函数思想方法在非函数型不等式中的运用
黄如炎
有些难度较大的不等式（最值）问题，表面看似与函数无关但背后往往蕴藏着某个函数，如能揭示所隐含的函数，通过研究函数的性质与图象可化难为易，此类不等式（最值）问题在近年高考压轴题、竞赛题和数学问题中时有出现，学生不知所措，束手无策，应引起教师教学上的重视，运用函数思想方法解决非函数型不等式（最值）问题的关键在于根据不等式结构特征或将不等式变形转化后构建以某个量为自变量的函数，利用导数研究函数的单调性、最值、极值、切线和图象后使问题获解，探寻与构建不等式中蕴藏函数的方法机智灵活多样，主要有以下几种情境与对策.
方法提炼 对某些多元对称不等式，可利用不等式等号成立时函数取得极值探寻不等式g（a）≥h（a），即构建函数f（x）=g（x）一h（x）解决问题，此方法比利用切线寻找函数的一次估计式更具有一般性.
例8[2] （《数学通报》数学问题2080）正数a，b，c满足a+ 2b+ 3c≤abc，求5a+ 22b+c最小值.
本问题难度较大，引起了许多中数研究者的关注和探究，问题提供人是在赋予a ，b，c具体值的情况下设置本问题，可根据已知a，b，c值和均值不等式取等号的条件对式子进行变形配凑后用均值不等式求出最值[3]，但在外人看来这种变形分拆神秘莫测，文献[4～6]通过待定系数法、算术平均不等式、加权幂平均不等式等方法进行探究，虽然揭开了命题者解题的神秘面纱，但都涉及到多元高次方程，求解过程十分艰难，下面通过构建函数既轻松解决问题又开启新的思维方式.
方法提炼 对某些关于a，b，c式子最值，可先构建关于某个字母的函数f（x，b，c）（或f（x，a ，c），f（x，a，b）），利用导数求出最值g（b，c）（或g（a，c），g（a，b0）），再构建函数g（x，c）（或g（x，a），g（x，b）），利用导数求出最值h（c）（或h（a），h（b）），再求出h（c）（或h（a），h（b））最值.
《普通高中数学课程标准》 （2017年版）对学生的逻辑推理素养水平的要求包括：“对于新的数学问题，能够提出不同的假设前提，推断结论，形成数学命题;对于较复杂的数学问题，能够通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题”[7].解决难度较大的数学问题，往往需要提出某个假设或引理，构建函数是提出假设和引理的有效途径之一，在非函数型不等式（最值）问题中，通过探寻与构建函数合乎情理地探求不等式求证（解）思路，有助于培养学生理性思维和高水平逻辑推理素养.
参考文献
[1]黄兆麟.数学问题2298解答[J].数学通报，2016（5）：64
[2]黄兆麟.数学问题2080解答[J].数学通报，2012 （9）：封底
[3]黄兆麟.2080号题是这样编出来的[J].数学通讯（下半月），2015 （11）：39-61
[4]王淼生.追寻数学问题2080解答本来面目[J].數学通报，2013 （11）：58-61
[5]杨先义.也谈数学通报数学问题2080的解答[J].数学通讯（下半月），2014（11）：31-34
[6]张青山.对数学问题2080的探究[J].数学通报，2016 （12）： 52-54
[7]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017
有些难度较大的不等式（最值）问题，表面看似与函数无关但背后往往蕴藏着某个函数，如能揭示所隐含的函数，通过研究函数的性质与图象可化难为易，此类不等式（最值）问题在近年高考压轴题、竞赛题和数学问题中时有出现，学生不知所措，束手无策，应引起教师教学上的重视，运用函数思想方法解决非函数型不等式（最值）问题的关键在于根据不等式结构特征或将不等式变形转化后构建以某个量为自变量的函数，利用导数研究函数的单调性、最值、极值、切线和图象后使问题获解，探寻与构建不等式中蕴藏函数的方法机智灵活多样，主要有以下几种情境与对策.
方法提炼 对某些多元对称不等式，可利用不等式等号成立时函数取得极值探寻不等式g（a）≥h（a），即构建函数f（x）=g（x）一h（x）解决问题，此方法比利用切线寻找函数的一次估计式更具有一般性.
例8[2] （《数学通报》数学问题2080）正数a，b，c满足a+ 2b+ 3c≤abc，求5a+ 22b+c最小值.
本问题难度较大，引起了许多中数研究者的关注和探究，问题提供人是在赋予a ，b，c具体值的情况下设置本问题，可根据已知a，b，c值和均值不等式取等号的条件对式子进行变形配凑后用均值不等式求出最值[3]，但在外人看来这种变形分拆神秘莫测，文献[4～6]通过待定系数法、算术平均不等式、加权幂平均不等式等方法进行探究，虽然揭开了命题者解题的神秘面纱，但都涉及到多元高次方程，求解过程十分艰难，下面通过构建函数既轻松解决问题又开启新的思维方式.
方法提炼 对某些关于a，b，c式子最值，可先构建关于某个字母的函数f（x，b，c）（或f（x，a ，c），f（x，a，b）），利用导数求出最值g（b，c）（或g（a，c），g（a，b0）），再构建函数g（x，c）（或g（x，a），g（x，b）），利用导数求出最值h（c）（或h（a），h（b）），再求出h（c）（或h（a），h（b））最值.
《普通高中数学课程标准》 （2017年版）对学生的逻辑推理素养水平的要求包括：“对于新的数学问题，能够提出不同的假设前提，推断结论，形成数学命题;对于较复杂的数学问题，能够通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题”[7].解决难度较大的数学问题，往往需要提出某个假设或引理，构建函数是提出假设和引理的有效途径之一，在非函数型不等式（最值）问题中，通过探寻与构建函数合乎情理地探求不等式求证（解）思路，有助于培养学生理性思维和高水平逻辑推理素养.
参考文献
[1]黄兆麟.数学问题2298解答[J].数学通报，2016（5）：64
[2]黄兆麟.数学问题2080解答[J].数学通报，2012 （9）：封底
[3]黄兆麟.2080号题是这样编出来的[J].数学通讯（下半月），2015 （11）：39-61
[4]王淼生.追寻数学问题2080解答本来面目[J].數学通报，2013 （11）：58-61
[5]杨先义.也谈数学通报数学问题2080的解答[J].数学通讯（下半月），2014（11）：31-34
[6]张青山.对数学问题2080的探究[J].数学通报，2016 （12）： 52-54
[7]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017
