基于数学问题的数学创新能力培养例析

    汪晶晶

    [摘? 要] 培养学生数学创新能力是当前数学教育的一个重要目标. 在初中数学教学中，教师应促使学生积极参与数学活动，鼓励学生大胆猜想，发现问题;变换视角，解决问题;联通融合，反思问题. 在数学问题中，培养学生数学创新能力.

    [关键词] 数学创新能力;数学问题;数学教学

    创新是民族的灵魂，一个民族要想走在时代前列，就不能没有创新. 数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用[1]. 培养学生数学创新能力是当前数学教育的一个重要目标. 有关数学创新能力的内涵尚未有定论，笔者比较认同罗新兵和罗增儒教授的观点，将认知过程与认知结果相结合，去揭示数学创新能力的内涵：从认知过程来看，主要表现为克服思维定式，打破常规做法;从认知结果来看，主要表现为丰富的、相异的、原创的思维产物[2].

    笔者作为一线教师，发现我们目前的初中数学课堂中，整节课学生进行大量计算、机械回答教师课前设计的问题等现象还是普遍存在的，这对于学生打好基础固然是有帮助的，但学生同时也失去了发展创新能力的机会. 培养学生创新能力的主阵地还是课堂，除了注重打好学生的基础，也要谋求发展，灵活创新. 我国著名数学家华罗庚先生和吴文俊先生以及数学教育家张奠宙先生也都认为“创新需要坚实的基本知识和基本技能为基础，而建立基础又需要创新精神的引领. ”[3]纵观美国数学教育改革，就是不断在打好基础和寻求创新之间寻找平衡的过程. 解決问题是美国数学课程的核心，有利于学生创新能力的培养. 事实上，除了解决问题之外，发现问题及反思问题也能很好地培养学生的创新能力. 下面笔者结合自己的教学实践，具体谈谈在发现问题、解决问题和反思问题三个方面如何培养学生的创新能力.

    打开创新之门：大胆猜想，发现问题

    猜想是对研究的问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳，并依据已有的材料和知识做出符合一定经验与事实的推测性想象的思维方法. 在课堂教学中，教师应创设适当的情境，鼓励学生大胆猜想，发现问题. 由于每个学生的认知能力不同，理解能力不同，已有的知识结构也不尽相同，导致学生在猜想过程中的思维方式各异，从而发现的问题也不同. 也就是说，从认知结果上看，学生发现的问题是丰富的、相异的、都是原创的思维产物. 学生从经历过的东西猜想未曾经历过的东西，从事物的过去和现在猜想事物的未来，或从一个事物猜想另一个事物，这就是一种创造性思维模式. 数学创新能力与数学创新思维关系密切，数学创新思维是数学创新能力的前提和基础. 因此，在数学教学中，放手让学生大胆猜想，发现问题，有利于培养学生的数学创新能力.

    案例1? 矩形的判定.

    在这节课中，师生首先共同复习矩形的定义和性质，之后明确本节课的学习内容：如何判定一个四边形是矩形. 第一种判定方法必然是定义，因为任何定义既可以作为性质又可以作为判定方法. 那么如何发现其他方法呢？教师放手让学生大胆猜想. 由于在前面学生学习过平行线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的性质和判定等，已经积累了相关的学习经验，判定和性质通常是两个已知和结论互换的命题，这为学生猜想创造了条件，并提供了科学的猜想方法. 在实际教学中，学生发现并猜想了11种判定方法：（1）四个角相等的四边形;（2）三个角为直角的四边形;（3）对角线相等且互相平分的四边形;（4）一组对边平行且一组对角为90°的四边形;（5）对角线相等的平行四边形;（6）对角互补的平行四边形;（7）三个角相等的平行四边形;（8）一组邻角相等的平行四边形;（9）在四边形ABCD中，AO=BO，∠ABC=90°;（10）一组对角相等，另一组对角都为90°的四边形;（11）四边形ABCD为平行四边形，BO=AC.

    在前面的学习中，很多几何图形的判定方法都是性质的逆命题，学生已经形成一种思维定式，认为判定方法就是性质的逆命题. 包括在人教版教材中，矩形的判定方法也是将矩形性质的已知和结论互换，形成新的命题，再加以证实. 其实，矩形的判定方法是多样化的，学生在猜想的过程中，克服了思维定式，打破常规做法，并且猜想的结果也是很丰富的，虽然上述的第（9）条猜想是个假命题，可以通过举反例证伪，但是这些猜想都是学生原创的思维产物. 学生在猜想的过程中，发展了数学创新思维. 因此，在课堂教学中，教师要舍得花时间让学生大胆猜想，发现问题.

    开拓创新之路：变换视角，解决问题

    解决问题是数学教育的核心，是学生思维活动一种重要形式. 在解决数学问题的过程中，培养学生创新能力的关键是变换视角，发散思维. 发散思维是从一点出发，向各个不同方向辐射，产生大量不同设想的思维. 无论是从认知过程还是认知结果来看，发散思维都体现了创新. 不少心理学家认为，发散思维是创造性思维最主要的特点，是测定创新能力的主要标志之一. 在初中数学课堂教学中，一题多解是非常重要的发散思维的方法，它可以让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，打破常规，培养学生创新能力.

    案例2? 等腰三角形的判定.

    在这节课中，学生首先猜想得出命题：如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形. 根据命题画出图形（如图2），并用几何语言写出已知和求证.

    已知：如图2，在△ABC中，∠B=∠C.? 求证：△ABC为等腰三角形.

    在实际的教学中，学生先独立思考，后合作交流，共同探讨出六种证法，令人叹为观止（如图3）.

    证法1：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，证明△ABD ≌△ACD.

    证法2：作∠BAC的角平分线AD，证明△ABD ≌△ACD.

    证法3：过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. 可证△BED ≌△CFD，从而DE=DF. 由于AD是中线，△ABD和△ACD的面积相等，而它们的高相等，所以底边AB=AC，△ABC为等腰三角形.

    证法4：过點A作BC的平行线DE，分别过点B，C作BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别为点D，E. 根据平行线间距离相等，得出BD=CE，再证明△ABD ≌△ACE.

    证法5：分别过点B，C作BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E. 再利用等面积法或者全等得证.

    这里要特别指出第六种证法，学生发现△ABC和自己全等，因为∠B=∠C，BC=CB，∠C=∠B，所以△ABC≌△ACB，从而AB=AC，△ABC是等腰三角形. 笔者曾经在特级教师任勇老师写的书里看到过这种证明方法，当时直接被震撼到了，这世间还有如此简洁、奇妙的方法！没想到自己的学生通过合作交流也想到了. 这种证法克服了思维定式，打破常规，学生在思考的过程中发展了数学创新能力. 其实，这些丰富的、相异的证法全部都是由学生独立思考、交流讨论得出的，对于学生而言具有原创性. 而且学生在试图寻找其他证法的过程中，总是在不断地变换思考视角，力图求新、求异. 因此，通过一题多解，变换视角来解决问题，可以培养学生的数学创新能力.

    架构创新之桥：联通融合，反思问题

    反思是指对曾经在思维活动中出现的问题和解决问题的方法、结论不断思考的心理活动，既表现为对尚未解决的问题的上下求索，又表现为对已有解法和结论的挑剔和批判. 因此，学生反思问题的过程就是创新的过程，并且学生的数学创新能力在反思活动中会得到更多的体现. 然而，学生反思问题的意识是比较薄弱的，更谈不上反思的方法和习惯.

    在实践中，笔者引导学生利用创新工具——思维导图在解决问题后进行反思，将所学知识和方法梳理成知识网络，为学生架构创新之桥.

    案例3? 等腰三角形的判定.

    在这节课中，学生展示各种解法之后，教师归纳总结，将所有解法进行联通融合，提升数学思维，并为学生提供一种可借鉴和学习的反思问题的方法，进而发展数学创新能力. 绘制的思维导图如图4.

    在教学中，笔者也经常布置作业让学生写数学小论文，数学小论文的形式也是多样的，有的是谈谈自己学习本章内容的体会，有的是课堂研究的延续，对课堂上研究的问题做进一步思考，也有的是让学生根据课堂上研究问题的方法，研究一个新的问题. 学生创作小论文的过程就是反思、创新的过程，因此，有利于学生养成反思的习惯，发展数学创新能力. 由于教师在课堂上的引导，很多学生在小论文中利用思维导图作为开篇或者结尾，使研究的思路更清晰. 下面选取了两位同学小论文里的思维导图，如图5.

    著名数学教育家波利亚曾说过：“问题是数学的心脏.” 学生探究知识的欲望，往往是从问题开始的. 我们教师在教学时，要鼓励学生大胆猜想，发现问题，提出问题;变换视角，解决问题;联通融合，反思问题，促使每一位学生积极参与到充满智慧的数学问题探究活动中，让潜能得以开发，思维得以提升，创新能力得以发展. 我们在教学中播下数学问题的种子，学生数学创新能力定会开出绚烂之花.

    参考文献：

    [1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

    [2] 罗新兵，罗增儒. 数学创新能力的涵义与评价[J]. 数学教育学报，2004，13（2）.

    [3]张奠宙，于波. 数学教育的“中国道路”[M]. 上海：上海教育出版社，2009.