思想要求高，而且与其他数学分支联系紧密.构造法为解释这种内在联系提供了方法上的保证，有意识地进行训练，能加深学生对所学知识的理解，提高学生运用知识解决问题的能力.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
