浅谈数学公式、口诀在教学中的应用

    吴冬

    

    [摘 ?要] 初中数学公式和口诀繁多，经过多年积累也总结出各种识记方法，这些方法看似简洁精悍、生动准确、易于记忆、便于流传，得到学生和教师的一致好评. 不过，在实际教学中，教师也会发现不少学生记忆公式和口诀是易如反掌，而在解决问题时却依然无从下手，无法实现灵活应用. 究其根本在于教师在教学的过程中，是由错误引导和不当处理所导致的. 文章以具体教学实例为媒介，对教学中公式和口诀的应用进行分析，以达到教学上的融会贯通.

    [关键词] 数学公式;口诀;灵活应用;解决问题

    数学公式、口诀是人们在研究生活之中物与物时发现的一些关联，并借助一定的形式表达出来的一种方法. 不少教师会认为公式、口诀的教学简单，只需加深记忆并进行套用即可. 笔者认为，公式、口诀的教学不仅可以培养学生的数学思维能力和创新精神，还能磨炼学生的细致入微的必备品质. 因此，在教学中我们教师需把握公式、口诀的联结点，从强化学生的思维技能出发，完善处理，促进学生认知的发展，激发学生的创造性思维技能[1]. 下面笔者结合自身的教学与实践，就数学公式、口诀在教学中的应用，谈谈自身的一些想法和思考.

    让学生经历数学公式、口诀的形成过程

    数学公式和口诀是客观世界的抽象产物，都经历了从具体到抽象、从特殊到一般的形成过程. 在教学中，教师却常常为学生不能很好地掌握公式和口诀而烦恼，细细反思不难发现：很多时候则是因为教师没有注重引导学生体验它们的形成过程，仅仅是注重结果而忽视过程，导致不少学生“知其然，而不知其所以然”. 而公式和口诀的形成，是依靠直接经验，借助操作和实践，逐渐内化之后获取的. 因此，教师需引导学生去观察、去分析、去比较，通过这一系列活动过程，找到事物内在的规律，抽象出公式和口诀. 不过，大部分结论需要学生经历证明这一过程得出;在这一过程中，学生亲历了古人发现和证明知识时类似的思维活动，这样一来一方面更便于加深对公式和口诀的理解，另一方面促进了知识的生成，形成了智慧[2].

    案例1？摇在教学“射影定理”这一内容时，笔者没有将这三个结论直接告诉学生，而是让他们逐一进行证明后得出. 这一课题中的三个公式都是较为复杂的，学生记忆起来困难系数较大，当引导学生通过抽象、类比和想象、从有限到无限的证明后，学生记忆起来就简单多了，记忆也深刻多了. 笔者发现，在之后的应用过程中，学生即便是遗忘了也能通过再次证明找出定理，再次将其应用到解决问题中来. 这就充分说明了在教学中应显现出公式及口诀的形成过程、规律的探索过程、结论的推导过程和方法的思考过程等.

    让学生深刻理解公式和口诀的含义

    公式和口诀的记忆不容忽视，在此前提下学生首先需对其有一个完善的理解. 只有充分理解了其中的正确含义，才能发挥公式和口诀的效果.

    案例2 在教学“完全平方公式进行因式分解”这一内容时，笔者设计了以下内容：

    师：各位同学，前段时间我们对平方差公式有了一个深刻的了解，除此之外我们还学习了哪些公式呢？可以将其运用到因式分解中去吗？

    生1：有完全平方公式：

    师：很好，那我们一起仔细观察这两个公式，发现它们有什么特点呢？

    生（总结）：首项2±2×首项+尾项2=（首项±尾项）2.

    师：我们能不能一起想出一个口诀来总结一下呢？

    生（引导）：首平方，尾平方，首尾两倍置中间.

    师：很好，现在我们将它进行变形，首先将公式①的首项a变为4m，再将其尾项b变为1;将公式②的首项a变为x，再将b2变为9，变形之后你是否还会计算呢？

    公式如下：（4m）2+8m+1，x2-6x+9.

    （学生经过一段时间的思考后尝试解决）

    师：完成得很好，我们再将（4m）2+8m+1变为16m2+8m+1，仔细观察现在还能解答吗？

    生2：很容易啊，只需要将16m2变为（4m）2就可以完成了.

    师：观察得很到位，那么我们再思考一下，此处的a与b除了可以变为数字和字母之外，还能变为什么呢？

    生3：可以变成很多啊，如5a-3，x+2y，……

    师：这些我们可以称之为什么呢？（圈出4m，1，5a-3，x+2y）

    生：有单项式、多项式，我们可以统称整式.

    师：也就是说在完全平方公式中的a与b可以转换为任意整式. 回忆一下，我们还学过哪些公式，其中的字母可以代表为整式的？

    生：很多，如加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、平方差公式等等.

    师：非常棒，下面每位学生列举三个并出示解答的过程，而后与同桌交换练习.

    （教师四处巡视，并找寻出一些具有典型性的例子板书并要求全班学生进行练习）

    分析 通过一系列“问题串”使学生找出完全平方公式中的a与b和之前所学公式的共同点，并借助一系列练习来加深和巩固，为之后的应用搭桥铺路.

    师：若我们将（2x+y）2-6（2x+y）+9变为（2x+y）2+9-6（2x+y），再将x2-6x+9乘以- ，也就是变为- x2+3x- ，你还能进行因式分解吗？思考一下他们是如何实现变形的？

    生4：前一题就是交换了一下前后位置，后一个只需提出- 即可.

    师：解释得很好. 那么下面请每个学生运用好这两种变形方法編制三道因式分解的例题，并附上答案，请同桌完成.

    （学生热情很高，各个跃跃欲试认真编写，教师在巡视出再次找出典型例题供全班练习）

    分析 以上几个问题和练习，让学生了解完全平方公式的因式分解中两种常见的变形方法，再通过编题和解题训练，巩固加深理解.

    强化数学公式、口诀的有效运用

    一节没有重难点的课是毫无效率可言的，是一节低效的课. 在课堂教学中，教师和学生一起依据教学规律总结归纳出一些形式化的公式和口诀;而在应用的过程中，教师需要把握教学的主次关系进行施教，牢牢把握教学的重點.

    案例3 一教师在教学“同位角、内错角、同旁内角”这一内容时，首先引领学生依据这三类角的主要特征找寻并总结出判别技巧，也就是“F型、U型、Z型”结构特征，然后整堂课都围绕总结出的结构特征展开教学. 最后在练习训练中，发现不少学生无法找出图1中的内错角，教师才意识到学生对概念的理解较为肤浅.

    作为一节以概念教学为主的课，教师将教学的重点“运用概念去判断三类角的方法——从截线着手，再观察位置特征”抛之脑后，而把重心置于借助课堂随意总结出的规律展开教学，很显然是主次不分，这也是造成学生数学越学越差、越学越失去兴趣的主要原因之一.

    案例4 在执教“一元一次不等式组”这一内容时，一教师精心备课并总结出如下解不等式组解集的口诀：“等大取大，等小取小，大小小大中间坐，大大小小没办法. ”在整个课堂教学的过程中，教师围绕这四句口诀实施教学，将课堂教学的重点“通过数轴表示不等式组的解集”这一内容抛之脑后，完全忽视了教学的重难点，课堂效率可想而知，在之后的练习和考试中不少学生在这一板块的考查中频频失分，教师则是埋怨学生掌握知识时不够灵活，过于死板，却并未发现自身在新课教学中的问题. 若是教师在新课教学中引领学生将重难点理清，而将这一口诀运用在小结与习题讲评时，既可以加深学生对知识点的理解，还可以帮助学生积累经验.

    总之，数学公式和口诀对学生的解题大有裨益. 数学公式、口诀大多数以固定方式呈现，学生在应用和理解时需多方位、多角度、多维度去剖析，才能进一步强化应用，培养学生思维的发散性. 同时，教师在实际操作时，探索数学教学的规律，并不断提升自身的专业水平，恰当运用数学公式和口诀，使之发挥最大效果[3].

    参考文献：

    [1] 陈国权. 公式口诀教学法在小学数学教学中的应用小议[J]. 内蒙古教育，2014（02）.

    [2] 王光明. 高效数学教学行为的特征[J]. 数学教育学报，2011，20（1）.

    [3] 章建跃. 探索数学教学规律，提高教师专业水平——第十五届学术年会暨第九次全国中学数学教育优秀论文评比活动综述[J]. 中国数学教育，2012（Z2）.