基于深度学习的微研究实践
马海龙
《中国学生发展核心素养》已经正式发布，以培养“全面发展的人”为最终目的，在高中数学教学中就反映在落实数学六大核心素养，而落实核心素养重在使用好数学教材，教材是编写组在充分调研基础上，精心设计、合理编排的，让学生经历完整研究过程，感悟数学的思想性，但实际教学中，数学教材的使用存在着值得探讨问题：有的是弃教材而不用;有的是把教材作为知识点的提供者;还有的是使用教材了但挖掘的深度不够，不足以促进学生的核心素养的提升，如何让教材的使用承担起落实核心素养的重任？正是对这个问题的思考，本文基于深度学习理论，以一道课本习题的微研究为案例，让学生经历了完整的获得对象一研究性质一应用拓展的过程，实践了以发展学生数学核心素养为目的课堂教学.
1 深度学习
1.1 深度学习的内涵
深度学习理论认为学习既是个体感知、记忆、思维等认知过程，也是根植于社会文化、历史背景、现实生活的社会建构过程[1].深度学习也被译为深层学习，是美国学者Ference Marton和Roger Saljo基于学生阅读的实验，针对孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习，于1976年首次提出的关于学习层次的一个概念[2].
深度学习是学生源于自身内部动机，对有价值的学习内容展开的完整的、准确的、丰富的、深刻的学习[3]，从本质上看，深度学习是一种主动的、探究式的、理解性的学习方式，要求学习者掌握非结构化的深层知识并进行批判性的高阶思维、主动的知识建构、有效的迁移应用及真实问题的解决，进而实现元认知能力、问题解决能力、批判性思维、创造性思维等高价能力的发展;与之相对应的浅层学习则是一种被动的、机械式的、记忆性的学习方式，只是把信息作为孤立的、不相关的事实来被动接受、简单重复和机械记忆，忽视对知识的深层加工、深度理解及长期保持，更无法实现知识建构、迁移应用及真实情景中的复杂问题解决[4].
深度学习是有意义的学习，要求学生的学习不是单纯的接受，而是在发现基础上的同化;深度学习是理解性的学习，重在引导学生通过深切的体验和深入的思考，达成对学科本质和知识意义的渗透理解;深度学习是阶梯式的学习，要求学生的学习必须是促进式的、层次性的、阶梯式的[3].
1.2 深度学习对微研究的指导意义
本文的微研究是指针对高中数学教学实际，把研究内容放在“小现象、小策略、小教学”上，虽然研究的问题是“微”、“小”的，但本质上也是“研究”，要求是高效的：要把数学学科的价值追求及所蕴含的精神融入其中，要挖掘出对学生个体——人的后续学习发展最有价值的、能遷移、能内化的部分.
基于深度学习的微研究，是源于学生自身内部动机，对有价值的学习内容让学生学习到数学最本质、最有价值的知识，也就是微研究要落实在核心概念与命题、本质与规律、思想与方法、产生与来源、关系与结构上，最终实现数学核心素养的落实.
2 实践案例
2.1 获得对象——来源于教材
人教A版高中数学2第124页一道题目：
己知点M（x，y）与两个定点0（0，0），A（3，0）的距离之比为1/2，求点M的轨迹方程，
这道课本习题，学生应用解析法可顺利完成，若止步于此，学生的学习状态就停留在浅层学习水平而鲜有对核心素养的发展，既浪费了一道好题，学生又没能学习到最本质、最有价值的知识.
2.2 引向深度——推广到一般
为挖掘本题深刻含义，开展微研究，师生提出变式问题：己知点M（x，y）与两个定点0（0，0），A（3，0）的距离之比为2，求点M的轨迹，完成后提出问题1：
问题1 能提出一般性的问题吗？能解决它吗？
学生提出平面上动点P到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ>0，且λ≠1），求动点P的轨迹，
学生完成求解后，师生共同总结出：
阿波罗尼斯圆定理 已知平面上两定点A，B，则所有满足PA/PB=λ（λ>0，且λ≠1）的动点P的轨迹是一个圆.（这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，下文简称阿氏圆）.
这种一般化的思考，就是深度学习的体现，在微研究过程中，学生批判地学习，主动地探究，自主地建构知识，这种有效迁移应用，是一种创造性思维能力，同时也是对核心素养数学抽象的落实，在微研究中，学生从原题及变式中辨认出：动点到两定点的距离比为定值是阿氏圆的本质特征，通过抽象使得原型内涵减少，结构变弱，外延扩张，获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例，这种抽象是弱抽象，也就是由特殊到一般.
2.3 领悟本质——几何化表征
希尔伯特指出：数学是一个不可分割的有机整体，它的生命力在于各个部分之间的联系，从不同的角度对同一数学对象进行多元表征，可以使数学学习对象多角度具体化，加深对同一数学对象的认识，阿氏圆本身是几何问题，教师可引导学生用几何知识解决该问题.
问题2 阿氏圆定理能用几何证明吗？
这需要学生对新知识进行充分的思维加工，让其与已有的初中平面几何知识结构相互作用，使新知识同化到已有认知结构中去，达到对新知识的相应理解和主动建构.
证明如图1，在△PAB中，内角∠P的平分线与边AB交于E，外角∠P的平分线与AB的延长线交于F，由角平分线性质得AE/BE=λ，AF/BF=λ，又∠EPF= 90°，故点P在以EF为直径的圆上，
这个证明可以在新知识和原有知识之间建立联系，有利于把所学知识迁移应用到新的问题情境中使用，有利于构建良好的知识体系，这样构造的知识体系和正迁移能力正是深度学习的特点，也体现了直观想象的核心素养，高中阶段，直观想象主要表现在利用图形描述、理解数学问题，利用图形探索、解决数学问题，通过构建直观模型，加深对事物本质和发展规律的理解和认知，阿氏圆的证明通过平面几何知识解决，是直观想象的一个实例，体现出阿氏圆不仅是建立在抽象的代数运算基础上，也是在动态的几何问题中找寻到的不变几何关系.
至此，学生能使用术语交流，能解释阿氏圆的结构、表述，能依据题目对阿氏圆作出估计或预测、推断，对于阿氏圆的学习达到了深度学习理论中的领会水平，领会是指理解交流内容中所含文字信息的各种指标、行为或反应，领会侧重于理解，基本表现方式的有三种：转化、解释、推断.
2.4 抓住核心——要素与分析
深度学习理论认为，分析是一种高阶思维能力，分析有三个层次：一是把材料分解成各个组成部分;二是弄清各部分之间的关系;三是识别出把材料组合在一起，使之成为一个整体的组织原理、排列和结构，分析代表了更高的智能水平：既要理解材料的内容，又要理解其结构，
问题3 阿氏圆涉及几个要素？各要素之间关系如何？
阿氏圆涉及的要素有：定点A，B，定值λ，动点P，从正、逆两个角度对要素进行分析：
（1）当A，B，λ已知时，先在AB直线上确定点E，F，使得EA/EB=FA/FB=λ，以EF为直径的圆即为对应的阿氏圆，如图1.
（2）当已知A及点P所在的阿氏圆时，可确定另一定点B的位置，如图1，设阿氏圆的圆心为O，半径为r，则有EA/EB=FA/FB=OA-r/r-OB=λ=AP/BP，整理得λ=OA/r=r/OB，即r是OA，OB的等比中项，且公比为λ，该结论形式优美，易于记忆，方便解决问题.
通过对要素的分析，学生加深了理解，对阿氏圆的记忆不再是浅层学习的机械记忆，而是在真正理解基础上的联想记忆，关注的焦点也不再是解决问题所需的公式和外在线索，而是解决问题所需的核心原理.
2.5 运用实践——内隐转外显
深度学习理论认为，运用是以领会为基础，比领会的要求更高级，领会的标志在于，当说明抽象概念的用途时，能使用该抽象概念;运用则指在没有说明问题解决模式的情况下，能使用抽象概念于适当情境，领会侧重于理解，是内隐行为，运用则是外显的表现.
运用1 寻找隐圆
运用2 显露定点
运用3空间问题
运用4综合运用
深度学习理论认为，分析与综合是紧密联系，但综合同分析相反，它是把各要素组合为一体的带有创新性的技能，虽然领会、运用、分析也涉及到要素的组合和意义的构建，但它们往往是局部的，不完全的，而综合则是整体性的，通过综合与分析，就能掌握其中的核心概念和原理，以不变应万变.
3 实践微研究的思考
3.1 用微研究激活教材内容
教材中出现的内容，是在人类长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中数学的概念、定理、公式及部分习题都具有实际背景和深刻含义，蕴含着丰富的数学方法和数学思想，如在人教A版必修1中对第一个具体函数一指数函数的研究顺序：
这是高中函数微研究的范例，对于对数函数、三角函数等都遵循这个模式，只要学生掌握了这种方法，研究函数也就有章可循，因此，教师要深刻理解教材的设计意图，不轻易“放过”教材中的任何一幅图、一道例题、一道习题，不轻易“放过”教材问题呈现的方式，不轻易“放过”教材研究和解决问题的方法，教材是专家经验的积累、智慧的结晶，其每一个组成元素都有其存在的价值，教师要学会学生引领学生深度学习，深度挖掘其内在的丰富内涵，通过微研究让学生体会数学知识的形成过程，让学生尝试成功的欢愉，让学生品味到数学的韵味.
3.2 用微研究实现深度学习
基于深度学习的微研究，是让学生学习到学科最本质、最有价值的知识，微研究要研究那些数学学科的核心概念与命题，是这些最基本的知识缔造了数学学科体系的基石，微研究要关注能判断成为“数学学科”的最根本的属性;要注重事物、现象及过程内在的、本质的必然的联系;要体现出“知识”背后的“知识”，这些是数学家提出的对数学发展和数学学习最具有影响力的观念、思想和见解，是数学的精髓与灵魂，通过对数学知识的追本溯源的微研究，让学生掌握数学的产生与来源，对于学生整体把握数学显得尤为关键，数学之所以为“数学”而不是简单概念与知识要点的堆砌，其中非常重要的原因在于有著自己独特的结构，数学知识之间存在着不可割裂的内在联系，微研究要建立在使学生掌握数学学科内部的关系与结构上，学生就能从整体上把握数学学习与研究的精髓.
参考文献
[1]冯锐，任友群.学习研究的转向与学习科学的形成[J].电化教育研究，2009（2）：23-26
[2]MartonF，SaljoR.On Qualitative Difference in Learning： Outcome andProcess[J]. BritishjournalofEducationalPsychology， 1976 （46） ： 4-11
[3]贺慧.回归课堂原点的深度学习论[J].基础教育课程，2015 （12）：8-13
[4]张浩，吴秀娟，王静.深度学习的目标与评价体系构建[J].中国电化教育，2014（7）：51-55
[5]陈柏良，课堂教学要注重演绎结构的设计[J].中学数学教学参考，2014（12）：2-4
《中国学生发展核心素养》已经正式发布，以培养“全面发展的人”为最终目的，在高中数学教学中就反映在落实数学六大核心素养，而落实核心素养重在使用好数学教材，教材是编写组在充分调研基础上，精心设计、合理编排的，让学生经历完整研究过程，感悟数学的思想性，但实际教学中，数学教材的使用存在着值得探讨问题：有的是弃教材而不用;有的是把教材作为知识点的提供者;还有的是使用教材了但挖掘的深度不够，不足以促进学生的核心素养的提升，如何让教材的使用承担起落实核心素养的重任？正是对这个问题的思考，本文基于深度学习理论，以一道课本习题的微研究为案例，让学生经历了完整的获得对象一研究性质一应用拓展的过程，实践了以发展学生数学核心素养为目的课堂教学.
1 深度学习
1.1 深度学习的内涵
深度学习理论认为学习既是个体感知、记忆、思维等认知过程，也是根植于社会文化、历史背景、现实生活的社会建构过程[1].深度学习也被译为深层学习，是美国学者Ference Marton和Roger Saljo基于学生阅读的实验，针对孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习，于1976年首次提出的关于学习层次的一个概念[2].
深度学习是学生源于自身内部动机，对有价值的学习内容展开的完整的、准确的、丰富的、深刻的学习[3]，从本质上看，深度学习是一种主动的、探究式的、理解性的学习方式，要求学习者掌握非结构化的深层知识并进行批判性的高阶思维、主动的知识建构、有效的迁移应用及真实问题的解决，进而实现元认知能力、问题解决能力、批判性思维、创造性思维等高价能力的发展;与之相对应的浅层学习则是一种被动的、机械式的、记忆性的学习方式，只是把信息作为孤立的、不相关的事实来被动接受、简单重复和机械记忆，忽视对知识的深层加工、深度理解及长期保持，更无法实现知识建构、迁移应用及真实情景中的复杂问题解决[4].
深度学习是有意义的学习，要求学生的学习不是单纯的接受，而是在发现基础上的同化;深度学习是理解性的学习，重在引导学生通过深切的体验和深入的思考，达成对学科本质和知识意义的渗透理解;深度学习是阶梯式的学习，要求学生的学习必须是促进式的、层次性的、阶梯式的[3].
1.2 深度学习对微研究的指导意义
本文的微研究是指针对高中数学教学实际，把研究内容放在“小现象、小策略、小教学”上，虽然研究的问题是“微”、“小”的，但本质上也是“研究”，要求是高效的：要把数学学科的价值追求及所蕴含的精神融入其中，要挖掘出对学生个体——人的后续学习发展最有价值的、能遷移、能内化的部分.
基于深度学习的微研究，是源于学生自身内部动机，对有价值的学习内容让学生学习到数学最本质、最有价值的知识，也就是微研究要落实在核心概念与命题、本质与规律、思想与方法、产生与来源、关系与结构上，最终实现数学核心素养的落实.
2 实践案例
2.1 获得对象——来源于教材
人教A版高中数学2第124页一道题目：
己知点M（x，y）与两个定点0（0，0），A（3，0）的距离之比为1/2，求点M的轨迹方程，
这道课本习题，学生应用解析法可顺利完成，若止步于此，学生的学习状态就停留在浅层学习水平而鲜有对核心素养的发展，既浪费了一道好题，学生又没能学习到最本质、最有价值的知识.
2.2 引向深度——推广到一般
为挖掘本题深刻含义，开展微研究，师生提出变式问题：己知点M（x，y）与两个定点0（0，0），A（3，0）的距离之比为2，求点M的轨迹，完成后提出问题1：
问题1 能提出一般性的问题吗？能解决它吗？
学生提出平面上动点P到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ>0，且λ≠1），求动点P的轨迹，
学生完成求解后，师生共同总结出：
阿波罗尼斯圆定理 已知平面上两定点A，B，则所有满足PA/PB=λ（λ>0，且λ≠1）的动点P的轨迹是一个圆.（这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，下文简称阿氏圆）.
这种一般化的思考，就是深度学习的体现，在微研究过程中，学生批判地学习，主动地探究，自主地建构知识，这种有效迁移应用，是一种创造性思维能力，同时也是对核心素养数学抽象的落实，在微研究中，学生从原题及变式中辨认出：动点到两定点的距离比为定值是阿氏圆的本质特征，通过抽象使得原型内涵减少，结构变弱，外延扩张，获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例，这种抽象是弱抽象，也就是由特殊到一般.
2.3 领悟本质——几何化表征
希尔伯特指出：数学是一个不可分割的有机整体，它的生命力在于各个部分之间的联系，从不同的角度对同一数学对象进行多元表征，可以使数学学习对象多角度具体化，加深对同一数学对象的认识，阿氏圆本身是几何问题，教师可引导学生用几何知识解决该问题.
问题2 阿氏圆定理能用几何证明吗？
这需要学生对新知识进行充分的思维加工，让其与已有的初中平面几何知识结构相互作用，使新知识同化到已有认知结构中去，达到对新知识的相应理解和主动建构.
证明如图1，在△PAB中，内角∠P的平分线与边AB交于E，外角∠P的平分线与AB的延长线交于F，由角平分线性质得AE/BE=λ，AF/BF=λ，又∠EPF= 90°，故点P在以EF为直径的圆上，
这个证明可以在新知识和原有知识之间建立联系，有利于把所学知识迁移应用到新的问题情境中使用，有利于构建良好的知识体系，这样构造的知识体系和正迁移能力正是深度学习的特点，也体现了直观想象的核心素养，高中阶段，直观想象主要表现在利用图形描述、理解数学问题，利用图形探索、解决数学问题，通过构建直观模型，加深对事物本质和发展规律的理解和认知，阿氏圆的证明通过平面几何知识解决，是直观想象的一个实例，体现出阿氏圆不仅是建立在抽象的代数运算基础上，也是在动态的几何问题中找寻到的不变几何关系.
至此，学生能使用术语交流，能解释阿氏圆的结构、表述，能依据题目对阿氏圆作出估计或预测、推断，对于阿氏圆的学习达到了深度学习理论中的领会水平，领会是指理解交流内容中所含文字信息的各种指标、行为或反应，领会侧重于理解，基本表现方式的有三种：转化、解释、推断.
2.4 抓住核心——要素与分析
深度学习理论认为，分析是一种高阶思维能力，分析有三个层次：一是把材料分解成各个组成部分;二是弄清各部分之间的关系;三是识别出把材料组合在一起，使之成为一个整体的组织原理、排列和结构，分析代表了更高的智能水平：既要理解材料的内容，又要理解其结构，
问题3 阿氏圆涉及几个要素？各要素之间关系如何？
阿氏圆涉及的要素有：定点A，B，定值λ，动点P，从正、逆两个角度对要素进行分析：
（1）当A，B，λ已知时，先在AB直线上确定点E，F，使得EA/EB=FA/FB=λ，以EF为直径的圆即为对应的阿氏圆，如图1.
（2）当已知A及点P所在的阿氏圆时，可确定另一定点B的位置，如图1，设阿氏圆的圆心为O，半径为r，则有EA/EB=FA/FB=OA-r/r-OB=λ=AP/BP，整理得λ=OA/r=r/OB，即r是OA，OB的等比中项，且公比为λ，该结论形式优美，易于记忆，方便解决问题.
通过对要素的分析，学生加深了理解，对阿氏圆的记忆不再是浅层学习的机械记忆，而是在真正理解基础上的联想记忆，关注的焦点也不再是解决问题所需的公式和外在线索，而是解决问题所需的核心原理.
2.5 运用实践——内隐转外显
深度学习理论认为，运用是以领会为基础，比领会的要求更高级，领会的标志在于，当说明抽象概念的用途时，能使用该抽象概念;运用则指在没有说明问题解决模式的情况下，能使用抽象概念于适当情境，领会侧重于理解，是内隐行为，运用则是外显的表现.
运用1 寻找隐圆
运用2 显露定点
运用3空间问题
运用4综合运用
深度学习理论认为，分析与综合是紧密联系，但综合同分析相反，它是把各要素组合为一体的带有创新性的技能，虽然领会、运用、分析也涉及到要素的组合和意义的构建，但它们往往是局部的，不完全的，而综合则是整体性的，通过综合与分析，就能掌握其中的核心概念和原理，以不变应万变.
3 实践微研究的思考
3.1 用微研究激活教材内容
教材中出现的内容，是在人类长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中数学的概念、定理、公式及部分习题都具有实际背景和深刻含义，蕴含着丰富的数学方法和数学思想，如在人教A版必修1中对第一个具体函数一指数函数的研究顺序：
这是高中函数微研究的范例，对于对数函数、三角函数等都遵循这个模式，只要学生掌握了这种方法，研究函数也就有章可循，因此，教师要深刻理解教材的设计意图，不轻易“放过”教材中的任何一幅图、一道例题、一道习题，不轻易“放过”教材问题呈现的方式，不轻易“放过”教材研究和解决问题的方法，教材是专家经验的积累、智慧的结晶，其每一个组成元素都有其存在的价值，教师要学会学生引领学生深度学习，深度挖掘其内在的丰富内涵，通过微研究让学生体会数学知识的形成过程，让学生尝试成功的欢愉，让学生品味到数学的韵味.
3.2 用微研究实现深度学习
基于深度学习的微研究，是让学生学习到学科最本质、最有价值的知识，微研究要研究那些数学学科的核心概念与命题，是这些最基本的知识缔造了数学学科体系的基石，微研究要关注能判断成为“数学学科”的最根本的属性;要注重事物、现象及过程内在的、本质的必然的联系;要体现出“知识”背后的“知识”，这些是数学家提出的对数学发展和数学学习最具有影响力的观念、思想和见解，是数学的精髓与灵魂，通过对数学知识的追本溯源的微研究，让学生掌握数学的产生与来源，对于学生整体把握数学显得尤为关键，数学之所以为“数学”而不是简单概念与知识要点的堆砌，其中非常重要的原因在于有著自己独特的结构，数学知识之间存在着不可割裂的内在联系，微研究要建立在使学生掌握数学学科内部的关系与结构上，学生就能从整体上把握数学学习与研究的精髓.
参考文献
[1]冯锐，任友群.学习研究的转向与学习科学的形成[J].电化教育研究，2009（2）：23-26
[2]MartonF，SaljoR.On Qualitative Difference in Learning： Outcome andProcess[J]. BritishjournalofEducationalPsychology， 1976 （46） ： 4-11
[3]贺慧.回归课堂原点的深度学习论[J].基础教育课程，2015 （12）：8-13
[4]张浩，吴秀娟，王静.深度学习的目标与评价体系构建[J].中国电化教育，2014（7）：51-55
[5]陈柏良，课堂教学要注重演绎结构的设计[J].中学数学教学参考，2014（12）：2-4
