初中数学几何最值问题探究

    丁力

    

    

    [摘 ?要] 几何最值问题是初中数学常见的问题类型，涉及众多知识点，问题形式也较为多变. 该类问题的求解需要把握常见的问题模型，理解问题本质，结合相关知识来合理转化. 文章对几何最值问题加以探究，解读基本模型，探究典型问题，提出相应的学习建议.

    [关键词] 几何;最值;模型;将军饮马;线段和

    问题背景

    从最值问题的特点来看，其类型主要分为几何与代数两类，其中几何最值更为常见，也最具代表性，其中涉及角度、常见的几何图形、坐标轴和抛物线等知识内容，重点考查学生“两点之间线段最短”“垂线段最短”“线段平移”等知识点. 学习时需要掌握常见的问题原型，例如将军饮马和选址问题等. 求解的总体思路是利用轴对称特性来实现线段的由“折”化“直”，从而可以利用几何定理来确定最值情形.

    模型解读

    几何最值的问题形式较为多变，但其中的基本几何模型是固定的，模型如下.

    模型条件：如图1所示，点A和B是直线l同侧的两个定点，点P是直线l上的一个动点.

    模型问题：分析点P的位置，何时可使PA+PB的值最小.

    解题方法 作点A关于直线l的对称点，设为A′，连接A′B，与直线l的交点就为满足条件时点P的位置，此时PA+PB=A′P+PB=A′B.

    方法解读 由轴对称特性可知PA=A′P，从而将问题转化为求A′P+PB的最小值，其中涉及A′、P和B三点，基于“两点之间线段最短”原理可知：当A′、P和B三点共线时，A′P+PB取得最小值，从而实现了线段的化“折”为“直”.

    问题探究

    几何最值的问题类型有多种，设问形式也不相同，在实际求解时需要结合相应的知识来简化问题，然后结合几何基本模型求解，下面将对其中常见的三种最值问题进行探究.

    类型一：几何中的线段和最值

    例1 如图2所示，四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，点M是对角线BD（不与点B重合）上的一点. 现将线段BM以点B为旋转中心逆时针转60°，点B落在了点N处，连接EN、AM和CM，回答下列问题.

    （1）求证：△AMB与△ENB全等.

    （2）①点M位于何位置时，线段和AM+CM可取得最小值;

    ②点M位于何位置时，线段和AM+BM+CM可取得最小值，请说明理由.

    解析 （1）根据正方形和全等三角形的性质即可获得全等条件，过程略.

    （2）①点M位于对角线BD上，根据“两点之间，线段最短”可知线段AC与BD的交点为M时就是最小值的情形，此时点M为BD的中点.

    ②求线段和的最小值，需要采用等线段转化的方式，连接CE、MN，过点E作CB延长线上的垂线，垂足为点F，如图3. 由（1）问可知△AMB？艿△ENB，则有AM=EN，∠MBN=60°，MB=NB，所以△BMN为等边三角形，故BM=MN，则AM+BM+CM=EN+MN+CM. 根据“两点之间，线段最短”，当点E、N、M和C四点共线时，EN+MN+CM=EC，点M位于EC与BD的交点处，此时距离最短.

    评析 上述是关于几何图形的线段和最值，涉及三线、四点，但求解的基本思路和原理是一致的，采用轴对称变换的方式来化“折”为“直”，结合共线原理来确定最值情形. 几何最值问题实则就是几何动点问题，求解的过程可以视为化“动”为“静”，因此需要采用动态的眼光来审视问题，结合几何定理来严谨论证.

    类型二：几何图形的周长最值

    例2 如图4所示，在四边形ABCD中，已知∠C=50°，∠B=∠D=90°，点E和F分别位于线段BC和DC上，试分析△AEF的周长取得最小值时∠EAF的度数.

    解析 本题目属于周长最值问题，求∠EAF的度数显然需要首先确定△AEF周长最小值时的情形. L△AEF=AE+AF+EF，显然需要参照基本最值模型，通过轴对称转化的方式来实现共线，确定最值情形. 过点A作关于BC的对称点M，以及关于CD的对称点N，连接MN，设与BC和CD的交点为E和F，此时点M、E、F、N四点共线，AE+AF+EF=EM+NF+EF=MN，△AEF的周长最小. 根据轴对称特性可知∠M=∠BAE，∠N=∠DAF，在四边形中∠BAD=130°，在△AMN中有∠M+∠N=50°，所以∠BAE+∠DAF=50°，则∠EAF=130°-50°=80°.

    评析 上述是关于几何周长的最值问题，结合周长公式很容易将其转化为线段和的最值，其特点在于涉及的线段、关键点更多，因此在实际分析时需要多次进行轴对称变换，但基本原理不变.

    类型三：抛物线背景下的线段最值

    （1）若抛物线经过点A和B，试求抛物线的解析式.

    （3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑動时，设抛物线与AC的另一交点为Q，取BC中点N，分析NP+BQ是否存在最小值？若存在，请求出该最小值;若不存在，请说明理由.

    解析 本题目的第（3）问为抛物线背景下的线段和最小值问题，可以参照将军饮马问题的模型，解题的关键是确定图中哪条直线为“河”，一般情况下以角平分线作为河. 作图过程与基本模型相同，差异点主要集中在求解线段长上，抛物线中可利用点坐标的距离公式来求线段长.

    评析 上述是抛物线背景下的线段和最值问题，抛物线是初中数学的重点内容，该内容含有代数与几何的双重特性，该背景下的线段和最值问题具有两大特点：一是计算线段长需要结合点坐标，二是确定模型中的对称轴需要结合其中的角平分线. 而解题的总体思路是相一致的，通过轴对称变换来实现线段和的化“折”为“直”.

    思考建议

    求解几何最值问题的策略有很多，“将军饮马”问题模型是最常用的方法策略，适用于单纯的几何线段和最值、几何图形的周长最值以及抛物线背景下的线段最值. 解题时需要明晰模型破题的核心内容——轴对称线段等长变换，上述呈现了三类问题的求解思路和方法技巧，下面提出几点学习建议.

    1. 关注问题模型，掌握方法本质

    本文的最值模型的解析过程中涉及了轴对称变换和“两点之间，线段最短”的共线定理，也是解决几何线段和最值问题的核心内容. 学习该类问题的解题策略就需要关注模型本质，了解解题思路的构建方法，即通过轴对称变换使同侧线段转换到参考线的两侧，从而为后续的点共线、化“折”为“直”提供可能. 因此在探究经典问题时需要深入了解问题模型，掌握解题原理，总结问题特点，强化基础知识，提升解题灵活性.

    2. 强化推理能力，提升解题思维

    几何最值问题是中考数学的经典问题之一，在探究解决过程中需要通过轴对称变换来转化问题，利用共线定理来确定最值情形. 该过程需从动态角度来加以分析，因此对学生的思维方式和能力有着较高的要求，在实际探究时需要注重分析推理，提升解题思维. 而在实际教学中，教师要有意识、有目的地通过变换问题条件、重组问题结构，引导学生大胆猜想、严谨论证，亲身经历数学模型建立、证明的过程，促进学生数学思维的发展.