另辟蹊径，圆中自有新天地
董琴
几何因动点产生的最值问题近几年广泛出现在中考中，成为热点之一，也是学生解决问题中的难题之一，初中阶段，涉及到“最短”问题的常见有两个，即：点与点之间是“两点之间，线段最短”，点与线之间是“垂线段最短”，除了这些外，在很多看似与圆无关的几何最值问题中，我们可以利用直角、固定的圆周角、圆的定义等找到隐藏的圆模型，转化为以圆为载体的问题，利用构造法、转换思想等建立模型解决问题.
因此解决这类问题，关键是找到动点的运动轨迹，使得问题虽无圆胜有圆，本文简单地探究看似无圆的几何最值问题中如何巧妙地找到圆模型，使复杂的最值问题得以圆满解决.
模型呈现
问题情境如图1，P是⊙0外的一点，直线P0分别交⊙0于点A，B，则PA是点P到⊙0上的点的最短距离，PB是点P到⊙0上的点的最长距离.
证明在⊙0上任意取一个不同于点A的点C，连接OC，CP，则有OP< OC+ PC，即OP -OC< PC，由OA= OC，得OP - OA< PC，即PA< PC，从而出线段PA是点P到⊙0上各点的距离中最短的线段.
同理OP+OC> PC，即由OB= OC，得OP +OB>PC，即P>PC.从而得出线段PB是点P到⊙0上各点的距离中最长的线段.
有了这个知识点背景，能使很多最值问题中较难的问题得到了圆满的解决，因此如何去构造圆也成为了这类问题的关键所在.
类型1 定点定长“现”圆形
教材中圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆，根据定义，在解决几何最值问题过程中，只要能发现某一个动点在变化过程中到同一个定点的距离相等，就可以利用“隐圆”，以这个定点为圆心，定长为半径作出这个隐藏的圆，在利用圆外一点与圆上一点距离的最值问题或一般几何最值求解模型解决.
类型2 定线定角“现”圆形
通过以上例题的分析，可以发现，利用“隐圆”构造模型的方法的运用关键是找到动点运动路径为圆的条件，由上述例题可归纳为如下两类：
两种动点路径为圆的条件：（1）到定点距离等于定长;（2）动点与定线两端点构成直角三角形，以动点为直角顶点.
除了这里中的最值问题可以建立“隐圆”构造模型外，部分路径问题也可以构造“隐圆”模型，如：《宁波市2018年初中学业水平考试说明》中的复习评估练习（一）填空题18题：
如图11，半径为4的⊙0中，CD为直径，弦AB上CD且过半径OD的中点，点E为⊙0上一动点，CF上AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为____.
分析 通过CF上AE这个条件，我们不难发现，点F的运动轨迹是以AC直径的圆弧上，因此通过求圆心角度数和半径长短，利用弧长公式即可求出路径长，动态背景下，求最值有一定的难度，若能针对题目的本质特征，合理地画出“隐圆”，巧妙地利用圆的有关知识找到转化方向，往往能够化难为易，化繁为简.
参考文献
[1]蔡卫兵，与圆有关的最值问题[J].中学生数学，2015 （18）： 38—39
[2]冯丽.利用数学模型“点到圓的最值距离”来研究动点最值问题——数学解题策略剖析[J].数理化解题研究，2017 （26）： 2-4
[3]刘岚英，利用构造法巧解数学中的最值问题[J].中学数学，2015 （2）：76-77
几何因动点产生的最值问题近几年广泛出现在中考中，成为热点之一，也是学生解决问题中的难题之一，初中阶段，涉及到“最短”问题的常见有两个，即：点与点之间是“两点之间，线段最短”，点与线之间是“垂线段最短”，除了这些外，在很多看似与圆无关的几何最值问题中，我们可以利用直角、固定的圆周角、圆的定义等找到隐藏的圆模型，转化为以圆为载体的问题，利用构造法、转换思想等建立模型解决问题.
因此解决这类问题，关键是找到动点的运动轨迹，使得问题虽无圆胜有圆，本文简单地探究看似无圆的几何最值问题中如何巧妙地找到圆模型，使复杂的最值问题得以圆满解决.
模型呈现
问题情境如图1，P是⊙0外的一点，直线P0分别交⊙0于点A，B，则PA是点P到⊙0上的点的最短距离，PB是点P到⊙0上的点的最长距离.
证明在⊙0上任意取一个不同于点A的点C，连接OC，CP，则有OP< OC+ PC，即OP -OC< PC，由OA= OC，得OP - OA< PC，即PA< PC，从而出线段PA是点P到⊙0上各点的距离中最短的线段.
同理OP+OC> PC，即由OB= OC，得OP +OB>PC，即P>PC.从而得出线段PB是点P到⊙0上各点的距离中最长的线段.
有了这个知识点背景，能使很多最值问题中较难的问题得到了圆满的解决，因此如何去构造圆也成为了这类问题的关键所在.
类型1 定点定长“现”圆形
教材中圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆，根据定义，在解决几何最值问题过程中，只要能发现某一个动点在变化过程中到同一个定点的距离相等，就可以利用“隐圆”，以这个定点为圆心，定长为半径作出这个隐藏的圆，在利用圆外一点与圆上一点距离的最值问题或一般几何最值求解模型解决.
类型2 定线定角“现”圆形
通过以上例题的分析，可以发现，利用“隐圆”构造模型的方法的运用关键是找到动点运动路径为圆的条件，由上述例题可归纳为如下两类：
两种动点路径为圆的条件：（1）到定点距离等于定长;（2）动点与定线两端点构成直角三角形，以动点为直角顶点.
除了这里中的最值问题可以建立“隐圆”构造模型外，部分路径问题也可以构造“隐圆”模型，如：《宁波市2018年初中学业水平考试说明》中的复习评估练习（一）填空题18题：
如图11，半径为4的⊙0中，CD为直径，弦AB上CD且过半径OD的中点，点E为⊙0上一动点，CF上AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为____.
分析 通过CF上AE这个条件，我们不难发现，点F的运动轨迹是以AC直径的圆弧上，因此通过求圆心角度数和半径长短，利用弧长公式即可求出路径长，动态背景下，求最值有一定的难度，若能针对题目的本质特征，合理地画出“隐圆”，巧妙地利用圆的有关知识找到转化方向，往往能够化难为易，化繁为简.
参考文献
[1]蔡卫兵，与圆有关的最值问题[J].中学生数学，2015 （18）： 38—39
[2]冯丽.利用数学模型“点到圓的最值距离”来研究动点最值问题——数学解题策略剖析[J].数理化解题研究，2017 （26）： 2-4
[3]刘岚英，利用构造法巧解数学中的最值问题[J].中学数学，2015 （2）：76-77
