浅谈抽象函数的解题策略
王文龙
在函数部分的综合题中,我们常会遇到一类抽象函数问题.由于其表达形式的现象和性质的隐蔽,使得直接求解的思路常难以寻求.事实上,这类问题都以中学阶段所学的基本函数为模型.只要我们善于联想和类比,挖掘出作为模型的函数,从抽象函数的背景函数出发,变抽象为具体,必能为解题提供思路和方法.笔者以例说明,希望能对同学们有所帮助.
一、正比例函数为背景函数
例1 已知函数f(x)定义在R上,对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时f(x)>0,f(1)=2,问当-4≤x≤4时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由.
分析:以正比例函数f(x)=kx(k≠0)为背景函数,它满足f(x+y)=f(x)+f(y)或f(x-y)=f(x)-f(y),因此求函数f(x)在[-4,4]上的最大值与最小值,要从函数f(x)在[-4,4]上的单调性入手来求解.
解:令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),
在函数部分的综合题中,我们常会遇到一类抽象函数问题.由于其表达形式的现象和性质的隐蔽,使得直接求解的思路常难以寻求.事实上,这类问题都以中学阶段所学的基本函数为模型.只要我们善于联想和类比,挖掘出作为模型的函数,从抽象函数的背景函数出发,变抽象为具体,必能为解题提供思路和方法.笔者以例说明,希望能对同学们有所帮助.
一、正比例函数为背景函数
例1 已知函数f(x)定义在R上,对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时f(x)>0,f(1)=2,问当-4≤x≤4时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由.
分析:以正比例函数f(x)=kx(k≠0)为背景函数,它满足f(x+y)=f(x)+f(y)或f(x-y)=f(x)-f(y),因此求函数f(x)在[-4,4]上的最大值与最小值,要从函数f(x)在[-4,4]上的单调性入手来求解.
解:令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),